解析概論/第3章/線積分

41. 線積分

平面上の或る区域において $P(x,y)$ が連続で，またその区域内において滑らかな曲線

$C\colon\qquad x=x(t),\quad y=y(t)\qquad (a\leqq t\leqq b)$

が与えられているとき

$\int_C P(x,y)\,dx=\int_a^b P(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}\,dt$

を曲線 $C$ の上の線積分という．

$\int_CQ(x,y)\,dy=\int_a^bQ(x,y)\frac{dy}{dt}\,dt$

も同様である． 曲線 $C$ を細分して，これらを

$\lim\sum P(x_i,y_i)(x_{i+1}-x_i),\quad\lim\sum Q(x_i,y_i)(y_{i+1}-y_i)$

として，直接に定義することもできる．故に線積分は媒介変数 $t$ の選択に関係しない一定の値を有する．

$C$が滑らかでないならば，これらの $\lim$ は，有界変動の函数 $x(t),y(t)$ による Stieltjes 積分である．

ファイル:図

［例 1］

次の図に示す曲線 $AB$ に関する線積分

(1)

$S=\int_{AB}f(x,y)\,dx$

は次の意味を有する．

弧 $AA_1,A_1A_2, A_2B$ をそれぞれ $y=\varphi_1(x),y=\varphi_2(x),y=\varphi_3(x)$ とすれば，

$\begin{align} S&=\int_{AA_1}+\int_{A_1A_2}+\int_{A_2B} \\ &=\int_a^{a_1}f(x,\varphi_1(x))\,dx +\int_{a_1}^{a_2}f(x,\varphi_2(x))\,dx +\int_{a_2}^bf(x,\varphi_3(x))\,dx. \end{align}$

右辺の三つの積分は，$x$ を積分変数とする通常の意味の積分であるが，その和を (1) のように略記するのである．

ファイル:図

［例 2］

$C$ を図のような閉曲線 $AMBNA$ とし，$f(x,y)$ を特に $y$ として $C$ に関して正の向き（$xy$ を常例のように右系とすれば，内部を左手に見る向き）に取った線積分 $\textstyle\int_C y\,dx$ を考察しよう．

今弧 $AMB$ においては $y=\varphi_1(x)$，また弧 $ANB$ においては $y=\varphi_2(x)$ とすれば

$\begin{align}\int_Cy\,dx &=\int_a^b\varphi_1(x)\,dx+\int_b^a\varphi_2(x)\,dx \\ &=\int_a^b\varphi_1(x)\,dx-\int_a^b\varphi_2(x)\,dx \\ &=-\int_a^b[\varphi_2(x)-\varphi_1(x)]\,dx. \end{align}$

すなわち $C$ 内の面積を $S$ とすれば，$\textstyle S=-\int_Cy\,dx$．もしも $x$ と $y$ とを交換すれば，$y-x$ は左系になるから $\textstyle S=\int_Cx\,dy$ になる．よって

(2)

$S=\int_Cx\,dy=-\int_Cy\,dx=\frac{1}{2}\int_Cx\,dy-y\,dx.$

$C$ 上の隣接した点を $P=(x,y),P'=(x+\Delta x,y+\Delta y)$ とすれば，微小三角形 $OPP'$ の面積は符号を計算に入れて

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x & x+\Delta x \\ y & y+\Delta y \\ \end{vmatrix} =\frac{1}{2}(x\,\Delta y-y\,\Delta x)$

だから，(2) の幾何学上の意味は明白である．

［Amsler の面積計］

定長 $l$ なる線分 $AA'$ の両端 $A,A'$ がそれぞれ閉曲線 $C,C'$ の上を動くとする．その運動の過程において，$A=(x,y), A'=(x',y')$．また $A'A$と $x$ 軸との間の角を $\theta$ とすれば，

$x=x'+l\,\cos\theta,\quad y=y'+l\,\sin\theta.$

よって

$dx=dx'-l\,\sin\theta\,d\theta,\quad dy=dy'+l\,\cos\theta\,d\theta,$

$x\,dy-y\,dx=x'\,dy'-y'\,dx' +l(x'\cos\theta+y'\sin\theta)\,d\theta +l(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx') +l^2\,d\theta.$

今 $C,C'$ の面積をそれぞれ $S,S'$ とすれば，(2)によって

$2S=\int_C(x\,dy-y\,dx),\qquad 2S'=\int_{C'}(x'\,dy'-y'\,dx')$

だから

$2S=2S'+l\int_{C'}(x'\,\cos\theta+y'\,\sin\theta)\,d\theta +l\int_{C'}(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx')+l^2\int_{C'}d\theta.$

さて

$\begin{align} \int\cos\theta\,dy'&=y'\,\cos\theta+\int y'\,\sin\theta\,d\theta, \\ -\int\sin\theta\,dx'&=-x'\sin\theta+\int x'\cos\theta\,d\theta. \end{align}$

一周の後 $y'\,\cos\theta,x'\,\sin\theta$ はもとの値に帰るから

$\int_{C'}(x'\,\cos\theta+y'\,\sin\theta)\,d\theta =\int_{C'}(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx').$

また $n$ を或る整数として

$\int_{C'}\,d\theta=2n\pi.$

故に

$S-S'=l\int_{C'}(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx')+n\pi l^2.$

さて $C'$ の弧長を $s'$，接線と $x$ 軸との間の角を $\varphi$ とすれば

$dx'=ds'\cos\varphi,\quad dy'=ds'\sin\varphi.$

故に $\varphi-\theta=\psi$ と置けば

(3)

$S-S'=l\int_{C'}\sin\psi\,ds'+n\pi l^2.$

Amsler の面積計（planimeter）はこの公式を応用したものである．面積計の主要部は $A'$ の関節において自由に屈折する二つの杆 $OA',A'A$ と杆 $A'A$ を軸として回転する小車輪 $K$ である．今閉曲線 $C$ が紙上に画かれているとき，$C$ の外部に $O$ を固定して，$O$ から $C$ 上の点への距離が，$OA'+A'A$ よりも小さいようにして置けば，$A$ が $C$ に上を一周するとき，$A'$ は一つの円周上を動くけれども，それを一周しない．故にこの場合(3)において $S'=0,n=0$ で

(4)

$S=l\int_{C'}\sin\psi\,ds'.$

さて杆 $A'A$ が微小なる変位をして，$A_1'A_1$ の位置にきたとすれば，

$\sin\psi\,ds'=dp$

は $A_1'$ から $A'A$ への垂線の長さである．

この変位を次のように三つの変位に分解することができる．すなわち (1º) $A'A$ がそれに垂直に $dp$ だけ平行移動をして $B'B$ にくる．(2º) $B'B$ がその直線上を $A_1'A^*$ まで進む．(3º) $A_1'A^*$ が $A_1'A_1$ まで $d\theta$ だけの回転をする．さて (1º) は車輪 $K$ の回転の角度に比例する．(2º) では車輪は回転しない．(3º) では車輪は $A'K\cdot d\theta$ だけ回転するが，$\textstyle\int d\theta=0$ だから，結局 $\textstyle\int\sin\psi ds'=\int dp$ は車輪の回転の純量に比例する．実際は車輪に $ldp$ を示すように，目盛りがつけてあるから，面積 $S$ がすぐに読めるのである．