解析概論/第5章/z=∞における解析函数

60．$z=\infty$ における解析函数

領域 $|z|>R$ において $f(z)$ は正則とする．然らば $z=0$ に関する Laurent 展開（前節 (6)）は，原点を中心とする円環において内円 $C_2$ の半径を $R$ よりも大きく，また外円 $C_1$ を任意に大きく取って成立する（218 頁，［附記］参照）．すなわち

(1)

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz_n,\quad (|z|>R)$

(2)

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)dz}{z^{n+1}},\quad (n=0,\pm1,\pm2,\ldots)$

ただし，$C$ は原点を中心として半径が $R$ よりも大なる任意の円周，または内円 $C_2$ を内部に含む任意の閉曲線である．

この場合には Laurent 展開 (1) の負巾項の部分

(3)

$\frac{a_{-1}}{z}+\frac{a_{-2}}{z^2}+\cdots+\frac{a_{-n}}{z^n}+\cdots$

は $C_2$ の外部では収束するが，それは $z\to\infty$ のとき $0$ に収束する．さて正巾項の部分

(4)

$a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n+\cdots$

は（$C_1$ の内部，しかし $C_1$ は任意に大きくしてよいから）すべての $z$ に対して収束する．$z\to\infty$ のとき $f(z)$ の行動は主としてこの部分によって支配されるのだから，それを $z=\infty$ における $f(z)$ の主要部という．(1) は前節の (6) と形式上同様であるが，正巾項と負巾項との役目は転換されている．そこに注意して，前節と同様に次の三つの場合を区別する．

(1º)

主要部なし，すなわち

$f(z)=a_0+\frac{a_{-1}}{z}+\frac{a_{-2}}{z^2}+\cdots=P\!\left(\frac{1}{z}\right).$

$z\to\infty$ のとき $f (z) \rightarrow a _0$．この場合，$f(z)$ は‘$z=\infty$ において正則である’と略言する．

(2º)

主要部は有限級数，すなわち

$f(z)=a_kz^k+\cdots+a_1z+P\!\left(\frac{1}{z}\right),\quad (a_k\ne 0)$

$z\to\infty$ のとき $f(z)\to\infty$，$\tfrac{f(z)}{z^k}$ は $z=\infty$ において正則である．この場合‘$z=\infty$ は $f(z)$ の $k$ 次の極である’という．

(3º)

主要部は無限級数，すなわち

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n$

において，$a_n\ne 0\,(n=1,2,3,\ldots)$ なる係数が無数にある．この場合には‘$z=\infty$ は $f(z)$ の真性特異点である’という．$z\in\infty$ のとき $f(z)$ は一定の極限（$\infty$ をも入れていう）を有しない．しかし $z_n\to\infty$ なる数列 $\{z_n\}$ を適当に取れば $f(z_n)\to\infty$ にも，また $f(z_n)\to c$ にもなる（$c$ は任意の定数）．