解析概論/第4章/連続的変数に関する一様収束 積分記号下での微分積分

48．連続的変数に関する一様収束　積分記号下での微分積分

函数列 $\{f_n(x)\}$ においては $f_n(x)$ は $x$ と $n$ とに関係し，$n\to\infty$ に対する収束において，収束の速度が $x$ に関係しないことを，$x$ に関する一様収束というのであった．しかし自然数なる変数 $n$ の代りに連続的なる媒介変数 $\alpha$ が登場する場合にも，同様の立場から収束の一様性を考察することができる．

今 $f(x,\alpha)$ は $x$ の或る区域 $K$ における各 $x$ に関して $\alpha\to\alpha_0$（または $\alpha\to\infty$）のときに，或る極限値に収束するとする．その極限値は $x$ の函数であるから，それを $g(x)$ と略記する．然らば例の通り $\varepsilon\text{-}\delta$ 式でいえば

(1)

$|\alpha-\alpha_0|<\delta,\alpha\ne\alpha_0$　なるとき　$|f(x,\alpha)-g(x)|<\varepsilon.$

$\varepsilon$ がまず任意に与えられて，それに応じて $\delta$ が定められるのであるが，その $\delta$ は一般には $x$ にも関係するであろう．もしも $K$ における $x$ の位置に関係なく，ただ $\varepsilon$ のみに関係する $\delta$ があって，その $\delta$ に関して (1) が成り立つならば，$f(x,\alpha)$ は $\alpha\to\alpha_0$ のとき，$K$ における $x$ に関して一様に収束するという． もしも $\alpha_0$ に収束する任意の点列 $\{\alpha_n\},\alpha_n\ne\alpha$，を取るならば，(1) において条件 $|\alpha-\alpha_0|<\delta$ を $n>N$ で置き換えて

(2)

$n>N$　なるとき　$|f(x,\alpha_n)-g(x)|<\varepsilon$

を得る．$\delta$ が $x$ に無関係ならば，$N$ も同様である．このように考えるならば，$\alpha_0$ に収束する連続的変数 $\alpha$ を無限に増大する自然数 $n$ に変えることができる．ただしその場合 (2) が収束するすべての数列 $\{\alpha_n\},\alpha_n\ne\alpha_0$，に関して成り立つことを要する（§9，22 頁参照）．

$\alpha\to\infty$ なる場合には，(1) においては $|\alpha-\alpha_0|<\delta$ を $\alpha>R$ に換え，また (2) においては $\{\alpha_n\}$ を $\alpha_n\to\infty$ なるすべての数列とすべきである．

$\alpha\to\alpha_0$ または $\alpha\to\infty$ なるとき，一様収束の仮定の下において，前節とまったく同様に，定理（A），（B），（C）が成り立つ．

それは上記のように函数列 $f(x,\alpha_n)$ を考察すれば，定理 40 から導かれるが，あるいはまた定理 40 と全く同様の方法によって，直接に証明することも容易であろう．

点 $(x,\alpha)$ が或る閉矩形 $K(a\leqq x\leqq b,\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2)$ に属するとき，$f(x,\alpha)$ が二変数 $x,\alpha$ の函数として連続ならば，$\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$ なる $\alpha$ に関し

(3)

$F(\alpha)=\int_a^b f(x,\alpha)\,dx$

は $\alpha$ の函数である．

定理 41．

この仮定の下において，

（A）

$F(\alpha)$ は $\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$ で連続．

（B）

$\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} F(\alpha)\,d\alpha=\int_a^b dx\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} f(x,\alpha)\,d\alpha$．

（C）

偏微分商 $f_\alpha(x,\alpha)$ が区域内で連続ならば，

$F'(\alpha)=\int_a^b f_\alpha(x,\alpha)\,dx.$

［注意］ 

（A），（B） は二次元積分に関係して後にも述べるが（§93），さし当たってこの定理を引用する必要はあるから，ここで一様収束の思想圏内において証明をしておこう．

［証（A）］

積分区間 $[a,b]$ を分点 $x_i$ において $n$ 等分して

(4)

$\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i,\alpha)\cdot\frac{b-a}n=F_n(\alpha)$

と置けば $n\to\infty$ のとき，$F_n(\alpha)$ は積分 $F(\alpha)$ に収束する．しかも一様に収束する．なぜなら： 仮定によって $f(x,\alpha)$ は連続だから，連続の一様性によって，$n$ を十分大きく取って

$|x-x'|<\frac{b-a}n$

なるとき，区間 $[\alpha_1,\alpha_2]$ のすべての $\alpha$ に関して

$|f(x,\alpha)-f(x',\alpha)|<\varepsilon$

ならしめることができる．さて積分の平均値の定理を用いて

$F(\alpha)=\sum_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x,\alpha)\,dx = \sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i,\alpha)\frac{b-a}n, \quad x_i\leqq\xi_i\leqq x_{i+1},$

$|F(\alpha)-F_n(\alpha)| \leqq \sum_{i=0}^{n-1}|f(\xi_i,\alpha)-f(x_i,\alpha)|\,\frac{b-a}n < \varepsilon(b-a).$

すなわち $F_n(\alpha)\to F(\alpha)$ が $\alpha$ に関する一様収束である．さて (4) によって有限和 $F_n(\alpha)$ は $\alpha$ に関して連続である．その連続性が一様収束のために極限なる $F(\alpha)$ にまで伝わるのである（定理 40）．それがすなわち（A）である．

［証（B）］

$F_n(\alpha)\to F(\alpha)$ が一様収束だから，定理 40（B）によって

(5)

$\lim_{n\to\infty}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}F_n(\alpha)\,d\alpha =\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} F(\alpha)\,d\alpha.$

さて (4) から

$\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} F_n(\alpha)\,d\alpha =\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}n\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}f(x_i,\alpha)\,d\alpha.$

今かりに

$\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} f(x,\alpha)\,d\alpha=\varphi(x)$

と書けば

$\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} F_n(\alpha)\,d\alpha =\sum_{i=0}^{n-1}\frac{b-a}n\varphi(x_i),$

すなわち

$\lim_{n\to\infty}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} F_n(\alpha)\,d\alpha =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{b-a}n\varphi(x_i).$

（A）と同様にして $\varphi(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で連続，従って右辺は（積分の定義）

$\int_a^b \varphi(x),dx =\int_a^b dx\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} f(x,\alpha)\,d\alpha$

に等しい．故に (5) から

$\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} F(\alpha)\,d\alpha =\int_a^b dx\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} f(x,\alpha)\,d\alpha.$

それがすなわち（B）である．

［証（C）］

仮定によって $f_\alpha(x,\alpha)$ は連続だから，今

$G(\alpha)=\int_a^b f_\alpha(x,\alpha)\,dx$

と書けば，（B）によって，

$\int_{\alpha_0}^\alpha G(\alpha)\,d\alpha =\int_a^b dx\int_{\alpha_0}^\alpha f_\alpha(x,\alpha)\,d\alpha,$

$\int_{\alpha_0}^\alpha f_\alpha(x,\alpha)\,d\alpha=f(x,\alpha)-f(x,\alpha_0).$

故に

$\begin{align} \int_{\alpha_0}^\alpha G(\alpha)\,d\alpha &=\int_a^b f(x,\alpha)\,dx-\int_a^b f(x,\alpha_0)\,dx\\ &=F(\alpha)-F(\alpha_0). \end{align}$

$\alpha$ に関して微分すれば，$G(\alpha)$ は連続であったから，

$G(\alpha)=F'(\alpha),$

すなわち

$F'(\alpha)=\int_a^b f_\alpha(x,\alpha)\,dx.$

（証終）

積分 $F(\alpha)$ の限界が $\alpha$ に関係する場合にも，上記の微分法が適用される．今

$\mathit\Phi(\alpha,u,v)=\int_u^v f(x,\alpha)\,dx$

において，$u,v$ が $\alpha$ の函数ならば

$F(\alpha)=\mathit\Phi(\alpha,u,v).$

前のように，$f(x,\alpha),f_\alpha(x,\alpha)$ は $a\leqq x\leqq b,\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$ において連続，また $u,v$ は $\alpha$ に関して $\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$ において微分可能とすれば，$a\leqq u\leqq b,a\leqq v\leqq b$ なるとき，

$\frac{dF(\alpha)}{d\alpha}= \frac{\partial \mathit\Phi}{\partial \alpha} +\frac{\partial \mathit\Phi}{\partial u}\frac{du}{d\alpha} +\frac{\partial \mathit\Phi}{\partial v}\frac{dv}{d\alpha}.$

さて

$\frac{\partial \mathit\Phi}{\partial u}=f(u,\alpha),\quad \frac{\partial \mathit\Phi}{\partial v}=f(v,\alpha),$　（定理 35）．

故に

$\frac{dF(\alpha)}{d\alpha} = \int_u^v f_\alpha(x,\alpha)\,dx +f(u,\alpha)\frac{du}{d\alpha}-f(v,\alpha)\frac{dv}{d\alpha}.$

［例 1］

$\int_0^1 x^\alpha\,dx=\frac{1}{\alpha+1}.\quad(\alpha>0)$

この場合，定理 41 の仮定が成り立つから，積分記号の下で $\alpha$ に関して微分して

$\int_0^1 x^\alpha\log x\,dx=\frac{-1}{(\alpha+1)^2}.$

この積分に関しても同様に

$\int_0^1 x^\alpha(\log x)^2 dx=\frac{2}{(\alpha+1)^3}.$

同じようにして，一般に

$\int_0^1 x^\alpha(\log x)^n dx=\frac{(-1)^n n!}{(\alpha+1)^{n+1}},$

（§35，［例 2］参照）．

［例 2］

$0\leqq x\leqq a$ において $f(x)$ は連続として

$F_n(x)=\int_0^x \frac{(x-y)^n}{n!}f(y)\,dy$

を考察する．$n$ は自然数であるが，$n=0$ のときには

$F_0(x)=\int_0^x f(y)\,dy$

とする．（ここでは積分変数は $y$ で，定理 41 の媒介変数 $\alpha$ が $x$ と書かれている．） 然らば（定理 41）

$\begin{align} F_n'(x) &= \int_0^x \frac{(x-y)^{n-1}}{(n-1)!}f(y)\,dy+\frac{(x-x)^n}{n!}f(x)\\ &= F_{n-1}(x). \end{align}$

特に $F_0(x)$ に関しては $F_0'(x)=f(x)$． すなわち上記 $F_n(x)$ は次の性質を有する函数である：

$\left.\begin{align} &\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}F_n(x)=f(x),\\ F_n(0)&=F_n'(0)=\cdots=F_n^{(n)}(0)=0. \end{align}\right\}$

換言すれば，連続函数 $f(x)$ に関して，微分方程式

$\frac{d^nz}{dx^n}=f(x)$

の一般解は

$z=G_{n-1}(x)+\int_0^x \frac{(x-y)^{n-1}}{(n-1)!}f(y)\,dy$

である．ただし，$G_{n-1}(x)$ は $x$ に関する $n-1$ 次以下の任意の多項式である．

［例 3］

積分記号下における積分の一例として

$\int_0^1 \frac{x^b-x^a}{\log x}\,dx\qquad(b>a>0)$

を計算する．函数 $x^\alpha$ と区域 $0\leqq x\leqq 1,a\leqq \alpha\leqq b$ とに定理 41（B）を適用して

$\int_0^1 dx\int_a^b x^\alpha\,d\alpha=\int_a^b d\alpha\int_0^1 x^\alpha\,dx,$

従って

$\int_0^1\frac{x^b-x^a}{\log x}dx =\int_a^b\frac{d\alpha}{\alpha+1}=\log\frac{b+1}{a+1}.$

積分記号の下での微分積分は，一様収束の仮定の下において，無限積分にも拡張される．

今区域 $K$，$x\geqq c,\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$，において，$f(x,\alpha)$ は連続で

$F(\alpha)=\int_c^\infty f(x,\alpha)\,dx$

が一様に収束するとする．その意味は

$F(\alpha,t)=\int_c^t f(x,\alpha)\,dx$

が，$t\to\infty$ のとき，$\alpha$ に関して一様に $F(\alpha)$ に収束することをいう．すなわち $\varepsilon$ に対して $\alpha$ に無関係なる $R$ があって

$t>R$　なるとき，　$|F(\alpha)-F(\alpha,t)|= \left|\int_t^\infty f(x,\alpha)\,dx\right|<\varepsilon.$

この場合にも，上記と同様に，次の定理が成り立つ．

定理 42．

上記条件の下において

（A）

$\textstyle F(\alpha)=\int_c^\infty f(x,\alpha)\,dx$ は $\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$ において $\alpha$ の連続函数である．

（B）

$\int_{\alpha_1}^{\alpha_2} d\alpha\int_c^\infty f(x,\alpha)\,dx=\int_c^\infty dx\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}f(x,\alpha)\,d\alpha.$

（C）

もしも $\textstyle\int_c^\infty f(x,\alpha)\,dx$ が収束し，$f_\alpha(x,\alpha)$ は $K$ において連続で，かつ $\textstyle\int_c^\infty f_\alpha(x,\alpha)\,dx$ が一様収束するならば

$\frac{d}{d\alpha}\int_c^\infty f(x,\alpha)\,dx =\int_c^\infty f_\alpha(x,\alpha)\,dx.$

［証］

（A）は既述の通りである（162/3 頁）．（B）に関しては

$F(\alpha)=\lim_{t\to\infty}F(\alpha,t)$

が一様に収束することから，$\lim$ の下での積分が許されて

$\begin{align} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}F(\alpha)\,d\alpha &= \lim_{t\to\infty}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}F(\alpha,t)\,d\alpha\\ &= \lim_{t\to\infty}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}d\alpha\int_c^t f(x,\alpha)\,dx. \end{align}$

さて右辺では（定理 41（B）），積分の順序を変換してよいから

$\begin{align} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2}F(\alpha)\,d\alpha &= \lim_{t\to\infty}\int_c^t dx\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}f(x,\alpha)\,d\alpha\\ &= \int_c^\infty dx\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}f(x,\alpha)\,d\alpha. \end{align}$

（C）は（B）のいい換えにすぎないが，今一度繰り返えしておこう．

$G(\alpha)=\int_c^\infty f_\alpha(x,\alpha)\,dx$

とおけば，この無限積分は仮定によって一様に収束する．故に（B）によって

$\begin{align} \int_{\alpha_0}^\alpha G(\alpha)\,d\alpha &= \int_c^\infty dx\int_{\alpha_0}^\alpha f_\alpha(x,\alpha)\,d\alpha\\ &= \int_c^\infty [f(x,\alpha)-f(x,\alpha_0]dx\\ &= F(\alpha)-F(\alpha_0). \end{align}$

仮定によって積分 $F(\alpha),F(\alpha_0)$ が収束するから，最後の行のように書かれるのである．さて $\alpha$ に関して微分すれば $F'(\alpha)=G(\alpha)$．

（証終）

有限区間の広義積分に関しても，一様収束を上記のように定義することができる．今 $\alpha$ が区間 $\alpha_1\leqq\alpha\leqq\alpha_2$ にあるとき，$f(x,\alpha)$ は積分区間の下の限界 $x=a$ においてのみ不連続で，

$F(\alpha)=\int_a^b f(x,\alpha)\,dx=\lim_{x\to a}\int_x^b f(x,\alpha)\,dx$

は収束するとする．もしも $\alpha$ に無関係なる $\delta$ に関して，

$|x-a|<\delta$　なるとき　$\left|\int_a^x f(x,\alpha)\,dx\right|<\varepsilon$

ならば，上記積分は（$\alpha$ に関して）一様に収束するのである．この場合にも，定理 42 と同様の（A），（B），（C）が成り立つ．

［注意］ 

広義積分に関しても，定理 39 と同様な一様収束の判定法が適用される．今無限区間 $(a,\infty)$ に関していえば，区間内で常に $|f(x,\alpha)|\leqq\varphi(x)$ で $\textstyle\int_a^\infty\varphi(x)\,dx$ が収束すれば，$\textstyle\int_a^\infty f(x,\alpha)\,dx$ は $\alpha$ に関して一様に収束する．実際任意の $\varepsilon>0$ に対して，$t$ を十分大きく取れば，$\textstyle\int_t^\infty\varphi(x)\,dx<\varepsilon$，従って $\textstyle|\int_t^\infty f(x,\alpha)\,dx|<\varepsilon$，$t$ は $\alpha$ に関係しないから，これは一様収束である．有限区間に関しても同様である．

一例として，上記の考察を

$\mathit\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx\quad(s>0)$　（§33，［例 4］）

に適用してみよう． 積分区間を $x=1$ において両分して，まず

$g_1(s)=\int_1^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx$

とする．これは区間 $0\leqq s\leqq s_0$ において一様収束をする．――$e^{-x}x^{s-1}\leqq e^{-x}x^{s_0-1}$ で $\textstyle \int_1^\infty e^{-x}x^{s_0-1}\,dx$ は収束するからよい（上記注意）．故に $s\leqq s_0$ のとき $g_1(s)$ は $s$ に関して連続である．$s_0>0$ は任意だから，$g_1(s)$ は $s>0$ なるとき連続である． また

$g_2(s)=\int_0^1 e^{-x}x^{s-1}\,dx=\lim_{x\to 0}\int_x^1 e^{-x}x^{s-1}\,dx$

は，$0<s<1$ ならば広義積分であるが，

$0<s_0\leqq s$

なる $s$ に関して一様に収束する．――今度は $0<x<1$ から $e^{-x}x^{s-1}\leqq e^{-x}x^{s_0-1}$ で $\textstyle \int_0^1 e^{-x}x^{s_0-1}\,dx$ が収束するからよい．故に $g_2(s)$ は $s_0\leqq s$ なる $s$ に関して連続であるが，$s_0>0$ は任意だから，$s>0$ なるとき連続である． 故に

$\mathit\Gamma(s)=g_1(s)+g_2(s)$

は $s>0$ なるとき連続である． 次に $\textstyle \mathit\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx$ を積分記号下で（$s$ に関して）微分して，かりに

(6)

$\mathit\Gamma'(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\log x\,dx$

と書いてみる．もしも右辺の積分が一様収束するならば，これは合法である． まず限界 $\infty$ に関しては，$s<s_0$ とすれば $x$ が十分大きいとき

$\int_x^\infty e^{-x}x^{s-1}\log x\,dx < \int_x^\infty e^{-x}x^{s_0}\frac{\log x}x\,dx < \int_x^\infty e^{-x}x^{s_0}\,dx$

だからよろしい． また限界 $0$ に関しては，$0<s_0<s_1\leqq s$ とすれば，$x$ が十分小なるとき

$\left|\int_0^x e^{-x}x^{s-1}\log x\,dx\right| \leqq \left|\int_0^x e^{-x}x^{s_0-1}(x^{s_1-s_0}\log x)\,dx\right| < \int_0^x e^{-x}x^{s_0-1}\,dx$

だから，これもよろしい．故に (6) は正しい． 同様に

$\mathit\Gamma^{(n)}(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}(\log x)^n\,dx. \quad (n=1,2,\ldots)$

［注意］ 

積分の形から $\mathit\Gamma(s)>0$．また $\mathit\Gamma''(s)>0$ であるから，$\mathit\Gamma(s)$ は凸函数である．

［例 4］

$p>0, q$ は任意として（§35，［例 3］）

(7)

$\int_0^\infty e^{-px}\cos qx\,dx=\frac{p}{p^2+q^2}.$

これは $q$ に関して一様に収束する（$|e^{-px}\cos qx|\leqq e^{-px}$，前頁［注意］参照）．よって $q$ に関して $0$ から $q$ まで二回積分して

$\int_0^\infty e^{-px}\frac{1-\cos qx}{x^2} =\int_0^q \mathrm{Arc\,tan\,}\frac qp\,dq =q\mathrm{Arc\,tan\,}\frac qp-\frac p2\log(p^2+q^2)+p\log p.$

ここで $q=1$ として

(8)

$\int_0^\infty e^{-px}\frac{1-\cos x}{x^2}\,dx =\mathrm{Arc\,tan\,}\frac 1p -\frac p2\log(p^2+1)+p\log p.$

これは $p>0$ なる仮定の下において証明されたのである．しかし $p=0$ とすれば $\textstyle \int_0^\infty \frac{1-\cos x}{x^2}\,dx$ は収束し（定理 36），また $p\geqq 0$ のとき $e^{-px}\leqq 1$ だから，(8) の左辺は $p\geqq 0$ において一様収束，従って連続である．よって $p\to 0$ のとき，(8) から

$\int_0^\infty \frac{1-\cos x}{x^2}\,dx=\frac\pi2.$

これから部分積分によって

(9)

$\int_0^\infty \frac{\sin x}x\,dx=\frac\pi2.$

を得る．また $1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$ を用いて

(10)

$\int_0^\infty \left(\frac{\sin x}x\right)dx=\frac\pi2.$

［注意］ 

(9) において変数 $x$ を $\alpha x$ に変えるならば，$\alpha>0$ のとき

$\int_0^\infty \frac{\sin\alpha x}x\,dx=\frac\pi2,\quad(\alpha>0).$

もしも $\alpha$ の符号を変えるならば，積分の符号が変わる．すなわち $\alpha<0$ ならば

$\int_0^\infty \frac{\sin\alpha x}x\,dx=-\frac\pi2,\quad(\alpha<0).$

$\alpha=0$ ならば積分は，もちろん，$0$ である．故に

$\int_0^\infty \frac{\sin\alpha x}x\,dx=\frac\pi2\mathrm{sign\,}\alpha.$

$\alpha$ の函数として，これは $\alpha=0$ において不連続である．この積分は積分記号の下で無頓着に微分することが危険な実例を提供する．‘乱暴に’微分すれば，結果は次の通り：

$\int_0^\infty \cos\alpha x\,dx=0,$　（不合理）．

［例 5］

$\textstyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac\sqrt\pi2$（§35，［例 6］）において $x$ を $\sqrt\alpha x$ に変換して

$\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx=\frac12\sqrt\frac\pi\alpha,\quad(\alpha>0).$

$\alpha$ に関して $n$ 回微分すれば

$\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}x^{2n}\,dx =\frac{1\cdot 3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}}\frac{\sqrt\pi}{\alpha^{n+\frac12}}, \quad (n=1,2,\ldots).$

これらの無限積分が $\alpha\geqq\alpha_0\,(\alpha>0)$ に関して一様に収束するから（$\textstyle \int_0^\infty e^{-\alpha_0 x^2}x^{2n}\,dx$ が収束して $e^{-\alpha x^2}\leqq e^{-\alpha_0 x^2}$ だから．167 頁，［注意］参照），このような微分法が許されるのである． $\alpha=1$ として

$\int_0^\infty e^{-x^2}x^{2n}\,dx=\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}}\sqrt\pi.$

$x$ の指数が奇数ならば，不定積分ができるが，また上記の方法で

$\int_0^\infty e^{-\alpha x^2}x\,dx=\frac 1{2\alpha}$

から，$\alpha$ に関して微分してから，$\alpha=1$ として

$\int_0^\infty e^{-x^2}x^{2n+1}\,dx=\frac{n!}2.$

［例 6］

$J(\alpha)=\int_0^\infty e^{-x^2}\cos\alpha x\,dx=\frac\sqrt\pi2 e^{-\frac{\alpha^2}4}.$

この積分 $J(\alpha)$ は（$alpha$ に関して一様に）収束するが，積分記号下で，$\alpha$ に関して微分して

$J'(\alpha)=-\int_0^\infty e^{-x^2}x\sin\alpha x\,dx.$

$|\sin\alpha x|\leqq 1$ で，これも一様に収束するから，この微分が許される．さて

$J'(\alpha) =\left.\frac12 e^{-x^2}\sin\alpha x\right|_0^\infty -\frac\alpha2\int_0^\infty e^{-x^2}\cos\alpha x\,dx.$

故に

$J'(\alpha)=-\frac\alpha2 J(\alpha).$

すなわち

$\frac{d}{d\alpha}\log J(\alpha)=-\frac\alpha2,$　従って　$\log J(\alpha)=-\frac{\alpha^2}4+C,$

または

$J(\alpha)=ce^{-\frac{\alpha^2}4}.$

定数 $c$ を求めるために，$\alpha=0$ と置けば

$c=J(0)=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac\sqrt\alpha2.$

故に標記の結果を得る．

［注意］ 

上記の積分において，積分記号の下で

$\cos\alpha x=1-\frac{(\alpha x)^2}{2!}+\frac{(\alpha x)^4}{4!}-\cdots$

として，機械的に項別積分をすれば，［例 5］によって

$\begin{align} J(\alpha) &=\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty (-1)^ne^{-x^2}\frac{(\alpha x)^{2n}}{(2n)!}\,dx =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!} \int_0^\infty e^{-x^2}x^{2n}\,dx\\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\alpha^{2n}}{(2n)!} \frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2^{n+1}}\sqrt\pi\\ &=\frac{\sqrt\pi}2 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{2^n\cdot n!}\frac 1{2^n} =\frac{\sqrt\pi}2 \sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha^2/4)^n}{n!} =\frac\sqrt\pi2 e^{-\frac{\alpha^2}4}. \end{align}$

すなわち結果は正しいが，定理 40（B）において，無限級数の項別積分は有限なる積分区間に関してのみ述べたのであるから，それをここへ引用することは許されない．今上記計算の合理化を試みる．

Taylor の公式によれば

(11)

$\cos\alpha x=1-\frac{(\alpha x)^2}{2!}+\cdots\pm\frac{(\alpha x)^{2n}}{(2n)!}+R_n, \quad |R_n|\leqq \frac{(\alpha x)^{2n+2}}{(2n+2)!}.$

積分 $J(\alpha)$ は可能であるから

(12)

$J(\alpha) =\frac\pi2\sum_{n=0}^m (-1)^n\frac{(\alpha^2/4)^n}{n!} +\int_0^\infty e^{-x^2}R_m(x)\,dx$

と書く分にはさしつかえない．さて (11) から

$\left|\int_0^\infty e^{-x^2}R_m(x)\,dx\right| \leqq \int_0^\infty e^{-x^2}\frac{(\alpha x)^{2m+2}}{(2m+2)!}\,dx = \frac\pi2\frac{(\alpha^2/4)^{m+1}}{(m+1)!}.$

$m\to\infty$ のとき，右辺$\to 0$．故に (12) から，正当に

$J(\alpha)=\frac\pi2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(\alpha^2/4)^n}{n!} =\frac\pi2 e^{-\frac{\alpha^2}4}$

が得られるのである．

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