解析概論/第4章/二重級数

50．二重級数

二重数列 $a_{m,n}$ から二重級数が生ずる．形式的に単級数 $\textstyle\sum a_n$ の場合をまねて

$s_{m,n}=\sum_{\mu=1}^m\sum_{\nu=1}^n a_{\mu,\nu}$

と置いて，$\textstyle\lim_{m\to\infty,n\to\infty}s_{m,n}=s$ が存在するとき，暫定的に二重級数は和 $s$ に収束するともいうが，二重級数の総和法としては $\textstyle\sum_{m=1}^\infty(\sum_{n=1}^\infty a_{m,n}),\sum_{n=1}^\infty(\sum_{m=1}^\infty a_{m,n})$ なども考えに浮かぶであろう．これらはすべて形式的で，二重級数総和の特別なる方法に過ぎない．応用上重要なのは，収束性が項の順序に無関係なる場合，すなわち絶対収束の場合である．

第一象限の格子点 $(m,n)$ 全体の集合を $K$ と名づけるならば，$K$ の各点に一つの番号をつけて，それを一つの無限点列にすることができる．すなわち $K$ はいわゆる可算（countable, denumerable, abzählbar）集合である．

次の図は，このような番号づけの例を示すものである．

ファイル:図	ファイル:図
（平方式）	（対角線式）

一般に，しだいに拡大する $K$ の有限部分集合の一列

$K_1\subset K_2\subset\cdots\subset K_p\subset\cdots$

があって，$K$ の各点 $(m,n)$ はついには或る $K_p$ 従って $q>p$ なる各 $K_q$ に含まれるとする．このような状態を，$K_p$ は単調に $K$ に収束するといえば印象的であろう．そのとき $K_p$ に含まれる格子点の数を $k_p$ として，まず $K_1$ に含まれる点に $1$ から $k_1$ までの番号をつけ，次には $K_2$ に含まれ，$K_1$ に含まれない点に $k_1+1$ から $k_2$ までの番号をつけるというようにして，$K$ の点が一列化される．上記第一の例では，$\mathrm{Max}(m,n)\leqq p$ なる点が $K_p$ を組成し，また第二の例では，$m+n\leqq p+1$ なる点が $K_p$ を組成する．このような $K$ の一列化は無数の仕方で可能である．――実際，一つの一列化ができる以上，それの順序の任意の変換によって他の一列化が生ずるから，それは当然である． さて $K$ の一列化において $(m,n)$ の番号が $p$ であるとして

$a_{m,n}=b_p$

と書けば，二重級数 $\textstyle\sum a_{m,n}$ が単級数 $\textstyle\sum b_p$ になる． このようにして生ずる一つの級数 $\textstyle\sum b_p$ が絶対収束をするとして，その和を $s$ とするならば，$\textstyle\sum b_p$ の項の順序を変えても和は変わらないから，$\textstyle\sum a_{m,n}$ の任意の一列化において $s$ は一定である．この場合に，二重級数 $\textstyle\sum a_{m,n}$ は和 $s$ に絶対収束するという．この意味において，絶対収束の判別条件は $|a_{m,n}|$ の有限部分和が一様に有界であることで，それはつまり

$\sum_{\mu,\nu=1}^n|a_{\mu,\nu}|<M$

が $n$ に無関係なる定数 $M$ に関して成り立つことにほかならない． 絶対収束の場合，前に述べたように集合列 $K_p$ を単調に $K$ に収束するものとして，$K_p$ に属する $(m,n)$ に関する $a_{m,n}$ の和を

$s_p=\sum_{K_p}a_{m,n}$

とするならば，

$\lim_{p\to\infty}s_p=s.$

上記のように，集合列 $K_p$ に従って $K$ を一列化して $\textstyle\sum a_{m,n}$ を $\textstyle\sum b_p$ にするならば，$s_p$ は $\textstyle\sum b_p$ の部分和であることを考えれば，これは明白であろう．$\textstyle a_{m,n}$ を対角線式に

$s=a_{11}+(a_{12}+a_{21})+(a_{13}+a_{22}+a_{31})+\cdots$

として総和するのは，これの一例である． それにも増して興味のあるのは，$K$ を無数の無限集合に分割して $\textstyle\sum a_{m,n}$ を総和する方法である．今そのような分割を（略記式に）

$K=H_1+H_2+\cdots+H_p+\cdots$

と書く： すなわち $H_p$ は無数の格子点を含んでもよいが，各点 $(m,n)$ は $H_p$ のうちのいずれかに，しかもただ一つにのみ属するのである． 絶対収束の場合，$H_p$ に対応する部分級数はもちろん絶対に収束する．その和を

$\sigma_p=\sum_{H_p}a_{m,n}$

とする．この和は $H_p$ に属する格子点 $(m,n)$ の上にわたるのである．しからば

(1)

$\sum_{p=1}^\infty\sigma_p = \sigma_1+\sigma_2+\cdots =s.$

例えば，行列 $a_{m,n}$ の行による総和法 $\textstyle\sum_{m=1}^\infty(\sum_{n=1}^\infty a_{m,n})$ または列による総和法 $\textstyle\sum_{n=1}^\infty(\sum_{m=1}^\infty a_{m,n})$ は (1) の特別の場合である．これはすでに述べた通りである（§43）．

上記の考察は三重以上の級数 $\textstyle\sum a_{m,n,p,\ldots}$ にも通用する．また添字 $m,n,p,\ldots$ は区間 $(-\infty,\infty)$ の整数でもよい．一般的に $n$ 次元空間 $K$ に属する格子点 $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$――すなわち $x_i$ は任意の整数――に対応する級数 $\textstyle\sum_P a_P$ の絶対収束に関して，同様の考察を行うことができる．議論の根拠は $K$ の格子点の一列化 $(P_1,P_2,\ldots)$ にある．

一列化の方法は前に述べた通りである．一例として

$\mathrm{Max}(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|)\leqq p$

なる点 $P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ をもって部分集合 $K_p$ を組み立ててもよい（立方式）．または

$|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\leqq p$

によってもよい（対角式）．

［注意］ 

一次元においては，両方に無限なる級数

(2)

$\sum_{\nu=-\infty}^\infty a_\nu$

が収束するというのは，（定義として）

$\lim_{n\to\infty,m\to\infty}\sum_{\nu=m}^n a_\nu$

の存在を意味する．すなわちそれは各別に収束する二つの単級数 $\textstyle\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu,\sum_{\nu=1}^\infty a_{-\nu}$ の和である．故に収束の場合には和は

$a_0+(a_1+a_{-1})+(a_2+a_{-2})+\cdots$

に等しいが，逆は真でない．（例えば $\cdots+1-1+a_0+1-1+\cdots$ は収束しない．）

［例 1］

（Eisenstein の級数）

(3)

$\sum\frac{1}{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^s}.$

ここで $x_i$ は $-\infty$ から $+\infty$ までの整数で，$(0,0,\ldots,0)$ なる組合せだけは除く．すなわち $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ は $n$ 次元空間において，原点以外のすべての格子点の上にわたるのである．

この級数は $s>\tfrac{n}2$ なるとき収束し，$s\leqq\tfrac{n}2$ なるとき発散する．

［証］

$k$ を自然数とすれば，各座標が $|x_i|\leqq k$ なる格子点の総数は $(2k+1)^n$ であるから，そのうち少くとも一つの座標が $|x_i|=k$ なる格子点，換言すれば $\mathrm{Max}(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|)=k$ なる格子点の数は

(4)

$T(k)=(2k+1)^n-(2k-1)^n$

である．故に今

$S_m=\sum_{|x_i|\leqq m}\frac{1}{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^s}$

と置けば

(5)

$\sum_{k=1}^m\frac{T(k)}{(nk^2)^s}<S_m<\sum_{k=1}^m\frac{T(k)}{k^{2s}}.$

さて $T(k)$ は，(4) からみえるように，$k$ に関する $n-1$ 次の正係数の多項式である．すなわち

(6)

$T(k)=a_0k^{n-1}+a_1k^{n-2}+\cdots+a_{n-1},\quad (a_i\geqq 0).$

故に (5) から

$S_m < a_0\sum_{k=1}^m\frac{1}{k^{2s-n+1}} +a_1\sum_{k=1}^m\frac{1}{k^{2s-n+2}}+\cdots +a_{n-1}\sum_{k=1}^m\frac{1}{k^{2s}}.$

故に $2s-n+1>1$ すなわち $s>\tfrac{n}2$ なるとき $S_m$ は有界，従って (3) は収束する． $s\leqq\tfrac{n}2$ なるときは，(5)，(6) から

$S_m>\frac{a_0}{n^s}\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}.$

故に (3) は発散する．

上記定理は $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$ の代りに正値二次形式

$Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{p,q=1}^n a_{p,q}x_px_q\quad(a_{pq}=a_{qp})$

をとる場合にも成り立つ．すなわち

$\sum_{1}{Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)^s}$

は $s>\tfrac{n}2$ なるとき収束し，$s\leqq\tfrac{n}2$ なるとき発散する． この場合 $Q$ の固有方程式

$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$

の根（$Q$ の固有値）はすべて正であるが，そのうち最小のものを $\lambda_1$，最大のものを $\lambda_2$ とすれば

$\lambda_1\leqq\frac{Q(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\leqq\lambda_2.$

故に $\textstyle\sum Q^{-s}$ は $\textstyle\sum(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-s}$ と同時に収束または発散するのである．

例えば $ax^2+bxy+cy^2$ が正値二次形式ならば（$a>0,c>0,ac-b^2>0$），格子点 $(x,y)\ne(0,0$ にわたる級数

$\sum\frac{1}{(ax^2+bxy+cy^2)^s}$	は	$\begin{cases}s>1\\s\leqq 1\end{cases}$	のとき収束，
			のとき発散．

［例 2］

絶対収束をしない級数の一例として，Kelvin が取扱った級数

$\sum\frac{(-1)^{m+n}mn}{(m+n)^2}\quad(m,n=1,2,3,\ldots)$

を取ってみる．$\textstyle 1=\mathit\Gamma(2)=\int_0^\infty e^{-x}x\,dx$ において，積分変数を $mx$ に変換すれば，

$\frac{1}{m^2}=\int_0^\infty e^{-mx}x\,dx.$

故に上記級数の一般項は

$a_{m,n}=(-1)^{m+n}\int_0^\infty mne^{-(m+n)x}x\,dx.$

従って

$\begin{align}s_{m,n} &= \int_0^\infty\sum_{\mu,\nu}(-1)^{\mu+\nu}\mu\nu e^{-(\mu+\nu)x}x\,dx \qquad\left({\mu=1,2,\ldots,m\atop\nu=1,2,\ldots,n}\right)\\ &= \int_0^\infty\Bigl(\sum_\mu(-1)^\mu\mu e^{-\mu x}\Big) \Big(\sum_\nu(-1)^\nu\nu e^{-\nu x}\Bigr)x\,dx\\ &= \int_0^\infty\varphi(m,x)\varphi(n,x)\frac{xe^{-2x}dx}{(1+e^{-x})^4}, \end{align}$

ただし

$\varphi(m,x)=1+(-1)^m\{(m+1)e^{-mx}+me^{-(m+1)x}\}$

$\varphi(m,x)\cdot\varphi(n,x)$ を展開すれば $s_{m,n}$ は九つの積分の和になる．そのうち一つは

(7)

$\int_0^\infty\frac{e^{-2x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4}=\frac16\left(\log 2-\frac14\right)$

である．これを $I$ と書く．他の八つは

$\pm(m+h)\int_0^\infty\frac{e^{-(m+r)x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4},\quad \pm(n+k)\int_0^\infty\frac{e^{-(n+r)x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4},$

$\pm(m+h)(n+k)\int_0^\infty\frac{e^{-(x+n+r)x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4}$

の形で $h,k$ は $0$ または $1$，また $r$ は $2,3,4$ である．さて

$\int_0^\infty\frac{e^{-\mu x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4} <\int_0^\infty e^{-\mu x}x\,dx=\frac{1}{\mu^2}$

だから，$s_{m,n}$ における (7) 以外の八つの項は絶対値において

$\frac{m+h}{(m+r)^2},\ \frac{n+k}{(n+r)^2}$　または　$\frac{(m+h)(n+k)}{(m+n+r)^2}$

よりも小である．従って

$\lim_{m\to\infty}(\lim_{n\to\infty}s_{m,n}) =\lim_{n\to\infty}(\lim_{m\to\infty}s_{m,n}) =\int_0^\infty\frac{e^{-2x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4}=l.$

すなわち行列 $a_{m,n}$ の横列の和を総和しても，または縦列の和を総和しても，同一の極限値 $l$ を得る．しかし級数は絶対収束しない．

例えば，$\textstyle\lim_{m\to\infty}s_{m,m}=l+\frac{1}{16}$．$s_{m,m}$ においては $\varphi(m,x)^2$ から

$(m+h)(m+k)\int_0^\infty\frac{e^{-(2m+r)x}x\,dx}{(1+e^{-x})^4}$

のような積分がでてくる．この積分は変数を $x/(2m+r)$ に変換すれば

$\frac{(m+h)(m+k)}{(2m+r)^2} \int_0^\infty\frac{e^{-x}x\,dx}{(1+e^{-\frac{x}{2m+r}})^4}$

になり，$m\to\infty$ のとき極限値は $\textstyle \frac14\int_0^\infty\frac{e^{-x}x\,dx}{16}=\frac{1}{64}$ になる（定理 42）．$s_{m,m}$ においてはこのような積分が符号 $+$ を持って四つ出るから $s_{m,m}\to l+\tfrac{1}{16}$． 同様にして $s_{m,m+1}\to l-\tfrac{1}{16}$ を得る．

［附記］ 

本節の初めに述べた純規約的なる $s_{m,n}$ の極限としての $\textstyle\sum a_{m,n}$ によれば，任意の $b_n$（例えば $b_n=n$，または $b_n=(-1)^n$ 等）をもって級数

$\begin{alignat}{5} &b_1 & &+b_2 & &+\cdots & &+b_n & &+\cdots\\ {}-{}&b_1 & &-b_2 & &-\cdots & &-b_n & &-\cdots\\ {}+{}&a_{11}& &+a_{12} & &+\cdots & &+a_{1n} & &+\cdots\\ {}+{}&a_{21}& &+a_{22} & &+\cdots & &+a_{2n} & &+\cdots \end{alignat}$

を作っても，収束性にも和にも影響しない．$(b_n),(-b_n)$ のような二行（または二列）をどこへいくつ（有限個）入れても同様である．形式的定義の不実用性をみるべきである．

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