解析概論/第5章/積分

[編集] 56．積分

本節では領域 $K$ において $f(z)$ の連続性のみを仮定する． $K$ 内で点 $z_0$ を点 $z$ に結ぶ曲線 $C$ が与えられているとする^{[* 1]}．

$C$ の上で $z_0$ と $z$ との間に順次に分点 $z_1,z_2,\ldots,z_{n-1}$ を取って $i$ 番目の弧 $z_{i-1}z_i$ （それを $C_i$ と名づける）の上の任意の点を $\zeta_i$ として，例の通り

(1)

$\mathit\Sigma_\Delta=\sum_{i=1}^n f(\zeta_i)(z_i-z_{i-1})$

を考察する．弧 $C_i$ の長さを $\sigma_i$ として， $\sigma_i$ の最大値を $\sigma$ とするならば， $\sigma\to 0$ のとき $\mathit\Sigma_\Delta$ は曲線 $C$ の分割法 $\Delta$ および $\zeta_i$ のとり方に無関係なる一定の極限を有する．それを曲線 $C$ に関する $f(z)$ の積分

(2)

$I=\int_C f(z)\,dz$

という． $z=x+yi,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ とすれば， $I$ は線積分

(3)

$I=\int_C(u\,dx-v\,dy)+i\int_C(u\,dy+v\,dx)$

にほかならない（§41）．

積分 $I$ に関しては実変数に関して述べたのと同様の定理がもちろん成り立つが，それらを一々説明する必要はあるまい．今我々の目的のために重要なのは次の事項である．

(1º)

曲線 $C$ の上で常に $|f(z)|\leqq M$ ならば

$\left|\int_C f(z)\,dz\right|\leqq ML,$

$L$ は $C$ の長さを表わすのである．

［証］

この場合 (1) において， $\textstyle|\mathit\Sigma_\Delta|\leqq M\sum_{i=1}^n|z_i-z_{i-1}|$ ，また $\textstyle\sum_{i=1}^n|z_i-z_{i-1}|\leqq L$ ．従って $|\mathit\Sigma_\Delta|\leqq ML$ ．故に極限へ行っても

$\lim_{\delta\to 0}\left|\sum f(\zeta_i)(z_i-z_{i-1})\right|\leqq ML.$

すなわち

$|I|\leqq ML.$

(2º)

上記よりは，いっそう精密に， $s$ を $C$ 上の弧長とすれば，

$\left|\int_C f(z)\,dz\right|\leqq \int_C|f(z)|\,ds.$

［証］

(1) から

$\begin{align} \left|\sum_{i=1}^n f(z_i)(z_i-z_{i-1})\right| &=\sum_{i=1}^n|f(z_i)||z_i-z_{i-1}|\\ &=\sum_{i=1}^n|f(z_i)|(s_i-s_{i-1}), \end{align}$

$|z_i-z_{i-1}|$ は部分弧 $C_i$ の弦の長さで， $s_i-s_{i-1}$ は $C_i$ の弧長である．さて極限へ行けば上記の関係を得る．

(3º)

$K$ において連続なる $f(z),g(z)$ に関して， $K$ において，あるいは単に $C$ の上で， $|f(z)-g(z)|<\varepsilon$ ならば

$\left|\int_C f(z)\,dz-\int_C g(z)\,dz\right|<\varepsilon L.$

［証］

$\textstyle\int_C f(z)\,dz-\int_C g(z)\,dz=\int_C\{f(z)-g(z)\}\,dz$ ．これは明白であろう．然らば $f(z)-g(z)$ に関して，(1º) において $M<\varepsilon$ としてよい．

(4º)

$C$ の上で $f_n(z)$ が一様に $f(z)$ に収束すれば

$\int_C f(z)\,dz=\lim_{n\to\infty}\int_C f_n(z)\,dz.$

［証］

$n$ を十分大きく取れば， $C$ 上で常に $|f(z)-f_n(z)|<\varepsilon$ ．故に (3º) によって

$\left|\int_C f(z)\,dz-\int_C f_n(z)\,dz\right|<\varepsilon L.$

［注意］

$C$ 上で $\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(z)$ が一様に $f(z)$ に収束すれば，項別積分が許される．部分和 $\textstyle\sum_{\nu=0}^n f_\nu(z)$ を (4º) の $f_n(z)$ に代用するのである．

ファイル:図

(5º)

$C$ の上の分点 $z_i$ を順次に結ぶ折線 $(z_0z_1z_2\ldots z_{n-1}z)$ を $\mathit\Gamma$ と名づける．然らば分点を十分密に取れば， $\textstyle\int_{\mathit\Gamma}f(z)\,dz$ はどれほどでも $\textstyle\int_C f(z)\,dz$ に近似する． $\varepsilon\text{-}\delta$ 式でいえば，部分弧 $C_i$ の長さの最大値を $\sigma$ として， $\sigma<\delta$ のとき

$\left|\int_C f(z)\,dz-\int_{\mathit\Gamma}f(z)\,dz\right|<\varepsilon.$

もちろん，折線 $\mathit\Gamma$ が領域 $K$ の外へ出てはならないが， $\sigma$ を十分小さく取れば， $\mathit\Gamma$ は $K$ 内に止まるであろう^{[* 2]}．

［証］

連続の一様性（定理 14）を証明の根拠にする． $K$ 内で $C$ （および $\mathit\Gamma$ ）を包む閉域を $K_0$ とするとき，与えられた $\varepsilon$ に対応して，十分小さく $\delta$ を取って， $K_0$ において常に， $|z-z'|<\delta$ なるとき $|f(z)-f(z')|<\varepsilon$ ならしめることができる．曲線 $C$ の上に分点を十分密に取って，部分弧の長さをすべて $\delta$ よりも小にする．すなわち前記の $\sigma<\delta$ ．然らば部分弧 $C_i$ に対応する弦を $\mathit\Gamma_i$ とするとき $|z_i-z_{i-1}|$ は $\mathit\Gamma_i$ の長さで，それも，もちろん， $\delta$ よりも小である．

さて $C_i$ の上の任意の点 $z$ に関して $|z-z_i|<\delta$ ．故に $C_i$ の上では $|f(z)-f(z_i)|<\varepsilon$ ．故に (3º) によって

$\left|\int_{C_i}f(z)\,dz-\int_{C_i}f(z_i)\,dz\right|<\varepsilon\sigma_i,$

$\sigma_i$ は弧 $C_i$ の長さである．さて積分の定義によって

$\int_{C_i}f(z_i)\,dz=f(z_i)\int_{C_i}\,dz=f(z_i)(z_i-z_{i-1}),$

従って

$\left|\int_{C_1}f(z)\,dz-f(z_i)(z_i-z_{i-1})\right|<\varepsilon\sigma_i$

故に

$\int_C f(z)\,dz=\sum_{i=1}^n\int_{C_i}f(z)\,dz$

を用いて，

(4)

$\begin{align} \left|\int_C f(z)\,dz-\sum_{i=1}^n f(z_i)(z_i-z_{i-1})\right| &\leqq \sum_{i=1}^n\left|\int_{C_i}f(z)\,dz-f(z_i)(z_i-z_{i-1})\right|\\ &< \varepsilon\sum_{i=1}^n\sigma_i=\varepsilon L, \end{align}$

$L$ は $C$ の長さである．

$C$ の代りに折線 $\mathit\Gamma$ を取っても同様に

(5)

$\left|\int_\mathit\Gamma f(z)\,dz-\sum_{i=1}^n f(z_i)(z_i-z_{i-1})\right| <\varepsilon L',$

$L'$ は $\mathit\Gamma$ の長さである．従って $L'\leqq L$ ．

(4) と (5) とから

$\left|\int_C-\int_\mathit\Gamma\right|<2\varepsilon L.$

$L$ は定数， $\varepsilon$ は任意だから証終る．

(6º)

$z_0$ と $z$ とを結ぶ曲線 $C$ に関する積分 $\textstyle\int_C f(z)\,dz$ が確定の値を有するといっても，その値は曲線 $C$ の取りようによって変動するであろう．もしも $\textstyle\int_C f(z)\,dz$ が $z_0$ と $z$ とのみに関係して， $K$ 内でそれらを結ぶ曲線 $C$ には無関係なる一定の値を有するならば， $\textstyle\int_C f(z)\,dz$ を $\textstyle\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ と記してさしつかえない．その場合， $z_0$ を固定すれば $\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ は $z$ の函数である．それを

$F(z)=\int_{z_0}^z f(z)\,dz$

と置けば， $F(z)$ は微分可能で，

$F'(z)=f(z).$

もちろん $f(z)$ は連続と仮定している．

［証］

$\textstyle F(z_1+h)=\int_{z_0}^{z_1+h}f(z)\,dz$ において積分路は $z_1$ を通るとしてよいから，

$F(z_1+h)-F(z_1)=\int_{z_1}^{z_1+h}f(z)\,dz.$

今 $|h|<\delta$ なるとき， $|f(z_1+h)-f(z_1)|<\varepsilon$ とすれば

(6)

$\left|\int_{z_1}^{z_1+h}\{f(z)-f(z_1)\}\,dz\right|<\varepsilon|h|.$

これは $\textstyle\int_{z_1}^{z_1+h}$ が $z_1$ と $z_1+h$ とを結ぶ線分としてもよいからである．もちろん $|h|$ を十分小さく取って，その線分が考察中の領域 $K$ の内部にあるとしていうのである．さて

(7)

$\begin{align} \int_{z_1}^{z_1+h}\{f(z)-f(z_1)\}\,dz &=\int_{z_1}^{z_1+h} f(z)\,dz -f(z_1)\int_{z_1}^{z_1+h}dz\\ &=\int_{z_1}^{z_1+h} f(z)\,dz -hf(z_1) \end{align}$

だから，(6) と (7) とから

$\left|\int_{z_1}^{z_1+h}f(z)\,dz-hf(z_1)\right|<\varepsilon|h|,$

すなわち

$|F(z_1+h)-F(z_1)-hf(z_1)|<\varepsilon|h|.$

故に

$\left|\frac{F(z_1+h)-F(z_1)}h -f(z_1)\right|<\varepsilon.$

$\varepsilon$ は任意だから

$\lim_{h\to 0}\frac{F(z_1+h)-F(z_1)}h = f(z_1),$

すなわち

$F'(z_1)=f(z_1).$

［例］

$f(z)=a+bz$ を $z$ の一次式とする．然らば $\textstyle\int_{z_0}^z f(z)\,dz$ は $z_0$ と $z$ を結ぶ路 $C$ に無関係な確定の値を有する．

$\int_C(a+bz)\,dz=a\int_C dz+b\int_C z\,dz$

だから， $\textstyle\int dz$ および $\textstyle\int z\,dz$ に関して証明をすればよい．さて

$\int_C dz=\lim\sum(z_i-z_{i-1})=z-z_0.$

また各小弧の両端における $z$ の値を取って

$\begin{align} \int_C z\,dz &=\lim\sum z_{i-1}(z_i-z_{i-1})=\lim\sum z_i(z_i-z_{i-1})\\ &= \frac12\lim\sum(z_i+z_{i-1})(z_i-z_{i-1})=\frac12\lim\sum(z_i^2-z_{i-1}^2)\\ &= \frac12(z^2-z_0^2). \end{align}$

故に $\textstyle\int_C dz$ も $\textstyle\int_C z\,dz$ も積分路 $C$ には無関係である．

これらの場合， $f(z)=1, F(z)=z-z_0$ ．または $f(z)=z,F(z)=\tfrac12(z^2-z_0^2)$ で，どちらも $F'(z)=f(z)$ ．

［注意］

$z_0$ から $z$ に行く曲線 $C_1,C_2$ があるとき， $z_0$ から $C_1$ に沿って $z$ に行き， $z$ から $C_2$ に沿って反対に $z_0$ に返ることができる．これを一つの通路 $C$ とするならば $\textstyle\int_{C_1}-\int_{C_2}=\int_C$ ．故に $\textstyle\int_{C_1}=\int_{C_2}$ は $\textstyle\int_C=0$ に同じである．ただし $\textstyle\int_C$ においては $z_0,z$ に起点，終点というような特別の意味はない．

ファイル:図