解析概論/第4章/収束の判定法(絶対収束)

44．収束の判定法（絶対収束）

実際に与えられた級数 $\textstyle\sum a_n$ の収束性を判定する実用的の方法のうちで，最も普通に用いられるもの二，三を次に述べる．ただし，本節では絶対収束を考察するから，正項級数のみを取扱う．

(I)

$k$ は $1$ よりも小なる正の定数で，或る番号以上では常に $\sqrt[n]{a_n} < k$ ならば， $\textstyle\sum a_n$ は収束する．

［注意］ 

有限個の項を取り除いても収束性に影響はないから‘或る番号以上’ということわりを取り去って証明をすれば十分である．以下同様．

［証］

仮定によって $a_n < k^n, 0 < k < 1$ ．故に

$s_n < k + k^2 + \cdots + k^n < \frac{k}{1 - k}$ ．

すなわち $s_n$ は有界．従って $\textstyle\sum a_n$ は収束する．

(II)

$k$ は $1$ よりも小なる正数で，或る番号以上常に

$\frac{a_{n + 1}}{a_n} < k$

ならば， $\sum a_n$ は収束する．

［証］

仮定によって

$a_n < a_1 k^{n - 1}$ ，

故に

$s_n < a_1(1 + k + \cdots + k^{n - 1}) < \frac{a_1}{1 - k}.$

すなわち $s_n$ は有界，従って $\textstyle\sum a_n$ は収束する．

［注意］ 

§6 に述べた $\varlimsup$ を使えば (I)，(II)の判定法を次のように述べることができる． $\textstyle\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = l$ と置けば， $l < 1$ なるとき $\textstyle\sum a_n$ は収束， $l > 1$ なるとき発散， $l = 1$ なるときは疑問である．

実際 $l < 1$ のとき， $l < k < 1$ とすれば，$\varlimsup$ の定義によって，或る番号以上 $\sqrt[n]{a_n} < k$ であるから， $\textstyle\sum a_n$ は収束する．また $l > 1$ ならば， $\sqrt[n]{a_n} > 1$ なる $n$ が無数にあるから，収束の必要条件 $a_n \to 0$ が満たされない．

同様に $\textstyle\varlimsup \frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$ ならば収束， $\textstyle\varliminf \frac{a_{n + 1}}{a_n} > 1$ ならば発散，その他の場合は疑問．

上記 (I)，(II) では $\textstyle\sum a_n$ を幾何級数 $\textstyle\sum k^n$ と比較して収束性を判定したのであるが，級数を無限区間の積分と比較して有効なる場合がある．次にその一例を掲げる．

(III)

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \quad (s > 0)$

は $s > 1$ ならば収束し， $s \leq 1$ ならば発散する．

［証］

$x > 1$ とすれば $\tfrac{1}{x^s}$ は単調に減少するから

(1)

$\int_{n}^{n + 1} \frac{dx}{x^s} < \frac{1}{n^s} < \int_{n - 1}^{n} \frac{dx}{x^s}$ ．

故に $s > 1$ ならば

$\sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n^s} < \int_{1}^{m} \frac{dx}{x^s} < \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^s} = \frac{1}{s - 1}$ ．

従って $\textstyle\sum \frac{1}{n^s}$ は収束する．

故に $s > 1$ なる区間において $\textstyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ の和は $s$ の函数である．それを $\zeta(s)$ と書く． $\zeta (s)$ を Riemann のゼータ函数という．

次に $s = 1$ とすれば，

$\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n} > \int_{1}^{m + 1} \frac{dx}{x} = \log (m + 1)$ ．

故に $\textstyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散する（既述）． $s < 1$ ならば， $\textstyle\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ はなお強い理由で発散する．

同じように

$\sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{n \log n} > \int_{2}^{m + 1} \frac{dx}{x \log x} = \left. \log \log x \right| _{2}^{m + 1} \to \infty$ ．

故に $\textstyle\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \log n}$ は発散する． 一般に

$\sum \frac{1}{(n \log n)^s}, \sum \frac{1}{n \log n (\log \log n)^s}, \cdots$

は $s > 1$ ならば収束， $s \leq 1$ ならば発散する．

一般に， $a \leq x$ なるとき $f(x)$ が正で単調減少ならば， $\textstyle\sum_{n = 1}^{\infty} f(a + n)$ は $\int_{a}^{\infty} f(x)dx$ と同時に収束または発散する．

Eulerの定数

上記 (1) において $s = 1$ とすれば

$\int_{n}^{n + 1} \frac{dx}{x} < \frac{1}{n} \quad (n \geqq 1)$ ．

故に

$1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} > \int_{1}^{n + 1} \frac{dx}{x} = \log (n + 1),$

従って

$1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n > \log \frac{n + 1}{n} > 0.$

また

$\frac{1}{n + 1} < \int_{n}^{n + 1} \frac{dx}{x} = \log (n + 1) - \log n.$

故に $\textstyle 1 + \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{n} - \log n$ は $n$ が増すとき単調に減少する．それが正（すなわち下方に有界）だから，

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \log n \right) = C$

が存在する．この極限値 $C$ を Euler の定数という． $C$ の値は $0.5772156 \cdots$ である． $e$ や $\pi$ とは違って， $C$ の数論的の性質は未知である．例えば $C$ が無理数であるかどうかも知れていない．

［附記］ 

上記の比較法は、なお若干拡張して利用することができる．まず次の例は最も簡単である．

(IV)

正項級数 $\textstyle\sum u_n, \sum v_n$ において，十分大なる $n$ に関して常に

$0 < A < \frac{u_n}{v_n} < B$

ならば（例えば $\textstyle\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} > 0$ のとき），二つの級数は共に収束または共に発散する．

［証］

$\textstyle\sum_{n = 1}^{m} u_n < B \sum_{n = 1}^{m} v_n$．故に $\sum v_n$ が収束すれば $\sum u_n$ も収束する．また $\textstyle\sum_{n = 1}^{m} u_n > A \sum_{n = 1}^{m} v_n$．故に $\textstyle\sum v_n$ が発散すれば， $\textstyle\sum u_n$ も発散する．

［例］

$f(x)$ を $p$ 次の多項式として $f(x) = ax^p + bx^{p - 1} + \cdots + l (a \neq 0)$ とすれば

$\sum \frac{1}{|f(x)|^s}$　は	$\begin{cases} s>\dfrac{1}{p}\\ s\leqq\dfrac{1}{p} \end{cases}$	なるとき収束．
		なるとき発散．

$x \to \infty$ のとき $\tfrac{f(x)}{x^p} \to a$ だから，この級数を既知の級数 $\textstyle\sum \frac{1}{n^{ps}}$ と比較すればよい．

(V)

正項級数 $\textstyle\sum u_n, \sum v_n$ において，十分大なる $n$ に関して常に

(2)

$\frac{u_n}{u_{n + 1}} \geqq \frac{v_n}{v_{n + 1}}$

とする．然らば

(1º)

$\textstyle\sum v_n$ が収束すれば， $\textstyle\sum u_n$ も収束する．

(2º)

$\textstyle\sum u_n$ が発散すれば， $\textstyle\sum v_n$ も発散する．

［証］

例の通り，不等式 (2) はすべての $n$ に関して成り立つと仮定してさしつかえない．然らば (2) から

$\frac{u_1}{v_1} \geqq \frac{u_2}{v_2} \geqq \cdots \geqq \frac{u_n}{v_n} \geqq \cdots$

故に $\tfrac{u_1}{v_1} = A$ と置けば $\textstyle u_n \leq Av_n, \sum_{n = 1}^{m} u_n \leq A \sum_{n = 1}^{m} v_n$ ．故に $\textstyle\sum v_n$ が収束すれば， $\textstyle\sum u_n$ も収束する．(2º) は (1º) の対偶である．

正項級数 $\textstyle\sum u_n$ において $\textstyle\lim_{n\to\infty} u_{n + 1} / u_n = l$ が存在する場合には，(II) によって $l < 1$ ならば級数は収束し， $l > 1$ ならば発散するが， $l = 1$ なる場合には，次の判定法がしばしば適用される．

(VI)

正項級数 $\textstyle\sum u_n$ において

(3)

$\frac{u_n}{u_{n + 1}} = 1 + \frac{k}{n} + O\frac{1}{n^{1 + \delta}} \quad (\delta > 0)$

とする．然らば

(1º)

$k > 1$ なるとき， $\textstyle\sum u_n$ は収束，

(2º)

$k \leq 1$ なるとき， $\textstyle\sum u_n$ は発散．

［証］

(1º)

仮定によって $k > 1$．そこで， $k > s > 1$ なる $s$ を取って $\textstyle\sum u_n$ を収束する級数 $\textstyle\sum 1/n^s$ と比較する．(V) を応用するために $v_n = 1 / n^s$ と置けば，Taylor の公式によって

(4)

$\frac{v_n}{v_{n + 1}} = \left( \frac{n + 1}{n} \right) ^s = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^s = 1 + \frac{s}{n} + O\frac{1}{n^2}$ ．

さて (3)，(4) から

$\frac{u_n}{u_{n + 1}} - \frac{v_n}{v_{n + 1}} = \frac{k - s}{n} + O\frac{1}{n^{1 + \delta}} - O\frac{1}{n^2}.$

$k - s > 0$ だから，$n$ が十分大なるとき

$\frac{u_n}{u_{n + 1}} > \frac{v_n}{v_{n + 1}}.$

故に (V) によって $\textstyle\sum u_n$ は収束する．

(2º)

$k < 1$ なるときは，$\textstyle\sum u_n$ を発散する級数 $\textstyle\sum v_n = \sum \frac{1}{n}$ と比較する．このとき $\textstyle n(\frac{v_n}{v_{n + 1}} - 1) = n(\frac{n + 1}{n} - 1)=1,\, n(\frac{u_n}{u_{n + 1}} - 1) \to k$ だから，ついには $\textstyle \frac{v_n}{v_{n + 1}} > \frac{u_n}{u_{n + 1}}$ になってしまう．故に $\textstyle\sum u_n$ は発散する．

これは簡単であるが， $k = 1$ なるときには，通用しない．この場合には $\textstyle\sum u_n$ を発散級数 $\textstyle\sum v_n = \sum \frac{1}{n \log n}$ と比較する．然らば

$\frac{v_n}{v_{n + 1}} = \frac{(n + 1) \log (n + 1)}{n \log n} = 1 + \frac{(n + 1) \log (n + 1) - n \log n}{n \log n}$ ．

さて微分法の平均値の定理を函数 $x \log x$ と区間 $[n, n + 1]$ とに適用すれば，

$(n + 1) \log (n + 1) - n \log n > \log n + 1.$

よって

$\frac{v_n}{v_{n + 1}} > 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n \log n}$ ，

$\frac{v_n}{v_{n + 1}}- \frac{u_n}{u_{n + 1}} > \frac{1}{n \log n} - O\frac{1}{n^{1 + \delta}} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{\log n} - O\frac{1}{n^\delta} \right).$

$\textstyle \frac{\log n}{n^\delta} \to 0$ だから，ついには

$\frac{v_n}{v_{n + 1}} > \frac{u_n}{u_{n + 1}}.$

故に $\textstyle\sum u_n$ は発散する．

［例］

$\tfrac{u_n}{u_{n + 1}}$ が $n$ の有理函数として

$\frac{u_n}{u_{n + 1}} = \frac{n^p + an^{p - 1} + a'n^{p - 2} + \cdots}{n^p + bn^{p - 1} + b'n^{p - 2} + \cdots}$

のように表わされるときには，

$\frac{u_n}{u_{n + 1}} = 1 + \frac{a - b}{n} + O\frac{1}{n^2}.$

すなわちここでは $k = a - b$ だから，収束の必要かつ十分なる条件は $a - b > 1$ である（Gauss）．

Gauss は，つとに（1812），このように有力な判定法を持っていて，超幾何級数の収束性を考察したのである．

［注意］ 

応用上，たいがい (VI) によって収束性は判定される．それでいけない場合には，問題はむずかしい．

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