解析概論/第5章/Cauchyの積分公式 解析函数のTaylor展開

58．Cauchy の積分公式　解析函数の Taylor 展開

Cauchy の積分定理から解析函数の著しい性質が容易に導かれる．

ファイル:図

定理 53．

閉曲線 $C$ の内部および周上で $f(z)$ が正則で，$a$ が $C$ の内部の任意の点ならば

(1)

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$

これをCauchy の積分公式という．

［証］

被積分函数 $f(z)/(z-a)$ は $C$ の内部の点 $a$ において不連続であるが，$a$ を中心として半径 $\rho$ の円周 $\mathit\Gamma$ を $C$ の内部に画くならば（定理 52），

$I=\int_C\frac{f(z)}{z-a}\,dz=\int_\mathit\Gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$

故に右辺の積分 $\textstyle\int_\mathit\Gamma$ は $\rho$ に関係のない一定の値（すなわち $I$）を有する．今 $\rho$ を十分小さく取って $\mathit\Gamma$ の上で

$|f(z)-f(a)|<\varepsilon$

とする．さて

$I=\int_\mathit\Gamma\frac{f(z)}{z-a}\,dz =f(a)\int_\mathit\Gamma\frac{dz}{z-a}+\int_\mathit\Gamma\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz,$

右辺の第一の積分は $2\pi if(a)$ に等しい（§57，［例］）．第二の積分に関しては

$\left|\int_\mathit\Gamma\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\,dz\right| < \frac{\varepsilon}{\rho}\int_\mathit\Gamma\,ds = \frac{\varepsilon}{\rho}\,2\pi\rho=2\pi\varepsilon,$

$\varepsilon$ は任意だから

$I=2\pi if(a).$

（証終）

ファイル:図

定理 54．

解析函数は，それが正則なる領域内の任意の点において Taylor 級数に展開される．

［証］

$f(z)$ は領域 $K$ において正則とする．$a$ を $K$ 内の任意の点，$a$ を中心として $a$ に最も近い $K$ の境界点を通る円を $K_0$，その半径を $r_0$ とし，$K_0$ 内の任意の点を $\zeta$，$|\zeta-a|=\rho, \rho<r<r_0$ なる半径 $r$ をもって $a$ を中心として画いた円を $c$ とする． さて $z$ が $c$ の上にあるとき，

$\begin{align}\frac{1}{z-\zeta} &=\frac{1}{(z-a)-(\zeta-a)}=\frac{1}{z-a}\cdot\cfrac{1}{1-\cfrac{\zeta-a}{z-a}}\\ &=\frac{1}{z-a}+\frac{\zeta-a}{(z-a)^2}+\frac{(\zeta-a)^2}{(z-a)^3}+\cdots \end{align}$

において $|\tfrac{\zeta-a}{z-a}|=\tfrac{\rho}{r}<1$ だから，この幾何級数は収束するが，

$\frac{f(z)}{z-\zeta} =\frac{f(z)}{z-a}+\frac{(\zeta-a)f(z)}{(z-a)^2}+\frac{(\zeta-a)^2f(z)}{(z-a)^3}+\cdots$

は $c$ 上の $z$ に関して一様に収束する．――実際 $c$ の上で $|f(z)|<M$ とすれば

$\left|\sum_{\nu=n}^\infty\frac{(\zeta-a)^\nu f(z)}{(z-a)^{\nu+1}}\right| \leqq \frac{M}r\sum_{\nu=n}^\infty\left(\frac{\rho}r\right)^nu = \frac{M}{r-\rho}\left(\frac\rho{r}\right)^n.$

故に項別積分（§56，(4º)）をして $2\pi i$ で割れば

$\frac{1}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz = \sum_{n=0}^\infty\frac{(\zeta-a)^n}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}.$

左辺は $f(\zeta)$ に等しい（定理 53）から

(2)

$f(\zeta)=\sum_{n=0}^\infty A_n(\zeta-a)^n,$

ただし

(3)

$A_n=\frac{1}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}.$

(2) において $a$ は $K$ 内の任意の点で，$\zeta$ は $a$ を中心とする円 $c$ 内の任意の点であった．今 $a$ を固定して $\zeta$ を変数とみれば，(2) はすなわち $f(\zeta)$ の $a$ における Taylor 展開である（定理 49）．

このように，$f(z)$ は $a$ の近傍で巾級数に展開されるから，何回までも微分可能で，導函数 $f^{(n)}(z)$ は $a$ において正則であるが，$a$ は領域 $K$ の任意の点であったから次の定理が成り立つ．

定理 55．

領域 $K$ において $f(z)$ が正則ならば，$K$ において各階の導函数 $f^{(n)}(z)$ が存在して，それらは $K$ において正則である．

換言すれば，領域 $K$ において §55 の意味で $f(z)$ が一回微分可能ならば，各階の微分が可能である［Goursat，1900］．

第 2 章で述べたような実函数では，このように簡明な事態は思いも及ばぬことである．

さて (2) を $n$ 回微分して $\zeta=a$ と置けば

$f^{(n)}(a)=n!A_n,$

故に (3) によって

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}.$

ここで $c$ は $a$ を中心とする任意に小なる半径の円周であったが，一般に $K$ 内に引かれた $a$ を包む閉曲線を $C$ とすれば（定理 52）

$\int_c\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}=\int_C\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}},$

従って

(4)

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}.$

これは導函数 $f^{(n)}(z)$ への Cauchy の積分公式の拡張である．

定理 56． ［Morera の定理］

領域 $K$ において $f(z)$ は連続で $\textstyle\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ が積分路に依存しない値を有するならば，$f(z)$ は $K$ において正則なる解析函数である．

［証］

この仮定の元において，$\textstyle F(z)=\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ と置けば，$F'(z)=f(z)$ なることはすでにいった（§56，(6º)）．すなわち $F(z)$ は $K$ において正則であるが，定理 55 によって $F'(z)$ すなわち $f(z)$ も $K$ において正則である．

§47 に述べた一様収束に関する定理は，解析函数の場合には，はなはだ簡明である．

定理 57．

領域 $K$ において正則なる函数列 $\{f_n(z)\}$ が $K$ において一様に収束するとき，その極限を $f(z)$ とすれば，

（A）

$f(z)$ は $K$ において正則である．

（B）

$K$ における任意の曲線 $C$ に関して

$\int_C f(z)\,dz=\lim_{n\to\infty}\int_C f_n(z)\,dz.$

（C）

$f'(z)=\lim_{n\to\infty}f_n'(z).$

［証］

（B） は §56(4º) ですでに述べた．

今 $K_0$ を $K$ 内の任意の単連結の領域とし，$C$ を $K_0$ 内の任意の閉曲線とする．然らば Cauchy によって $\textstyle\int_C f_n(z)\,dz=0$．従って極限へ行っても，$\textstyle\int_C f(z)\,dz=0$．故に Morera によって $f(z)$ は $K_0$ において正則である．$K_0$ は任意であったから（A）が証明されたのである．

（C）が無条件で成り立つことが最も著しい．$K$ 内において $a$ を任意の点とし，$C$ を $a$ を含む閉曲線，例えば $a$ を中心とする円周とする．然らば $f_n(z)/(z-a)^2$ は $C$ 上において一様に収束する．故に

$\int_C\frac{f(z)}{(z-a)^2}\,dz=\lim_{n\to\infty}\int_C\frac{f_n(z)}{(z-a)^2}\,dz.$

故に (4) によって

$f'(a)=\lim_{n\to\infty}f_n'(a).$

$a$ は $K$ 内の任意の点だから（C）が成り立つ．

（証終）

$(z-a)^2$ の代りに $(z-a)^k$ を取っても同様だから，逐次の導函数に関しても（C）が成り立つ．特に $k=1$ とすれば（A）を得る．

［注意］ 

$n$ の代りに連続的補助変数 $t$ を取っても同様である．すなわち $f(z,t)$ が $z\in K$ なるとき正則で，$t\to t_0$ のとき一様に $f(z)$ に収束すれば，$f(z)$ に収束すれば，$f(z)$ は $K$ において正則で（B），（C）は $n\to\infty$ の代りに $t\to t_0$ としても成り立つ． 実変数の場合にも，（実用上，ほとんど常に，そうであるように）解析函数の実数値に関しては，鈍重な定理 40（C）の代りに定理 57（C）を用いるがよい．偉大なる簡約！

定理 58． ［Weierstrass の二重級数定理］

$|z-z_0|<r$ なるとき

$f_n(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k^{(n)}(z-z_0)^k\quad (n=1,2,\ldots)$

は正則で，また

$F(z)=\sum_{n=0}^\infty f_n(z)$

は $|z-z_0|\leqq\rho$（$\rho$ は $\rho<r$ なる任意の正数）なるとき，一様に収束するとする．然らば

$a_k^{(0)}+a_k^{(1)}+\cdots+a_k^{(n)}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty a_k^{(n)}=A_k$

は収束して，$|z-z_0|<r$ なるとき

$F(z)=\sum_{k=0}^\infty A_k(z-z_0)^k.$

要約すれば，巾級数 $f_n(z)$ を項別に加えてもさしつかえないのであるが，それには $\textstyle\sum f_n(z)$ の一様収束を（十分）条件とする．

［証］

定理 57（A）によって $F(z)$ は $|z-z_0|<r$ において正則で，また（C）によって $\textstyle F(z)=\sum f_n(z)$ を項別に微分してよい．故に

$F^{(k)}(z_0)=\sum_{n=0}^\infty f_n^{(k)}(z_0)=k!\sum_{n=0}^\infty a_k^{(n)}=k!\,A_k.$

（証終）

実変数の函数においては，微分がとかくめんどうで，積分は一般に簡単であった．これは標語的だけれども，我々がしばしば経験したところである．例えば連続性は導函数に遺伝しない（§18）が，積分函数は自然に連続性を獲得する（§32）．それが一般的実函数の世界である．解析函数の世界では，正則性は微分しても積分しても動揺しない．そこに解析函数の実用性がある．18世紀には，その根拠を認識しないで，解析函数を実数の断面において考察していたのであった． 我々は微分可能性によって解析函数を定義した．微分可能性は，約言すれば，$z$ が $z_0$ に近づく経路に関係なく $\tfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ の極限が一定であることを意味する．今同様に $z_0$ と $z$ とを結ぶ通路に関係なく $\textstyle\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ が一定であることを（この場限り）かりに積分可能ということにしてみよう．然らば Cauchy の定理（定理 51）は，複素変数の函数 $f(z)$ が微分可能ならば，積分可能であることを示し，また Morera の定理（定理 56）は，$f(z)$ が積分可能ならば，微分可能なることを示すものである．この意味において，複素数の世界では，微分可能も積分可能も同意語である．驚嘆すべき朗らかさ！ Cauchy およびそれに先立って Gauss が虚数積分に触れてから約百年を経て，我々はこの玲瓏なる境地に達しえたのである．