解析概論/第6章/任意函数系の直交化

72. 任意函数系の直交化

区間 $[a,b]$ において与えられた函数系（簡単のために連続性を仮定する）

(1)

$u_1(x), u_2(x), \ldots, u_n(x), \ldots$

から，一次結合によって直交系が作られる． 今 (1) を一次独立とする．その意味は任意に $n$ を取るとき，

(2)

$a_1u_1(x) + a_2u_2(x) + \cdots + a_nu_n(x) = 0$

なる関係式が，定数なる係数 $a_i$ をもって区間 $[a,b]$ において常に成り立つことは， $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ なる場合以外にはないことをいう．

従って特に $[a,b]$ において常に $u_n(x)=0$ ではありえない．――もしも $u_n(x)=0$ ならば，$a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=0, a_n=1$ として (2) が成り立つ．

正規直交函数系 $\varphi_n(x)$ は一次独立である．――もしも

$\sum_{i=1}^n a_i\varphi_i(x) = 0$

ならば，$\varphi_i(x)$ を掛けて $[a,b]$ において積分して $a_i=0$ を得る．

さて函数列 (1) から，次のような一次結合

(3)

$\varphi_n(x) = c_{n,1}u_1(x) + c_{n,2}u_2(x) + \cdots + c_{n,n}u_n(x) \quad(n=1,2,\ldots)$

によって正規直交列 $\varphi_n(x)$ が作られる．問題の要点はまずすべての $n$ に関して $\varphi_n$ を $\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_{n-1}$ と直交ならしめることにあるが，それには $\varphi_n$ を $u_1, u_2, \ldots, u_{n-1}$ と直交ならしめればよい．今

(4)

$(u_i, u_j)=a_{ij},$

(5)

$\mathit\Phi_n(x) = \begin{vmatrix} a_{11}\quad & a_{12}\quad & \cdots & a_{1n}\quad \\ a_{21}\quad & a_{22}\quad & \cdots & a_{2n}\quad \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \\ u_1(x) & u_2(x) & \cdots & u_n(x) \end{vmatrix}$

と置く．然らば， $\mathit\Phi_n(x)$ は $u_1(x), u_2(x), \ldots, u_n(x)$ の一次結合で，$(u_i, \mathit\Phi_n)$ は上記行列式の最終行を $(u_i, u_1), \ldots, (u_i, u_n)$，すなわち $a_{i1}, \cdots, a_{in}$ で置き換えたものであるから $(u_i, \mathit\Phi_n)=0\;(i=1, 2, \ldots, n-1)$．すなわち $\mathit\Phi_n$ は $\mathit\Phi_1, \ldots, \mathit\Phi_{n-1}$ と直交する．残るところは $\mathit\Phi_n$ の正規化である．さて一般に $a_{ij}=(u_i,u_j)$ の行列式を

(6)

$A_0=1, \quad A_n=|a_{ij}| \quad (i,j=1,2,\cdots,n)$

と書けば， $(u_i, \mathit\Phi_n)=0\;(i=1,2,\cdots,n-1)$ を用いて， (5) から

$(\mathit\Phi_n, \mathit\Phi_n) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n-1,1} & & \cdots & a_{n-1,n} \\ 0 & 0 & \cdots & (u_n, \mathit\Phi_n) \end{vmatrix} = (u_n, \mathit\Phi_n)A_{n-1}.$

さてまた (5)， (6) から

$(u_n, \mathit\Phi_n) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n} \\ (u_n,u_1) & (u_n,u_2) & \cdots & (u_n,u_n) \end{vmatrix} = A_n.$

従って

$(\mathit\Phi_n,\mathit\Phi_n) = A_{n-1}A_n,$

故に

$\varphi_n = \frac{\mathit\Phi_n}{\sqrt{A_{n-1}A_n}}\quad(n=1,2,\ldots)$

は正規直交列である．

上記において $A_{n-1}A_n > 0$ を仮定したが，実際それは正当である．まず $A_1=(u_1,u_1)>0$．よって帰納法を用いて $A_1, \ldots, A_{n-1} > 0$ とする．然らば $\mathit\Phi_n$ は $u_1, u_2, \ldots, u_n$ の一次結合で， $u_n$ の係数は $A_{n-1}$ であるが， $u_1, u_2, \ldots, u_n$ は一次独立だから $\mathit\Phi_n \neq 0$，従って $(\mathit\Phi_n,\mathit\Phi_n)=A_{n-1}A_n>0$，故に $A_n>0$．

上記行列式 $A_n=|(u_i,u_j)|$ は区間 $[a,b]$ における函数列 $u_1(x), \cdots, u_n(x)$ の Gram の行列式というものである． $A_n>0$ は $u_1, u_2, \ldots, u_n$ が一次独立であることの判定条件である

$u_1,u_2,\ldots,u_n$ が一次独立でないならば $A_n=0$ なることは見やすい．すなわち一般に $A_n\geqq0$．

［附記］ 

Gram の行列式は次のように表される：

$A_n=\frac{1}{n!}\int_a^b \cdots \int_a^b \begin{vmatrix} u_1(x_1) & u_2(x_1) & \cdots & u_n(x_1) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ u_1(x_n) & u_2(x_n) & \cdots & u_n(x_n) \end{vmatrix}^2 dx_1 \cdots dx_n.$

それによれば $A_n \geqq 0$ は明白である．

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