解析概論/第4章/無限級数

42．無限級数

数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$ の最初の $n$ 項の和を

$s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

とする．もしも（有限なる）極限値

$\lim_{n \to \infty} s_n = s$

が存在するならば，無限級数

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots$

は収束するといい，極限 $s$ をこの無限級数の和と略称する．極限値が存在しないとき（ $\lim s_n = \pm \infty$ をも含めていう）には無限級数は発散するという．発散する級数は直接には計算の用に立たない．

Cauchy の判定法（§6）によれば収束の必要かつ十分なる条件は， $n$ を十分に大きくして，任意の $m > n$ に関して

$|s_n - s_m| = \left| a_{n + 1} + \cdots + a_m \right|$

がどんな $\varepsilon$ よりも小さくされることである．すなわち

$R_{n, m} = s_m - s_n = a_{n + 1} + \cdots + a_m$

と置けば，或る番号以上 $\left| R_{n, m} \right| < \varepsilon$．

故に収束の場合には部分和 $s_n$ に対応する剰余 $R_n$ ，すなわち

$R_n = s - s_n = \sum_{p = 1}^{\infty} a_{n + p}$

も収束して $\lim_{n \to \infty} R_n = 0$ ．

特に $a_n = s_n - s_{n - 1}$だから， $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ は収束の必要条件である．しかし，それは十分なる条件ではない．

例えば調和級数 $\textstyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ は

$R_{n, 2n} = \frac{1}{n + 1} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{2}$

だから発散する．

正項級数（ $a_n \geq 0$ ）の場合には， $s_n$ は単調増大だから，収束の条件は $s_n$ の有界性である．

級数 $\textstyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n, \sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ がそれぞれ $a, b$ に収束するならば $\textstyle \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n + b_n)$ は $a + b$ に収束する．すなわち $\textstyle \sum_{\nu = 1}^{n} ( a_\nu + b_\nu ) = \sum_{\nu = 1}^{n} a_\nu + \sum_{\nu = 1}^{n} b_\nu \to a + b$ （定理5）．

同じ条件の下で，$c$ が定数ならば $\textstyle \sum_{\nu = 1}^{\infty} ca_\nu = ca$ ．これらは収束の定義によって明白である．

無限級数から有限個の項を取り除き，またはそれに有限個の項を挿入しても，収束性に影響ののないことも同様である．

級数 $\textstyle \sum a_n$ が収束すれば，連続する若干項を括弧でくくって一項としても，やはり同じ和に収束する．それは収束する数列 $\{ s_n \}$ の部分数列を取ることに帰するからである（定理 3）．しかし逆はいけない．例えば $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$ であるが，括弧をはずしてしまえば， $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ は収束しない．