解析概論/第4章/指数函数および三角函数

53．指数函数および三角函数

初等数学では，指数函数 $a^x$ は任意指数 $x$ に関する巾として定義せられ，その逆函数として対数函数 $\log_a x$ が導かれる．特に $e^x$ の底は $\textstyle\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ として定義された．これは指数函数の歴史的の発生で，その理論はかなり煩雑といわねばならない．

今もし伝統を離れて，ひとまず有理式のみを既知の函数と考えて，その積分函数として生ずる新函数を考察するならば，自然に対数函数が得られ，その逆函数として指数函数が得られるであろう．

今その理論の概要を述べるが，虚心で考えるならば，それはすこぶる簡単である．積分

(1)

$y=\int_1^x\frac{dx}{x}$

によって $x$ の連続函数 $y$ が区間 $0<x<\infty$ において定義される．それは単調に（$-\infty$ から $+\infty$ まで）増大するから，逆函数 $x=f(y)\quad(-\infty<y<\infty)$ が確定する．さて (1) から

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.$

故に

$f'(y)=\frac{dx}{dy}=x=f(y).$

従って

$f(y)=f'(y)=f''(y)=f'''(y)=\cdots.$

(1) において $x=1$ とすれば $y=0$．従って

$f(0)=f'(0)=f''(0)=\cdots=1.$

よって，Maclaurin の展開

(2)

$f(y)=1+\frac{y}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\cdots$

を得る．これは $y$ のすべての値に関して収束する（§25）． このようにして指数函数が導かれるが，変数の記号を換えて

$f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots$

と書く．指数函数の性質はこの巾級数から得られる．まず Taylor 展開

$f(x+y)=f(x)+\frac{y}{1!}f'(x)+\frac{y^2}{2!}f''(x)\cdots+\frac{y^n}{n!}f^{(n)}(x)+\cdots$

において，すべての $n$ に関して $f^{(n)}=f$ だから

$f(x+y)=f(x)\left(1+\frac{y}{1!}+\frac{y^2}{2!}+\cdots+\frac{y^n}{n!}+cdots\right).$

故に

$f(x+y)=f(x)\cdot f(y).$

これを繰り返して

(3)

$f(x_1+x_2+\cdots+x_n)=f(x_1)\cdot f(x_2)\cdots f(x_n).$

$x_1=x_2=\cdots=x_n=1,f(1)=e$ と置けば

$f(n)=e^n.$

これは自然数 $n$ を指数とする巾（乗法 $e\cdot e\cdots e$）であるが，任意の $x$ に関しても同様の記号を用いて $f(x)$ を

$e^x$　または　$\exp(x)$

と書く．このようにして定義される函数を，底 $e$ の任意指数 $x$ に関する巾という．然らば (3) から

$e^{x_1+x_2}=e^{x_1}e^{x_2}.$

もしも $c>0$ として

$g(x)=f(cx)=e^{cx}$

と置くならば，(3) から

$g(x_1+x_2)=g(x_1)g(x_2).$

今度は

$g(1)=e^c=a$

と書いて，前のように

$a^x=g(x)$

によって巾 $a^x$ を定義する． $e^x$ の逆函数を $\log x$ と書けば，$c=\log a$ であるから

$a^x=g(x)=f(cx)=e^{x\log a}.$

このようにして任意指数の巾の意味が確定する．

三角函数は歴史的には幾何学の見地から定義されたのであるが，これも解析的に積分から導かれる．今度は

(4)

$\theta=\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

を取る．この積分は $-1\leqq x\leqq 1$ において単調に $-\varpi$ から $\varpi$ まで増大する．ただし

$\varpi=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

よって $x$ が $\theta$ の函数として区間 $-\varpi\leqq\theta\leqq\varpi$ において確定する．それを

$x=\varphi(\theta)\qquad(-\varpi\leqq x\leqq\varpi)$

と書く．然らば

$\frac{d\theta}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$

従って

$\varphi'(\theta)=\frac{dx}{d\theta}=\sqrt{1-x^2}.$

今便宜上

$\sqrt{1-x^2}=\psi(\theta)$

と書けば

$\psi'(\theta)=\frac{d}{d\theta}\sqrt{1-x^2}=\frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2}\cdot\frac{dx}{d\theta}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2}=-x=-\varphi(\theta).$

故に

$\begin{align} &\varphi''(\theta)=\psi'(\theta)=-\varphi(\theta),\\ &\psi''(\theta)=-\varphi'(\theta)=-\psi(\theta). \end{align}$

これから

(5)

$\left.\begin{align} &\varphi^{(2n)}(\theta)=(-1)^n\varphi(\theta), & &\psi^{(2n)}(\theta)=(-1)^n\psi(\theta).\\ &\varphi^{(2n+1)}(\theta)=(-1)^n\psi(\theta),& &\psi^{(2n+1)}(\theta)=(-1)^n\varphi(\theta). \end{align}\right\}$

(4) において $x=0$ とすれば，$\theta=0$，従って

$\varphi(0)=0,\quad\psi(0)=1.$

よって (5) を用いて Maclaurin の展開

(6)

$\left.\begin{align} \varphi(\theta)&=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots,\\ \psi(\theta)&=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots \end{align}\right\}$

を得る（§25）．すなわち実際 $\varphi(\theta)=\sin\theta,\psi(\theta)=\cos\theta$ であるが，その幾何学上の意味を上記の定義から導くことができる．

ファイル:図

積分 (4) は半径 $1$ なる円 $x^2+y^2=1$ の弧長の計算（§40）から生ずるものである．すなわち $x>0$ とすれば，円弧 $AP$ の長さは

$\int_0^x\sqrt{1+y'^2}\,dx,$

ただし

$y=\sqrt{1-x^2},$

従って

$y'=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}},\quad 1+y'^2=\frac{1}{1-x^2}.$

故に積分 (4)：

$\theta=\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

は $AP$ の弧長である．従って

$x=\varphi(\theta)=\frac{PN}{OP},\quad y=\psi(\theta)=\sqrt{1-x^2}=\frac{ON}{OP}.$

$x=1$ のとき $\theta=\varpi$ と置いたが，それは弧長 $AB$ である．故に円周の長さを $2\pi$ と書くならば

$\varpi=\frac\pi2.$

これで $0\leqq\theta\leqq\tfrac{\pi}2$ において $\varphi(\theta),\psi(\theta)$ が $\sin\theta,\cos\theta$ と一致することが示された．$\sin\theta,\cos\theta$ の加法定理および周期性は級数 (6) から解析的に（計算によって）導かれる．それは単なる計算であるが，その計算を見通しよく実行にするには，複素数を用いねばならない（次節参照）．

［附記］ 

上文 $\varphi(\theta),\psi(\theta)$ は区間 $[-\varpi,\varpi]$ に属する $\theta$ に関してのみ定義されたけれども，Maclaurin の展開 (6) は，$\theta$ のすべての値に関して収束する．よってこの展開 (6) によって $\varphi(\theta),\psi(\theta)$ を定義することにすれば，まず Taylor 展開

$\begin{align} \varphi(\alpha+\theta)&=\varphi(\alpha)+\frac{\theta}{1!}\varphi'(\alpha)+\frac{\theta^2}{2!}\varphi''(\alpha)+\frac{\theta^3}{3!}\varphi'''(\alpha)+\cdots\\ &=\varphi(\alpha)+\frac{\theta}{1!}\psi(\alpha)-\frac{\theta^2}{2!}\varphi(\alpha)-\frac{\theta^3}{3!}\psi(\alpha)+\cdots. \end{align}$

右辺の偶数番号の項と奇数番号の項とを別々にまとめて書けば，

$\begin{align}\varphi(\alpha+\theta) &= \varphi(\alpha)\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right) +\psi(\alpha)\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)\\ &=\varphi(\alpha)\psi(\theta)+\psi(\alpha)\varphi(\theta). \end{align}$

$\psi(\alpha+\theta)$ についても同様に，あるいは $\alpha$ に関して微分して，

$\psi(\alpha+\theta)=\psi(\alpha)\psi(\theta)-\varphi(\alpha)\varphi(\theta).$

すなわち加法公式が得られる．この後の式で $\theta=-\alpha$ と置けば，

$1=\psi(\alpha)^2+\varphi(\alpha)^2$

を得る．これは $\varphi$ と $\psi$ との関係が定義の拡張の後にも成り立つことを示すのである． 三角函数の周期性も，上の式で $\theta=\varpi=\tfrac{\pi}2$ と置いて得られる．すなわち

$\varphi\!\left(\alpha+\frac{\pi}2\right)=\psi(\alpha),\quad \psi\!\left(\alpha+\frac{\pi}2\right)-\varphi(\alpha).$

よって

$\varphi(\alpha+\pi)=\psi\!\left(\alpha+\frac{\pi}2\right)=-\varphi(\alpha),$

$\varphi(\alpha+2\pi)=-\varphi(\alpha+\pi)=\varphi(\alpha).$

微分して

$\psi(\alpha+2\pi)=\psi(\alpha).$

このようにして，三角函数の諸性質が，幾何学の助けなしに得られるのである．

［注意］ 

もしも有理函数の積分から三角函数を導くという立場を固執するならば，

$\theta=\int_0^x\frac{dx}{1+x^2},\quad(-\infty<x<\infty)$

（すなわち $x=\tan\theta$）から出発するのが適当であるが，その過程は上記のように単純でない．今かりに微積分法の発見以前に，三角函数が知られていなかったと想像するならば，円弧の計算の必要上，自然に積分 (4) に遭遇したであろう．青年 Gauss（1797）はレムニスケートの弧長に基づいて (4) の拡張として $\textstyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ を考察して，楕円函数発見の糸口を得たのである．

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