解析概論/第6章/直交函数列によるFourier式展開

[編集] 73. 直交函数列による Fourier 式展開

区間 $[a,b]$ において正規直交函数列が与えられているとする：

(1)

$\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots, \varphi_n(x), \ldots.$

もしも $[a,b]$ において

(2)

$f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n\varphi_n(x)$

なる展開が可能で，級数の項別積分が許されるならば，§70 と同様に

$(f,\varphi_n) = \sum_{\nu=1}^\infty c_\nu(\varphi_\nu,\varphi_n) = c_n$

によって係数 $c_n$ が確定する．逆に与えられた $f(x)$ から

(3)

$c_n = (f, \varphi_n)$

と置いて，級数

$\sum c_n\varphi_n(x)$

を $f(x)$ から生ずる Fourier 式級数といい， $c_n=(f,\varphi_n)$ を $f(x)$ の Fourier 式係数という．さて $f(x)$ から生ずる Fourier 式級数は，はたして $f(x)$ に収束するであろうか？

これは難問題であるが，その解決の糸口を得るために次の考察を試みる．

(1º)

まず任意の係数 $\gamma_i$ をもって，有限級数 $\textstyle\sum_{i=1}^n \gamma_i\varphi_i(x)$ を作って，

(4)

$J=\int_a^b \left\{ f(x)-\sum_{i=1}^n \gamma_i \varphi_i(x) \right\}^2 dx$

を計算する．§71 の略記法によれば，

$J = (f,f)-2\sum_{i=1}^n \gamma_i (f,\varphi_i) + \sum_{i=1}^n \gamma_i^2(\varphi_i, \varphi_i) + \sum_{i\neq j} \gamma_i \gamma_j(\varphi_i, \varphi_j).$

仮定によって $(f,\varphi_i)=c_i, (\varphi_i, \varphi_i)=1, (\varphi_i, \varphi_j)=0\;(i\neq j)$ だから，

(5)

$\begin{align} J &= (f,f)-2\sum_{i=1}^n c_i\gamma_i + \sum_{i=1}^n \gamma_i^2 \\ &= (f,f)-\sum_{i=1}^n c_i^2 + \sum_{i=1}^n (c_i-\gamma_i)^2. \end{align}$

故に $J$ は $\gamma_i=c_i$ なるとき最小である．また $g \geqq 0$ だから，

(6)

$(f,f) \geqq \sum_{i=1}^n c_i^2.$

故に無限級数 $\textstyle\sum_{i=1}^\infty c_i^2$ は収束して，

(7)

$\sum_{i=1}^\infty c_i^2 \leqq (f,f).$

これを Bessel の不等式という．特に

(8)

$\lim_{n\to\infty}c_n = 0.$

例えば

$\begin{align} \pi a_n &= \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx\,dx \to 0,\\ \pi b_n &= \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx\,dx \to 0. \end{align}$

(2º)

もしも任意の $f(x)$ に関して

(9)

$\sum_{i=1}^\infty c_i^2 = (f,f)$

ならば，正規直交列 $\varphi_n(x)$ は完備（または完全）（complete，vollständig）であるといい，(9) を完備条件（または Parseval の等式）という．

完備というのは，直交列 $\varphi_n$ に他の函数を追加して，それを直交列にする余地がないことを意味する．実際 $(f,\varphi_i)=c_i=0, (i=1,2,\ldots)$ ならば，(9) から $(f,f)=0$ ，従って $f(x)=0$ である．

精密にいえば，考察する函数を或る特定の種類 $C$ に限定して， $\varphi_n(x), f(x)$ が $C$ に属して (9) が成り立つとき， $\varphi_n(x)$ は $C$ に関して完備条件を満たすというべきである．我々は今区間 $[a,b]$ において連続なる函数のみを $C$ に入れている．

(4) において $\gamma_i=c_i$ とすれば，(5) によって $\textstyle J=(f,f)-\sum_{i=1}^n c_i^2$ ．故に上記 (9) は，詳しく書けば，

(10)

$\lim_{n\to\infty} \int_a^b \left\{ f(x) - \sum_{i=1}^n c_i\varphi_i(x) \right\}^2 dx=0$

である．しかし，連続函数の範囲内でも，(10) だけからは

$f(x) = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n c_i\varphi_i(x),$

すなわち

(11)

$f(x) = \sum_{i=1}^\infty c_i\varphi_i(x)$

は出て来ないが，もしも $f(x)$ から生ずる Fourier 式級数

$\sum_{i=1}^\infty c_i\varphi_i(x)$

が， $[a,b]$ において一様に収束するならば，完備条件 (10) から (11) が得られる．──実際，一様収束の仮定の下において，項別積分が許されるから

$\begin{align} \left( \sum_{i=1}^\infty c_i\varphi_i, \varphi_n\right) &= \int_a^b \left( \sum_{i=1}^\infty c_i\varphi_i(x) \right)\varphi_n(x) dx = \sum_{i=1}^\infty \int_a^b c_i\varphi_i(x)\varphi_n(x) dx \\ &= \sum_{i=1}^\infty c_i(\varphi_i, \varphi_n) = c_n. \end{align}$

そこで $\textstyle r(x)=f(x)-\sum_{i=1}^\infty c_i\varphi_i(x)$ と置けば，

$(r, \varphi_n) = (f, \varphi_n) - \sum_{i=1}^\infty c_i(\varphi_i, \varphi_n) = c_n-c_n = 0.$

故に完備条件 (9) を $r(x)$ に適用すれば $(r,r)=0$ ，すなわち

$\int_a^b r(x)^2 dx = 0.$

$r(x)$ は連続だから $r(x)=0$ ．従って (11) を得る．

［附記］

§§71-73 において展開した計算は，Euclid 幾何学との類似を念頭に置いて考えれば，わかりよい．一定区間 $[a,b]$ において連続なる函数の集合 $C$ を無限次元の空間とみて， $C$ に属する個々の函数 $f(x), g(x), \ldots$ を空間 $C$ の点またはベクトルとする．そうして $\|f\|=\sqrt{(f,f)}$ をベクトル $f(x)$ の長さ，従ってまた， $\|f-g\|$ を点 $f(x), g(x)$ の距離とする．然らば正規直交函数列 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots$ は二つずつ互に直交する単位ベクトルであるが， $\|\varphi\|=1, (f,\varphi)=c$ として $f(x)=\{f(x)-c\varphi(x)\}+c\varphi(x)$ によってベクトル $f$ を二つの成分 $f-c\varphi$ と $c\varphi$ とに分解すれば

$(f-c\varphi, \varphi) = (f, \varphi) - c(\varphi,\varphi) = 0$

だから，それらの成分は互に直交する．すなわち $c\varphi(x)$ は $f(x)$ の $\varphi(x)$ 軸上への正射影というべきものである．

正規直交列 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots$ が完備条件 (9) を満たすことは， $\varphi_i(x)$ が，あたかも函数空間 $C$ の一つの座標系の各軸上の単位ベクトルであるかのようであって，(9) はすなわち空間 $C$ における Pythagoras の定理である．三次元空間に関して §27 で述べた記号を用いて，座標軸上の単位ベクトルを $\boldsymbol i, \boldsymbol j, \boldsymbol k$ ，任意のベクトルを $\boldsymbol v = a\boldsymbol i+b\boldsymbol j+c\boldsymbol k$ とすれば， $|\boldsymbol v|^2=a^2+b^2+c^2$ であるが， $|\boldsymbol v|$ は $\|f\|$ に当り，‘スカラー積’ $a=\boldsymbol{vi}$ は $c_1=(f,\varphi_1)$ に当る．もしも Fourier 式展開 $\textstyle f(x)=\sum_{i=1}^\infty c_i\varphi_i(x)$ が可能ならば，それはすなわち上記の $\boldsymbol v=a\boldsymbol i+b\boldsymbol j+c\boldsymbol k$ に相当するのだが， $C$ の場合，この展開が無条件では行かないところにおいて，有限次元の幾何学との類似が中絶する．このおような函数空間の系統的な考察は，Hilbert 空間論の研究目標である．