解析概論/第5章/整函数

61．整函数

$z$ 平面の各点において正則なる解析函数を総称して整函数という．

$z$ 平面の各点といっても，$z=\infty$ は含まない．$z=\infty$ は標語として使用するのである．$z=\infty$ をも含めていうときには特にそれをことわらねばならない．

$f(z)$ が整函数ならば，$z=0$ における Talor 展開 $\textstyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}$ がすべての $z$ に関して収束する．この場合にも，前節と同様に三つの場合を区別することができる．

(1º)

$f(z)=a_0$（定数）．

(2º)

$f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n,\,(a_n\ne 0,\,n\geqq 1).$ この場合には $\textstyle \lim_{z\to\infty}f(z)=\infty.$

(3º)

$\textstyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ は無限級数，収束半径は $\infty$．今度は $\textstyle \lim_{z\to\infty}f(z)$ は不確定．

上記 (1º)，(2º) では $f(z)$ は多項式である．(3º) の場合には $f(z)$ を超越整函数という．$e^z$（または $\sin z,\,\cos z$）がその一例である．超越整函数においては，$z=\infty$ は真性特異点で，前節で述べた Weierstrass の定理が適用される．

定理 51．

整函数 $f(z)$ が有界（すべての $z$ に関して $f(z)< M$）ならば，$f(z)$ は定数である［Liouville の定理］.

［証］

この場合 $f(z)$ は上記 (2º)，(3º) ではありえない．

［注意］ 

Liouville の定理は，次のようにいうことができる．すなわち，$\infty$ をも込めて，$f(z)$ が $z$ 平面の各点で正則ならば，$f(z)$ は定数である．

定理 60．

一次以上の多項式 $f(z)$ は根を有する（代数学の基本定理）．

［証］

かりに $f(z)$ が根を有しないとするならば，$1/f(z)$ は整函数でなければならない．然るに (2º) によって $z\to\infty$ のとき $f(z)\to\infty$，従って $1/f(z)\to 0$．故に $1/f(z)$ は定数（定理 59）．それは不合理である．

根の存在が確定する以上，$n$ 次の多項式が $n$ 個の一次因数に分解されること，および分解の一意性は周知であろう．