解析概論/第5章/解析函数の孤立特異点

59．解析函数の孤立特異点

ファイル:図

点 $a$ の近傍で，$a$ だけは別として，$f(z)$ は正則とする．その領域内に，$a$ を中心とする同心円 $C_1,C_2$ を画けば，$f(z)$ は $C_1,C_2$ の間に挾まれる円環および $C_1,C_2$ の周上の各店で正則である．今この円環内に点 $\zeta$ を取って

$\frac{f(z)}{z-\zeta}$

を考察する．然らば定理 52 によって

(1)

$\int_\mathit\Gamma\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz = \int_{C_1}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz-\int_{C_2}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz.$

ただし $\mathit\Gamma$ は $\zeta$ を中心とする円環内の円で，積分は三つともに各円周上を正の向きに取るのである．さて左辺の積分に関しては（定理 53）

$\frac{1}{2\pi i}\int_\mathit\Gamma\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz=f(\zeta).$

まら右辺で $C_1$ に関する積分は $\zeta-a$ の巾級数に展開される（214 頁参照）．すなわち

$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz=\sum_{n=0}^\infty a_n(\zeta-a)^n,$

(2)

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz$

で，これは $\zeta$ が円 $C_1$ の内部にあるときには確かに存在する． 右辺の $C_2$ に関する積分では，$\zeta$ が $C_2$ の外部にあるから，少し違う．この場合 $C_2$ の上の $z$ に関しては

$\left|\frac{z-a}{\zeta-a}\right|<1$

で，幾何級数

$\frac{1}{z-\zeta}=\frac{1}{(z-a)-(\zeta-a)} =\frac{-1}{\zeta-a}\biggl( 1+\frac{z-a}{\zeta-a}+\biggl(\frac{z-a}{\zeta-a}\biggr)^2+\cdots \biggr)$

は $C_2$ の上で $z$ に関して一様に収束するから，（214 頁と同様に）

$-\int_{C_2}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz = \frac{1}{z-a}\int_{C_2}f(z)\,dz+\frac{1}{(z-\zeta)^2}\int_{C_2}f(z)(z-a)\,dz$

$+\frac{1}{(z-\zeta)^3}\int_{C_2}f(z)(z-a)^2\,dz+\cdots,$

すなわち

$-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(z)}{z-\zeta} =\sum_{n=1}^\infty a_{-n}(\zeta-a)^{-n},$

(3)

$a_{-n}=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}f(z)(z-a)^{n-1}\,dz$

で，この $\tfrac{1}{\zeta-a}$ の巾級数は $\zeta$ が $C_2$ の外にあるとき，確かに収束する． よって (1) から，円環内の $\zeta$ に関して

(4)

$f(\zeta)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(\zeta-a)^n.$

ここで係数 $a_n$ は $n$ の正負に従って (2) または (3) で与えられる．しかし $C_1$ の内部にあって，全く $C_2$ を含む任意の閉曲線を $C$ とすれば，(2) でも (3) でも積分路を $C$ に換えてもよい（定理 52）．すなわち (2)，(3) の代りに

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}, \quad (n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots).$

(4) において $\zeta$ を $z$ と書き換えて

(6)

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n,$

$z$ は円環内の任意の点である．右辺の級数で正巾項の部分

(7)

$a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+\cdots$

は通常の巾級数で，それは $C_1$ の内部では収束する．また負巾項の部分

(8)

$\frac{a_{-1}}{z-a}+\frac{a_{-2}}{(z-a)^2}+\cdots+\frac{a_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots$

は $\tfrac{1}{z-a}$ の巾級数で，それは $C_2$ の外部では確かに収束する．よって (6) が円環内において収束するのである．

展開 (6) を点 $a$ に関する $f(z)$ の Laurent 展開という．

(6) の両辺に $(z-a)^k$ を掛けて，$a$ を中心とする円環内の円周 $C$ 上で積分すれば

(9)

$\begin{align} \int_C f(z)(z-a)^k\,dz &= \sum_{n=-\infty}^\infty a_n\int_C(z-a)^{n+k}\,dz\\ &= 2\pi ia_{-k-1},\quad (k=0,\pm1,\pm2,\ldots). \end{align}$

右辺における積分は $n+k=-1$ なるとき $2\pi i$ に等しく，その他は $0$ に等しい（§57，［例］参照）．故に Laurent 展開の各係数は一意的に確定する．

［附記］ 

上記証明からわかるように，$f(z)$ が円周 $C_1,C_2$ の間に挾まれる円環内で正則ならば，円環内の任意の点 $z$ に関し (6) は成り立つ． さて本節の初めに述べたように，或る領域 $K$ 内で，点 $a$ を除けば $f(z)$ は正則であるとする．然らば (5) における積分路 $C$ は $K$ 内にあって $a$ を含む任意の閉曲線でよい．また展開 (6) の正巾項の部分は $a$ を中心として $K$ の境界に触れる最大な円の内部で収束する．それは $a$ においても正則である．さてこの場合，内円 $C_2$ はどれほど小さくも取れるから，負巾項の部分

$\frac{a_{-1}}{z-a}+\frac{a_{-2}}{(z-a)^2}+\cdots+\frac{a_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots$

は $z=a$ 以外，すべての $z$ に対して収束するが，それが $z=a$ における特異性を誘起する原因なのだから，それを特異点 $z=a$ に関する $f(z)$ の主要部と名づける．

さて，ここで次のように三つの場合を区別する．

(1º)

主要部なし：

すなわち

$f(z)=a_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+\cdots,\quad (z\ne a).$

$z=a$ は初めから除いてあったのであるけれども，もしも $f(a)=a_0$ ならば，$f(z)$ は $z=a$ においても正則である．もしも $f(z)$ が $z=a$ だけで不正則であるならば $f(a)\ne a_0$ であるが，しかし $f(z)$ の $z=a$ における値だけを $a_0$ になおすならば，$z=a$ における $f(z)$ の不正則を除き去ることができる．このような不正則点を Riemann は除きうる特異点と名づけた．

このような特異点はなんらの重大性をも有しない．今 $f(z)$ が正則なる領域内の一点 $a$ において，故意に $f(a)$ の値を変更するならば，そこに特異点が生ずる．それが除きうる特異点である．

(2º)

主要部は有限級数，

すなわち

$f(z)=\frac{a_{-k}}{(z-a)^k}+\cdots+\frac{a_{-1}}{z-a}+P(z-a),\quad(a_{-k}\ne 0).$

この場合，$a$ を $f(z)$ の $k$ 次の極という．ここで $(z-a)^kf(z)$ は $a$ において正則で，$0$ と異なる値 $a_{-k}$ を有する．故に $z\to a$ のとき $f(z)\to\infty$．それは，$z$ がどのようにして $a$ に近迫するとしても $|f(z)|\to\infty$ なることを意味する．

［注意］ 

$f(z)$ が $z=a$ において正則で $f(a)=0$ とする．$f(z)$ が常に $0$ に等しい場合を除けば，その Taylor 展開は

$f(z)=(z-a)^k\{a_k+a_{k+1}(z-a)+\cdots\},\quad(a_k\ne 0,k\geqq 1).$

このとき $a$ を $f(z)$ の $k$ 次の零点という．仮定 $a_k\ne 0$ によって，$z=a$ の近傍では右辺 $\{\}$ の中の巾級数は $0$ にならないから，$f(z)$ は $a$ 以外では零にならない．すなわち $f(z)$ の零点は $a$ において孤立する．この場合 $a_k+a_{k+1}(z-a)+\cdots$ の逆数は $a$ の近傍で正則であるから，$\tfrac{1}{f(z)}$ は $a$ において $k$ 次の極を有する．

(3º)

主要部は無限級数，

すなわち

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n$

において $a_{-n}\ne 0\,(n>0)$ なる負巾項が無数にあるとする．この場合，$z=a$ の近傍における $f(z)$ の行動は，はなはだ複雑である．よって Weierstrass は $a$ を $f(z)$ の真性特異点（それに対して (2º) で述べた極を仮性特異点）と名づけた．

$a$ が真性特異点ならば，$z\to a$ のとき $f(z)$ は一定の極限を有しない．また $f(z)\to\infty$ でもない．しかし $a$ に収束する数列 $\{z_n\}$ を適当に取れば $f(z_n)\to\infty$ にもなり，また任意の $c$ に対して $f(z_n)\to c$ にもなる（Weierstrass の定理）．

次にその証明を述べる．

(A)

$f(z_n)\to\infty$ なる数列 $\{z_n\}$ が存在すること． 間接証明をするために，或る正数 $r_0,M_0$ に対して

(10)

$0<|z-a|<r_0$　なるとき　$|f(z)|<M_0$

と仮定してみる．然らば (9) によって

$a_{-n}=\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)(z-a)^{n-1}\,dz.$

この場合 $C$ の半径はどんなに小さくてもよいから，それを $\rho<r_0$ とすれば，(10) から

$|a_{-n}|<\frac{M_0\rho^{n-1}}{2\pi}\int_C\,ds=M_0\rho^n.$

$\rho$ はどのようにも小さく取れるから $a_{-n}=0 \,(n=1,2,3,\ldots)$．それは仮定に反する．

(B)

$f(z_n)\to c$ なる数列 $\{z_k\}$ が存在すること． 任意の正数 $r,\varepsilon$ に対して，$0<|z-a|<r$，かつ $|f(z)-c|<\varepsilon$ なる $z$ が存在すればよいのだが，間接証明をするために，或る $r_0,\varepsilon_0$ に対して

(11)

$0<|z-a|<r_0$　なるとき　$|f(z)-c|\geqq \varepsilon_0$

と仮定してみる．然らば $0<|z-a|<r_0$ なる $z$ に対して

$\varphi(z)=\frac{1}{f(z)-c}$

と置くとき，

(12)

$0<|z-a|<r_0$　ならば　$|\varphi(z)|\leqq \frac{1}{\varepsilon_0}.$

さて $z=a$ の近傍で $a$ を除けば (11) によって $\varphi(z)$ は正則である．然るに (12) によれば，$a$ は $\varphi(z)$ の極ではなく．また (A) によって $\varphi(z)$ の真性特異点でもない．故に $z=a$ おいて $\varphi(z)$ は正則，あるいは $a$ は $\varphi(z)$ に関しては除きうる特異点である．すなわち $\textstyle\lim_{z\to a}\varphi(z)=\lambda$ は確定である．もしも $\lambda\ne 0$ ならば，$\lambda=\tfrac{1}{f(a)-c}$ 従って $f(a)=c+\tfrac{1}{\lambda}$ とすれば，$f(z)$ は $a$ において正則である．またもし $\lambda=0$ ならば $f(z)-c=\tfrac{1}{\varphi(z)}$ において，$z=a$ は $\varphi(z)$ の零点，従って $f(z)-c$ の極である（前頁［注意］）．いずれにしても，それは仮定に反する（Laurent 展開の一意性）．

上記を綜合すれば，逆に次のようにいわれる．

$f(z)$ が $z=a$ の附近で $a$ 以外では正則とする．そのとき

(1º)

もしも $f(z)$ が $z=a$ において連続なら $z=a$ においても正則である（Riemann の定理）．

(2º)

もしも $z\to a$ のとき $f(z)\to\infty$ ならば $a$ は極である．

(3º)

もしも $\textstyle\lim_{z\to a}f(z)$ は不確定ならば，$a$ は真性特異点である（Weierstrass の定理の逆）．

上記 Weierstrass の定理は通常次のようにいい表される．

解析函数 $f(z)$ は孤立した真性特異点 $z=a$ のどれほど近いところででも，任意の値 $c$ に限りなく近づく．

実際は $a$ の近傍において $f(z)=c$ は一般に無数の根を有する．ただし $c$ のただ一つの値だけが例外であることもある（Picard）．

［例 1］

$e^{\frac{1}z}=1+\frac{1}z+\frac{1}{2z^2}+\cdots+\frac{1}{n!\,z^n}+\cdots.$

故に $z=0$ は真性特異点である．実数軸上，$z$ が正の方面から $0$ に近づけば，$e^{\frac{1}z}\to\infty$．また負の方面から $0$ に近づけば $e^{\frac{1}z}\to 0$ で，極限が不確定である．

$c\ne 0$ として $\log c=\alpha$ とすれば，$e^{\frac{1}z}=c$ の解は $z=\tfrac{1}{\alpha+2n\pi i}$ で，それらは $n\to\infty$ のとき $0$ に集積する．この場合 $c=0$ が上記 Picard の例外値である．

［例 2］

$\sin\tfrac{1}z$ に関しても同様に $z=0$ が真性特異点である．この場合には例外値はない．$c$ が $-1$ と $+1$ との間の実数であるとき，$\sin\tfrac{1}z$ の根の配置はしばしば引用した．

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