解析概論/第5章/二次式の平方根に関する不定積分

67．二次式の平方根に関する不定積分

$z$ の二次式の平方根を

(1)

$w=\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{R}$

と書いて，$F$ を有理式とすれば $F(z,w)$ は $z$ に関して一意的ではないが，それを有理的に一意化（uniformization）することができる．――というのは，$z$ も $w$ も媒介変数 $t$ の有理函数で，その $t$ が逆にまた $z$ と $w$ との有理函数として表されることを意味する．すなわち

(2)

$z=\varphi(t),\quad w=\psi(t)$

で，また

(3)

$t=\theta(z,w);$

しかも $\varphi,\psi,\theta$ は有理函数である．このように $z$ と $w$ とを一意的に表わす媒介変数 $t$ を一意化変数という．

然らば，(2) を $F(z,w)$ へ持ち込めば

$\int F(z,w)dz=\int F(\varphi,\psi)\varphi'(t)dt.$

それは $t$ に関する有理函数の積分である．故に不定積分は (3) によって，$z$ と $w$ との有理函数および対数函数で表わされる．

上記の一意化は実変数の場合には§37，（II）に述べたように無数にできるが，同様の方法が複素変数に関しても適用される．次にその一例を述べる．

まず変数 $z$ の一次変換によって平方根を

$\sqrt{R}=\sqrt{z^2-1}$

にすることができる．複素数の範囲で考察すれば，それは常に可能である．然らば（§37のように）

(4)

$z+\sqrt{R}=t$

と置くとき

$z-\sqrt{R}=\frac{1}{t}.$

従って

$z=\frac{1}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right),\quad \sqrt{R}=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right),$

$dz=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t^2}\right)dt,$

(5)

$\frac{dz}{\sqrt{R}}=\frac{dt}{t}$

これが計算的に最も見透しのよい有理化の方法であろう．

さて $F(z,w)$ を有理式とすれば，一意化変数 $t$ を用いて

$\int F(z,\sqrt{R})dz=\int \mathit{\Phi}(t).$

ただし $\mathit{\Phi}(t)$ は有理式である．それを多項式と部分分数とに分割して

$\mathit{\Phi}(t)=P(t)+\sum_{\lambda,n}\frac{c_n}{(t-\lambda)^n}$

とする，$\lambda$ は $\mathit{\Phi}(t)$ の極である．従って

(6)

$\int \mathit{\Phi}(t)dt=\mathit{\Psi}(t)+\sum_{\lambda}c_1\log(t-\lambda),$

$\mathit{\Psi}(t)$ は有理式である．故に (4) から

(7)

$\int F(z,\sqrt{R})dz= \mathit{\Psi}(z+\sqrt{R})+\sum_{\lambda}c_1\log(z+\sqrt{R}-\lambda)$

すなわち $F(z,\sqrt{R})$ の不定積分は $z,\sqrt{R}$ の有理式と $z,\sqrt{R}$ の一次式の対数との一次結合として表わされる．

以上は $F(z,\sqrt{R})$ の不定積分を行うときに期待されるべき結果の概括論である．

$F$ および $R$ における係数が実数であるとき，変数も実数として，結果を実数のみで表わすには，三つの場合を区別することを要する．すなわち

$R=ax^2+bx+c,\quad D=b^2-4ac$

として

$\text{(I) }a>0,D>0,\quad \text{(II) }a>0,D<0,\quad \text{(III) }a<0,D<0.$

$a<0,D<0$ ならば，$R$ は常に負だから，実数の範囲内では問題にならない．さて，これらの場合において，実係数の一次変換によって $\sqrt{R}$ を次のような形に変形すえることができる．

$\text{(I) }\sqrt{x^2-1},\quad \text{(II) }\sqrt{x^2+1},\quad \text{(III) }\sqrt{1-x^2}.$

(I) の場合には，(4) の変換で有理化ができるが，そのとき (7) における $\log$ の下で，$\lambda=p+qi$ が複素数ならば，その $\log$ を実数に引直さねばならない．さて

$\log(t-\lambda)=\log(t-p-qi) =\frac{1}{2}\log((t-p)^2+q^2)-i\,\mathrm{arc\,tan\,}\frac{q}{t-p}.$

右辺の $\log$ の下は $t$ の二次式だが，それを

$\log(t)+\log\!\left(t+\frac{p^2+q^2}{t}-2p\right)$

と書けば，$\tfrac{1}{t}=x-\sqrt{R}$ であったから，第二の $\log$ の下は

$x+\sqrt{R}+(p^2+q^2)(x-\sqrt{R})-2p$

すなわち $hx+k\sqrt{R}+l$ のような $x$ と $\sqrt{R}$ との実係数の一次式である．$\lambda$ が複素数ならば，(7) における係数 $c_1$（留数）も複素数だが，共役複素数が対を成して出てきて，結局は $x,\sqrt{R}$ の一次式の $\log$ と $x,\sqrt{R}$ の一次有理式の $\mathrm{arc\,tan}$ とで不定積分が得られるのである．(II)，(III) でも，結果は同様であるが，いずれの場合にも，実際の計算は相当にめんどうである．

上記，一般的の理論では，結果の見通しをつけて，手数を厭わなければ，計算が必らずできることを述べたのである．もっとも，計算ができるといっても，部分分数への分解には，方程式の根を求めなければならないから，実際は（極めて特別の場合のほか）近似計算に終わるのである．

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