解析概論/第3章/練習問題(3)

[編集] 練習問題（3）

(1)

次の不定積分は‘できる’（§37）．ただし $a,b,c$ 等は定数， $P,Q$ は多項式， $R$ は有理式である．

[1º]

$\int P(x)e^{\alpha x}\cos bx\,dx,\quad \int P(x)e^{\alpha x}\sin bx\,dx.$

[2º]

$\int P(\cos a_1x,\ldots,\cos a_px,\sin b_1x,\ldots,\sin b_qx)\,dx.$

[3º]

$\int e^{cx}Q(x)P(\cos a_1x,\ldots,\cos a_px,\sin b_1x,\ldots,\sin b_qx)\,dx.$

[4º]

$\int R'(x)\log x\,dx,\quad \int R'(x)\mathrm{arc\,tan\,}x\,dx, \quad \int R'(x)\mathrm{arc\,sin}\,x\,dx.$

［解］

[2º] では $\cos a_1x,\sin b_1x$ 等の積を和に直して簡約する．

(2)

$\int\cos^nx\,dx=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{0\leqq k<\frac{n}2} \binom{n}k\frac{\sin(n-2k)x}{n-2k}+\frac{1}{2^n}\binom{n}{n/2}x.$

ただし $n$ は自然数であるが，最後の項は $n$ が偶数のときにだけ出る．

［解］

$\cos^nx=(\tfrac{e^{xi}+e^{-xi}}2)^n$ を用いれば容易にできる． $\textstyle\int\sin^nx\,dx$ も同様．

(3)

$\alpha\ne 0$ とすれば

$\begin{align} &\int\sin^{\alpha-1}x\cos(\alpha+1)x\,dx=\frac1\alpha\sin^\alpha x\cos\alpha x,\\ &\int\sin^{\alpha-1}x\sin(\alpha+1)x\,dx=\frac1\alpha\sin^\alpha x\sin\alpha x,\\ &\int\cos^{\alpha-1}x\cos(\alpha+1)x\,dx=\frac1\alpha\cos^\alpha x\sin\alpha x,\\ &\int\cos^{\alpha-1}x\sin(\alpha+1)x\,dx=-\frac1\alpha\cos^\alpha x\cos\alpha x. \end{align}$

(4)

$\begin{align} F(\cos x,\sin x)=f(\cos x)+g(\cos x)\sin x,\\ f(\cos x)=\varphi(\cos^2x)+\psi(\cos^2x)\cos x. \end{align}$

右辺の第二項の積分は，それぞれ変換 $t=\cos x,t=\sin x$ によって有理化される． $\varphi(\cos^2x)$ の積分は変換 $t=\tan x$ で有理化される．すなわち $\tan\tfrac{x}2$ を用いなくてすむ．ただし $F,f,g,\varphi,\psi$ は有理式である．

(5)

二項微分の積分（§37）

$I_{p,q}=\int t^p(at+b)^q\,dt$

に関して，次の簡約公式が成り立つ．

$\begin{align} &(p+q+1)I_{p,q}=qbI_{p,q-1}+t^{p+1}(at+b)^q.\\ &a(p+q+1)I_{p,q}=-pbI_{p-1,q}+t^p(at+b)^{q+1}. \end{align}$

これを用いて， $p$ または $q$ を区間 $[0,1]$ または $[-1,0]$ に導くことができよう．

［解］

$t^p(at+b)^q=at^{p+1}(at+b)^{q-1}+bt^p(at+b)^{q-1}$

と部分積分とを用いて，初めの公式を得る．次のはそれの変形．

(6)

[1º]

$\int_0^\pi\frac{\sin x\,dx}\sqrt{1-2a\cos x+a^2}=\begin{cases} 2, & |a|\leqq 1,\\ 2/|a|, & |a|\geqq 1. \end{cases}$

[2º]

$\int_0^1\frac{x\log x\,dx}{(1+x)^4}=-\frac16\left(\log 2-\frac14\right).$

［解］

不定積分ができるが，限界を入れるときに注意を要する．

(7)

[1º]

$\int_a^b\frac{dx}\sqrt{(x-a)(b-x)}=\pi.\quad(a<b).$

[2º]

$\int_{-1}^1\frac{dx}{(a-x)\sqrt{1-x^2}}=\pm\frac\pi\sqrt{a^2-1}.$ 　（ $|a|>1$ ． $\pm$ は $a$ の符号）．

[3º]

$\int_0^\frac\pi2\left(\frac\pi2-x\right)\tan x\,dx=\frac\pi2\log 2.$

[4º]

$\int_0^1\frac{\log x}{x^\alpha}=\frac{-1}{(1-\alpha)^2},\quad(0<\alpha<1)$

［解］

これらの広義積分は収束する．[1º] は $x$ の一次変換によって，積分区域を $[-1,1]$ にするがよい．[2º] は変換 $x=\cos\theta$ による．[3º] は §34，［例 3］に帰する．[4º] は部分積分で（不定積分が）できる．

(8)

$\textstyle \int_0^\infty\frac{\sin x\,dx}{x^\nu}\ (0<\nu<1)$ は収束する． $1<\nu<2$ なるときは絶対収束で， $0<\nu\leqq 1$ なるときは絶対収束でない．

(9)

$\textstyle \int_0^\infty \frac{x\,dx}{1+x^6\sin^2x}$ は収束する．

［注意］

これは被積分函数が有界でなくても，無限区間の積分が収束する例である．

$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} < (n+1)\pi\int_0^\pi\frac{dx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} < \frac{1}{n^2}.$

(10)

$\textstyle J=\int_0^1\frac{x^n\,dx}\sqrt{1-x^4}\ (n=0,1,2,\ldots)$ と置けば， $(n-1)J_n=(n03)J_{n-4}$ ．
これから Wallis の公式（§35，［例 5］）のように， $J_0,J_1,J_2$ を表わす無限積を導くことができる．（ $J_3=\tfrac12$ を用いる．）

(11)

$f(x),g(x)$ が $[a,b]$ で積分可能ならば

$\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2\leqq \int_a^b f(x)^2\,dx\,\int_a^b g(x)^2\,dx.$ 　（Schwarz の不等式）

ただし， $f(x),g(x)$ が連続ならば，等号は $f(x),g(x)$ の比が定数であるときに限って成り立つ．（ $u\ne 0$ または $v\ne 0$ で， $[a,b]$ において常に $uf(x)+vg(x)=0$ になるような定数 $u,,v$ が存在するときのほかは成り立たない．）

［解］

$\int_a^b(uf(x)+vg(x))^2\,dx=Au^2+2Buv+Cv^2\geqq 0$

から $B^2\leqq AC$ を得る．等号に関しては §31，(4º) 参照．

(12)

$f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)$ を $[a,b]$ で積分可能として

$a_{pq}=\int_a^b f_p(x)f_q(x)\,dx$

と書けば，Gram の行列式

$\begin{vmatrix} a_{11},&a_{12},&\cdots,&a_{1n}\\ a_{21},&a_{22},&\cdots,&a_{2n}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ a_{n1},&a_{n2},&\cdots,&a_{nn} \end{vmatrix}\geqq 0$

ただし，等号は $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)$ が $[a,b]$ において連続ならば，それらが一次独立でない（常に $c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0,\ (c_1,c_2,\ldots,c_n)\ne(0,0,\ldots,0)$ ，なる定数が存在する）ときに限って成り立つ．

［解］

$\textstyle \int_a^b(u_1f_1(x)+\cdots+u_nf_n(x))^2\,dx\geqq 0$ を用いる．