解析概論/第5章/解析函数

55．解析函数

§8に述べたのは函数のDirichlet式定義である． それをそのまま複素数にまで拡張するならば， 或る区域に属する各々の複素数$z = x + yi$に， それぞれ確定の複素数$w = u + vi$を対応せしめる或る法則が与えられるとき， $w$を$z$の函数ということになるであろう． しかし，それだけでは，二つの実変数$x,y$の二つの実函数$u,v$が組合わせられるに過ぎなくて， 特に複素数を用いるには及ばない． 複素変数を考察するに当って，我々は，函数の連続性はもちろんであるが， なおそれの微分可能性を要求する．

微分可能の意味は形式上実数の場合と全く同様である． すなわち$f(z)$が$z$において微分可能であるとは

$\lim_{h \to 0}\frac{f(z + h) - f(z)}{h} = f'(z)$

が確定であることをいう． 換言すれば

(1)

$f(z + h) = f(z) + hf'(z) + o(h)$

で，$f'(x)$は$z$のみに関係して$h$には関係しない定数， また$o(h)$は$z$にも$h$にも関係するが， $h \to 0$のとき，$h$よりも高度に微小なる数である． すなわち$o(h) = \varepsilon h$と置けば$h \to 0$のとき$\varepsilon \to 0$， それはすなわち$|h| \to 0$のとき$|\varepsilon| \to 0$を意味する．

上記微分可能の定義は，形式上実数の場合と同様であるけれども， 複素数の範囲においては，$h \to 0$というのは， $h$の絶対値$|h|$が限りなく小さくなることであって， 偏角$\arg h$は任意である， すなわち$h$がどの方面から， どのような過程を経て$0$に近づくとしても， それには無関係に

$\frac{f(z + h) - f(z)}{h}$

が一定の極限$f'(z)$に近づくのである．

複素数平面上の或る領域$K$の各点において微分可能な函数を$K$において正則な解析函数という． あるいは略して単に正則ともいう．

形容詞‘解析’（analytic）は，むしろ全局的の意味において用いられる． 局所的には簡便に正則（regular）という． フランス系では整型（holomorphe）ともいう．

この後，函数が或る点において正則というのは， その点の近傍（その点を含む或る領域）において正則（微分可能）なることを意味する．

微分法に関する定理15および合成函数の微分に関して§15に述べたことは， 複素変数に関しても，もちろん，通用する． 微分可能なる函数は，もちろん，連続で，また閉区域において連続は一様である，等々．

微分可能な函数の最も簡単なものは

$f(z) = z^{n}$ （$n$は自然数）

である． 実際，実変数の場合と同様に

$h \to 0$ のとき  $\frac{(z + h)^{n} - z^{n}}{h} = nz^{n - 1} + \frac{n(n - 1)}{2}hz^{n - 2} + \cdots + h^{n - 1} \to nz^{n - 1}$，

すなわち

$f'(z) = nz^{n - 1}$．

このように$z^{n}$が微分可能だから， 有理函数は微分可能である． ただし，分母が$0$になる点$z$は除いていう（定理15）．

なお重要な場合は，巾級数

$P(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}z^{n}$

で表わされる函数で，それは微分可能である． 前章（定理49，［注意1］）に述べた証明法は複素数にも通用する． 故に巾級数は収束円内で正則で，かつその逐次の導函数がすべて同一円内で正則である．

上記の意味で，$f(z) = u + vi$が$z = x + yi$に関して微分可能であることを， 実数の関係に引き直してみるために， $f'(z) = p + qi$とし，また$h = \Delta z = \Delta x + i\Delta y$と置けば， (1)から

$\Delta u + i\Delta v = (p + qi)(\Delta x + i\Delta y) + o(|h|),\quad (|h| = \sqrt{\Delta x^{2} + \Delta y^{2}}).$

故に実部と虚部とを分けて

$\Delta u = p\Delta x - q\Delta y + o(|h|),\quad \Delta v = q\Delta x + p\Delta y + o(|h|).$

すなわち，$u$，$v$は実変数$x$，$y$の函数として§22の意味で微分可能で

$u_{x} = v_{y} = p,\quad -u_{y} = v_{x} = q,$

従って

$f'(z) = u_{x} + iv_{x} = -i(u_{y} + iv_{y}).$

すなわち$f(z)$が正則ならば，その実部$u$および虚部$v$の間に

(2)

$u_{x} = v_{y},\quad u_{y} = -v_{x}$

なる関係が成り立つ． これは微分可能の必要条件である． (2)をCauchy--Riemannの微分方程式という．

逆に$u$，$v$の実函数として，§22に述べた意味で微分可能で， かつ(2)が成り立つならば，$h = \Delta x + i\Delta y$として

$\Delta u = u_{x}\Delta x + u_{y}\Delta y + o(|h|)$，
$\Delta v = v_{x}\Delta x + v_{y}\Delta y + o(|h|)$，

従って(2)を用いて

$\Delta u + i\Delta v = (u_{x} + iv_{x})(\Delta x + i\Delta y) + o(|h|)$．

故に

$\frac{\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y} \to u_{x} + iv_{x}$．

すなわち$u + vi$は複素変数$z = x + yi$に関して微分可能である．

これは明白である． さて，後にわかるように，$f(z)$が正則ならば， 導函数$f'(z)$も正則である． 従って何階までも導函数が正則だから$u$，$v$は何階までも連続的微分可能である．

今しばらくそれを仮定すれば，(2)から$u_{xx} = v_{yx}$，$u_{yy} = -v_{xy}$． 従って（定理27）

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0$，  $\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}} = 0$．

すなわち$u$，$v$は Laplaceの微分方程式$\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}$を満足せしめねばならない． 故に解析函数$f(z)$の実部および虚部 $u(x,y)$，$v(x,y)$は実変数$x$，$y$の函数としては 非常に特別なる函数（いわゆる調和函数）である．

［例1］ 

$z = x + yi$と共役な$\bar{z} = x - yi$は， §8の意味では$z$の函数であるけれども，それは解析的でない． この場合，$u = x$，$v = -y$で，(2)が成り立たない．

$|z|$，$\Re(z) = x$（$z$の実部），$\Im(z) = y$（$z$の虚部）なども$z$の函数であるが， それらも解析的でない． 一般に，或る領域で常に実数値を有する$f(z)$は（それが定数である場合を除けば）解析的でない．---$v = 0$ならば， (2)から$u_{x} = 0$，$u_{y} = 0$を得る．

［例2］ 

或る領域で$f(z)$が正則で$f'(z)$が常に$0$ならば， $f(z)$は定数である．---$f'(z) = u_{x} + iv_{x}$だから， $u_{z} = 0$，$v_{x} = 0$を得る．

［例3］ 

或る領域で$f(z)$が正則で，かつ$|f(z)| = c$が定数ならば， $f(x)$がそれ自身が定数である．---$c = 0$ならばもちろん$f(z) = 0$． よって$c > 0$とする． 然らば領域内で，$u^{2} + v^{2} = c^{2}$． 従って$uu_{x} + vv_{x} = 0$，$uu_{y} + vv_{y} = 0$． それから$v$または$u$を逐い出せば， (2)から$u({u_{x}}^{2} + {v_{x}}^{2}) = 0$，$v({u_{x}}^{2} + {v_{x}}^{2}) = 0$． すなわち$u|f'(z)|^{2} = 0$，$v|f'(z)|^{2} = 0$． 領域内で$u = v = 0$でないのだから，$f'(z) = 0$． 故に$f(z)$は定数である［例2］．

［附記］ 

$z = x + yi$，$w = f(z) = u + vi$とすれば，(2)から

$\frac{D(u,v)}{D(x,y)} = \left| \begin{array}{cc} u_{x} & v_{x} \\ u_{y} & v_{y} \end{array} \right| = {u_{x}}^{2} + {v_{x}}^{2} = |f'(z)|^{2}$．

これは$f'(z) = 0$なるときのほかは常に正である． 故に$f'(z) \neq 0$なる点$z$の近傍では， $f(z)$の逆函数が一意的に可能である（§83，§84参照）． すなわち局所的に$z$と$w = f(z)$との間に1対1対応が成り立つ．

この対応を写像と見れば，$f'(z) = p + qi = \kappa = ke^{i\alpha} \neq 0$とするとき

$du = pdx - qdy$，
$dv = qdx + pdy$．

複素数で書けば，簡明に

$dw = \kappa dz = dz \times k \times e^{i\alpha}$．

すなわち微分（微小微分）に関しては，$z$系から$w$系に移るには， $k$倍に拡大して，角$\alpha$だけ正の向きに回転すればよい． 約言すれば，この写像は極限において相似になる．

微分可能といえば，一語簡単であるが，含蓄は多大である． だから有理函数や巾級数やに関しても， その‘解析性’を伏せておいては，真相がわかるものではあるまい！