解析概論/第4章/指数函数と三角函数との関係 対数と逆三角函数

54．指数函数と三角函数との関係　対数と逆三角函数

上文巾級数 $\textstyle\sum a_nx^n$ の収束に関して述べたことは，係数 $a_n$ および変数 $x$ が複素数である場合にも通用することは前に述べた．特に指数級数

$e^x=\sum\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots$

は収束半径が $\infty$ だから，$x$ が任煮の複素数であるときにも絶対に収束する．よってその和として指数函数 $e^x$ の定義を $x$ が複素数なる場合にも延長することができる．

拡張された指数函数に関しても，加法定理

$e^{x_1+x_2}=e^{x_1}e^{x_2}$

が成り立つ．実際，任意の複素数 $z_1,z_2$ に関し、

$e^{z_1}\cdot e^{z_2} =\sum_{m=0}^\infty\frac{z_1^m}{m!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!} =\sum_{m,n=0}^\infty\frac{z_1^m z_2^n}{m!\,n!}.$

$m+n=k$ なる項をまとめて，

$\begin{align} e^{z_1}\cdot e^{z_2} &=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^k{k\choose n}z_1^{k-n}z_2^n &=\sum_{k=0}^\infty\frac{z_1+z_2)^k}{k!}=e^{z_1+z_2} \end{align}$

を得る．これらの計算は，級数が絶対収束をするから合法である（§43，§52）．

特に複素数 $z=x+yi$ に関して

$e^{x+yi}=e^xe^{yi}.$

さて

$\begin{align}e^{yi} &= 1+\frac{yi}{1!}-\frac{y^2}{2!}-\frac{y^3i}{3!}+\cdots\\ &= \left(1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\cdots\right) +i\left(\frac{y}{1!}-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\cdots\right). \end{align}$

故に

(1)

$e^{yi}=\cos y+i\sin y.$

すなわち

$e^z=e^xe^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y).$

$x$ は実数，従って $e^x=0$ だから，$e^z$ の絶対値は $e^x$ で，偏角は $y$ である．$\cos y$ と $\sin y$ とは同時に $0$ にはならないから，$e^z$ は $z$ の有限の値に対して，決して $0$ に等しくない．

特に $n$ を整数とすれば，(1) から

$e^{2n\pi i}=1,$

故に

$e^{z+2n\pi i}=e^z.$

すなわち $e^z$ は周期函数で，$2n\pi i$ がその周期である．

逆に $\omega$ を $e^z$ の周期とすれば，$e^{z+\omega}=e^z$ すなわち $e^ze^\omega=e^z$．$e^z\ne 0$ だから $e^\omega=1$．よって $\omega=x+yi$ と置けば $e^\omega=e^x(\cos y+i\sin y)=1$．$e^x>0$ だから，それが $e^\omega$ の絶対値である．すなわち $e^x=1$，従って $x=0$，$\cos y+i\sin y=1$，すなわち $y=2n\pi$．故に $\omega=2n\pi i$．すなわち $e^z$ の周期は $2\pi i$ の整数倍だけである．すなわち，$2\pi i$ が基本周期である．

(1) において $y$ を $-y$ に変えて

$e^{-yi}=\cos y-i\sin y.$

それを (1) と組合わせて

(2)

$\cos y=\frac{e^{yi}+e^{-yi}}2,\quad \sin y=\frac{e^{yi}-e^{-yi}}{2i}.$

以上 $y$ を実数としたけれども，(2) において $y$ を任意の複素数として $\cos,\sin$ を複素変数にまで拡張することができる．その場合 $\cos,\sin$ の加法定理およびそれから派生する無数の恒等式はそのまま通用する．例えば

$\begin{align}\cos(x+y) &=\frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}=\frac{e^{ix}e^{iy}+e^{-ix}e^{-iy}}{2}\\ &=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})(e^{iy}+e^{-iy})}{4}+\frac{(e^{ix}-e^{-ix})(e^{iy}-e^{-iy})}{4}\\ &=\cos x\cos y-\sin x\sin y. \end{align}$

$\sin(x+y)$ も同様である．

しかし複素変数まで行けば，三角函数は (2) のように単なる略記法としてのみ存在理由を有するのである．

応用数学で使われる双曲線函数は次のような指数函数の組合わせである．

$\cos\mathrm{hyp\,}x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\quad \sin\mathrm{hyp\,}x=\frac{e^x-e^{-x}}2.$

函数記号 $\mathrm{sin\,hyp}, \mathrm{cos\,hyp}$ を $\sinh, \cosh$； または $\mathrm{sh}, \mathrm{ch}$； またはドイツ式では $\mathfrak{sin}, \mathfrak{cos}$ などとも略記する．

$\tan\mathrm{hyp\,}x=\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x},\quad \cot\mathrm{hyp\,}x=\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$

なども同様である．これらの函数は虚変数の三角函数として，次のように表わされる．

$\cosh x=\cos(ix),\quad\sinh x=-i\sin(ix).$

加法定理もこれから導かれる．すなわち

$\begin{align}\cosh(x+y)=\cos(ix+iy) &= \cos ix\cos iy-\sin ix\sin iy\\ &= \cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y. \end{align}$

第二項の前の符号は $i^2$ のために $+$ になる．同様に

$\begin{align}\sinh(x+y)=-i\sin(ix+iy) &= -i\sin ix\cos iy-i\sin ix\sin iy\\ &= \sinh x\cosh y+\sinh y\cosh x. \end{align}$

ファイル:図

次に $\cosh x$ と $\sinh x$ とのグラフを掲げる．$\cosh x$ のグラフは懸垂線（catenary）である．

$\sinh,\cosh$ の逆函数は $\log$ で表わされる．今

$x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}2$

と置けば，$e^y$ に関して解いて

$e^y=x\pm\sqrt{x^2+1}.$

$y$ を実数とすれば，$e^y>0$ だから，

(4)

$y=\log(x+\sqrt{x^2+1}).$

また

$x=\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}2$

と置けば

$e^y=x\pm\sqrt{x^2-1},$

$(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})=1$ だから，

(5)

$y=\pm\log(x+\sqrt{x^2-1}).$

(4)，(5) が $\sinh,\cosh$ の逆函数である．

$\cosh,\sinh$ の逆函数を $\mathrm{area\,\cos hyp},\mathrm{area\,\sin hyp}$，または略して $\mathrm{ar\,cosh},\mathrm{ar\,sinh}$ などで表わす．変数を $x$ と書けば

$\begin{align} \mathrm{ar\,}\sinh x&=\log(x+\sqrt{x^2+1}),\\ \mathrm{ar\,}\cosh x&=\pm\log(x+\sqrt{x^2-1}). \end{align}$

等辺双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の点 $P$ の座標を $(x,y)$，扇形（sector）$OAP$ の面積を $\sigma/2$ とすれば，

ファイル:図

簡単な積分の後

$\sigma=\log(x+\sqrt{x^2-1})=\log(y+\sqrt{y^2+1})$

を得る．すなわち

$x=OM=\cosh\sigma,\quad y=PM=\sinh\sigma,$

$\sigma=2\times$ 扇形 $OAP=\mathrm{ar\,}\sinh y=\mathrm{ar\,}\cosh x.$

これによって三角函数と双曲線函数との類似が明瞭である．三角函数の場合には円 $x^2+y^2=1$ において，扇形 $OAP$ の面積が $\theta/2$ で，$OM=\cos\theta,PM=\sin\theta$．

複素変数に関する指数函数の逆函数として $\log$ の定義が複素数にまで拡張される． 今 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta),|z|=r,\arg z=\theta$ とおいて

$\log z=u+vi$

は

$z=e^{u+vi}=r(\cos\theta+i\sin\theta$

を意味するものとすれば，

$e^{n+vi}=e^u(\cos v+i\sin v)$

から

$e^u=r,\quad v=\theta+2n\pi.\quad (n=0,\pm1,\pm2,\ldots).$

$r>0$ だから，実数なる $u=\log r$ は確定であるが，$n$ は任意の整数としてもよいから，$v$は確定しない．故に

(6)

$\log z=u+vi=\log r+i(\theta+2n\pi)=\log|z|+i\arg z$

で，虚数部は一意的には定まらなくて，$2\pi i$ の整数倍だけ異なる無数の値を有する．それは $e^z$ の周期性から考えて当然である．今 $-\pi<\arg z\leqq \pi$ とすれば，$\log z$ の虚数部は $-i\pi$ と $+i\pi$ との間に限られる．引用上の便利のために，それを $\log z$ の主値といい，それをかりに $\mathrm{Log\,} z$ と書く．特に $z$ が実数ならば，$z>0$ なるとき $\log z$ の主値は実数，また $z<0$ なるとき，主値の虚数部は $\pi i$ である．例えば $\mathrm{Log\,}(-1)=\pi i$．同じように $\mathrm{Log\,}i=\tfrac{\pi i}2,\mathrm{Log\,}(-i)=-\tfrac{\pi i}2$，等々．

ファイル:図

(6) からみえるように，$\log z$ の多意性は虚数部における $\arg z$ の多意性に基づく．故に今定点 $z_0\,(z_0\ne 0)$ において $\log z_0$ の一つの値をきめて，$z_0$ と $z_1$ とを $0$ を通らない曲線 $C$ で結んで，$z$ がその曲線上を連続的に動くとすれば，$\arg z$ も連続的に変わるから $z_1$ における $\log z_1$ の値も確定する．例えば右の図で，$\log 1=0$（すなわち $\arg 1=0$）とするならば，$z$ が曲線 $C$ を通って $z_1$ に達するときには，$\log z_1$ は主値（$0<\arg z_1<\pi$）になるが，もしも曲線 $C'$ を通るならば $\log z_1=\mathrm{Log\,}z_1-2\pi i$ になる．

［注意］ 

一般に $\arg z$ を $\alpha<\arg z\leqq \alpha+2\pi$ のような区間に限れば $\log z$ は確定する．それを $\log z$ の一つの枝という．等式 $\log z_1z_2=\log z_1+\log z_2$ は三つの $\log$ を任意の枝にしては成り立たない．そのとき両辺は $2\pi i$ の整数倍だけ違うことがある．すなわち

$\log z_1z_2\equiv\log z_1+\log z_2\quad(\bmod.\,2\pi i).$

例えば $z_1=z_2=-1, z_1z_2=1$ のとき右辺の $\log$ を主値とすれば $\mathrm{Log}\,(-1)=\pi i$ だから $\log 1=2\pi i$ を得る．それはまちがいではないが，$\log$ は主値でない．

双曲線函数の場合と同様に，逆三角函数を $\log$ で表わすことができる．すなわち

$x=\sin u=\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i},\quad x=\cos u=\frac{e^{iu}+e^{-iu}}2$　または　$x=\tan u=\frac{1}{i}\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{e^{iu}+e^{-iu}}$

をそれぞれ $e^{iu}$ に関して解いて $\log$ に移れば

$\begin{align} \mathrm{arc\,}\sin x&=-i\log(ix\pm\sqrt{1-x^2}),\\ \mathrm{arc\,}\cos x&=-i\log( x\pm\sqrt{1-x^2}),\\ \mathrm{arc\,}\tan x&=\frac{-i}2\log\frac{1+ix}{1-ix}. \end{align}$

これは一般に通用するが，特に $\mathrm{arc\,sin}$ を主値として

$x=\sin\theta,\quad-\frac{\pi}2\leqq\theta\leqq\frac{\pi}2,\quad-1\leqq x\leqq 1$

と置けば

$\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\geqq 0,$

$\log(\sqrt{1-x^2}+ix=\log(\cos\theta+i\sin\theta)=i\theta.$

これは $\log$ の主値である．故に

$\theta=\mathrm{Arc\,}\sin x=-i\mathrm{Log\,}(ix+\sqrt{1-x^2}).$

もしも $\sqrt{1-x^2}$ の負の値を取るならば

$\cos(\pi-\theta)-\sqrt{1-x^2},\quad \sin(\pi-\theta)=x$

だから

$\mathrm{arc\,}\sin x=\pi-\mathrm{Arc\,}\sin x=-i\mathrm{Log\,}(ix-\sqrt{1-x^2}).$

もしも $\log$ の他の枝を取るならば $\log=\mathrm{Log}+2n\pi i$ だから，$\mathrm{arc\,sin}$ は $2n\pi$ だけ変わる．すなわち二重符号 $\pm\sqrt{1-x^2}$ は $\sin\theta$ と $\sin(\pi-\theta)$ とに対応する $\mathrm{arc\,sin}$ の二組の枝を与えるのである． 同様に

$x=\cos\theta,\quad 0\leqq x\leqq\pi,\quad 1\leqq x\leqq -1$

として，その $\theta$ を $\mathrm{arc\,cos}\,x$ の主値とするならば，今度は

$\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\geqq 0$

だから

$\log(x+i\sqrt{1-x^2})=\log(\cos\theta+i\sin\theta)=i\theta.$

故に

$\begin{align} &\mathrm{Arc\,}\cos x=-i\mathrm{Log\,}(x+i\sqrt{1-x^2}),\\ -&\mathrm{Arc\,}\cos x=-i\mathrm{Log\,}(x-i\sqrt{1-x^2}). \end{align}$

$\log$ の他の枝からは，それぞれ $\mathrm{arc\,cos}$ の他の枝 $2n\pi+\mathrm{Arc\,}\cos x$ および $2n\pi-\mathrm{Arc\,}\cos x$ が生ずる． $\mathrm{arc\,tan}$ の場合は少しく様子が違うが，かえって簡明である．今

$x=\tan\theta,\quad -\frac{\pi}2<\theta<\frac{\pi}2,\quad -\infty<x<\infty$

と置けば

$1+ix=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta},\quad 1-ix=\frac{\cos\theta-i\sin\theta}{\cos\theta},$

$\frac{1+ix}{1-ix}=\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta} =\cos2\theta+i\sin2\theta.$

$\mathrm{Log\,}\frac{1+ix}{1-ix}=2\theta i.$

故に

$\theta=\mathrm{Arc\,}\tan x=\frac{-i}2\mathrm{Log\,}\frac{1+ix}{1-ix}.$

今度は係数 $\tfrac{-i}2$ のために $\log$ の他の枝からは $\theta+n\pi$ が生ずる．

変数を実数に限っても $\mathrm{arc\,sin}, \mathrm{arc\,cos}, \mathrm{arc\,tan}$ の多意性が $\log$ の多意性の下に統一される．

実変数に関する三角函数，双曲線函数は複素変数に関する指数函数の一断面にほかならないから，それらの逆函数がすべて対数函数に包括されるのである．この認識は大切である．

上記の関係は形式上はすでに十八世紀（Euler）において知られていたのであるが，その根本的の意味は十九世紀以後，複素変数が徹底的に考察された後に初めて明らかになって，そこから驚嘆すべき単純化が可能になったのである．初等函数といえども，複素変数にまで次元の拡張をしなくては完全に統制されないのである．その間の消息は第 5 章で述べるであろう．