解析概論/第3章/有界変動の函数

39. 有界変動の函数

曲線の長さについて述べる前に，その準備として，好機会に，標記の函数を紹介する．

区間 $[a,b]$ において函数 $f(x)$ が与えられたとき，この区間を

$(\Delta)\qquad a=x_1<x_2<\cdots<x_n<x_{n+1}=b$

なる点 $x_i$ において小区間に分割して，

(1)

$v_\Delta=\sum_{i=1}^n|f(x_{i+1})-f(x_i)|$

なる和を作る．もしもすべての分割 $\Delta$ に関して $v_\Delta$ が有界ならば，その上限を $V$ として，それを $[a,b]$ における $f(x)$ の総変動量（変動の純量）といい，$f(x)$ を $[a,b]$ において有界変動の函数と名づける．

この場合，$f(x)$ は $[a,b]$ において有界である．実際 $x$ を区間内の任意の点とすれば，$|f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|\leqq V$ から $|f(x)-f(a)|\leqq V$．

和 (1) における $f(x_{i+1})-f(x_i)$ の中で，正なるものと，負なるものとの総和をそれぞれ $p_\Delta,-n_\Delta$ で表すならば，

$v_\Delta=p_\Delta+n_\Delta,\quad f(b)-f(a)=p_\Delta-n_\Delta.$

故に有界変動の場合，$p_\Delta$ も $n_\Delta$ も有界である．それらの上限を $P,N$ とすれば

$V=P+N,\quad f(b)-f(a)=P-N.$

また $[a,b]$ 内の一点 $x$ を取れば，区間 $[a,x]$ において $f(x)$ はもちろん有界変動で，$[a,x]$ に対応する $V,P,N$ は $x$ の函数である．それらを $V(x),P(x),N(x)$ と書けば

(2)

$V(x)=P(x)+N(x),\quad f(x)-f(a)=P(x)-N(x).$

$P(x),N(x),V(x)$ をそれぞれ $[a,b]$ における $f(x)$ の正の変動，負の変動，全変動という．

$P(x),N(x)$ は単調増大（不減少）であるから，(2) から次の定理を得る．

定理 38．

有界変動の函数は二つの有界なる増大函数の差に等しい．

$f(x)=f(a)+P(x)-N(x)$ において，$P(x),N(x)$ は特定の単調函数であるが，一般に，$\varphi(x),\psi(x)$ が有界なる増大函数ならば，その差 $f(x)=\varphi(x)-\psi(x)$ は有界変動で，$f$ に関する全変動は $\varphi,\psi$ に関する全変動の和を越えない： $V(x)\leqq(\varphi(x)-\varphi(a))+(\psi(x)-\psi(a))$．

$\varphi(x),\psi(x)$ の和も積も有界変動である．商 $\varphi(x)/\psi(x)$ は $[a,b]$ において $|\psi(x)|>m>0$ ならば，有界変動である．――和に関しては明白．積に関しては，

$\begin{align} |\varphi(x_1)\psi(x_1)-\varphi(x_2)\psi(x_2)| &= |\psi(x_1)(\varphi(x_1)-\varphi(x_2))+\varphi(x_2)(\psi(x_1)-\psi(x_2))| \\ &\leqq M(|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|+|\psi(x_1)-\psi(x_2)|), \end{align}$

$(|\varphi(x)|<M,|\psi(x)|<M)$ から出る．商に関しても同様である．

従って，有界変動の函数の和，差，積はまた有界変動である．

有界変動の函数 $f(x)$ の全変動 $V(x)$ は区間に関して加法的である．――というのは，区間 $[a,b]$ を $c$ において $[a,c]$ と $[c,b]$ とに分割するとき，区間を明示して全変動を書き表せば，

(3)

$V(a,b)=V(a,c)+V(c,b).$

これは明白である．よって (2) から，$P,N$ に関しても同様に

$P(a,b)=P(a,c)+P(c,b),\quad N(a,b)=N(a,c)+N(c,b).$

故に，もしも区間の左端を $c$ として $P,N$ を作るならば，

(4)

$\left.\begin{align} P(c,x)&=P(a,x)+P(a,c), \\ N(c,x)&=N(a,x)-N(a,c). \end{align}\right\}$

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ が連続でかつ有界変動ならば，$P(x),N(x)$，従って $V(x)$ も連続である．――今例えば，かりに区間内の一点 $x_0$ において $P(x)$ が右へ連続でないとしてみる．然らば(4)によって $x_0=a$ としてよいから，$P(a)=0,P(a+0)=\omega>0$．$f(x)$ は連続だから，$N(a+0)=\omega$．よって $x\ne a$ のとき $P_1(x)=P(x)-\omega,N_1(x)=N(x)-\omega,P_1(a)=N_1(a)=0$ と置けば，$f(x)=P_1(x)-N_1(x)+f(a)$．従って $V(x)\leqq P_1(x)+N_1(x)$．一方 $V(x)=P(x)+N(x)=P_1(x)+N_1(x)+2\omega$ だから，これは矛盾である．

　$[a,b]$ において $f(x)$ が区分的に単調ならば，有界変動である．しかし，連続函数は必ずしも有界変動でない．例えば $f(x)=x\,\sin\tfrac{1}{x}$ の区間 $[0,\tfrac{1}{\pi}]$ における全変動は $\textstyle \frac{4}{\pi}(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots)$ より大で，従って有界変動でない．同時にまた有界変動の函数はもちろん必ずしも連続でない．（例えば連続でない単調函数．）

区間 $[a,b]$ において，$f(x)$ が積分可能ならば，積分函数

$F(x)=\int_a^xf(x)\,dx$

は連続であるが（定理 34），それはまた有界変動である．それをみるには，例のように

$f(x)=f^+(x)-f^-(x),\quad f^+(x)=\mathrm{Max}(f(x),0)\geqq 0,\quad f^-(x)=-\mathrm{Min}(f(x),0)\geqq 0$

とすればよい．そのとき

$F(x)=\int_a^x f^+(x)\,dx-\int_a^x f^-(x)\,dx$

で，右辺の二つの積分は単調増加で有界であるから，$f(x)$ は有界変動である．

もしも $f(x)$ が $[a,b]$ において微分可能で，かつ $f'(x)$ が連続ならば（それを標語的に連続的微分可能というが，むしろ滑らか（glatt）というのが印象的であろう），$\textstyle f(x)=\int_a^xf'(x)\,dx+f(a)$ だから，$f(x)$ は有界変動である．

［注意］ 

これまで種々の属性によって函数を限定したが，それらの属性に精粗の段階がある．もっとも粗雑な属性は有界性で，有界なる函数の一部分のみが積分可能であり，積分可能なる函数の中には，連続函数があり，また有界変動の函数がある．連続でかつ有界変動なる函数は，かなり簡単らしいが，それでも必ずしも微分可能でない．微分可能でも，導函数は必ずしも連続でない．連続的微分可能，すなわちいわゆる滑らかな函数でも，第二階以上の微分可能性は保証されていない．各階の微分が可能でも，Taylor 級数には展開されないこともある．Taylor 級数に展開されるのは，解析函数で，それこそは相当簡単，従って応用上手頃なものであるが，不幸にして，それは複素数の世界において発生したものである（第 5 章）．

［附記］ 

Stieltjes 積分は有界変動の函数 $\varphi(x)$ を用いて作られる一種の積分である．まず $\varphi(x)$ を単調増大とし，被微分函数 $f(x)$ は $[a,b]$ において有界とする．§30 のように，区間$[a,b]$ を小区間 $\omega_i=[x_{i-1},x_i]$ に分割して，$\omega_i$ における $f(x)$ の上限 $M_i$，下限 $m_i$ をもって，和

$S_\Delta=\sum_{i=1}^n M_i\,\delta_i\varphi,\quad s_\Delta=\sum_{i=1}^n m_i\,\delta_i\varphi$

を作る．ただし，ここでは $\delta_i\varphi=\varphi(x_i)-\varphi(x_{i-1})$ である．さて $\delta=\mathrm{Max}(x_i-x_{i-1})$ を限りなく小さくするとき，小区間 $\omega_i$ から任意の値 $\xi_i$ を取って作られる和

$\mathit\Sigma_\Delta=\sum f(\xi_i)\,\delta_i\varphi$

が一定の極限値に収束するならば，その極限値を

$\int_a^b f(x)\,d\varphi(x)$

と書く．これがいわゆる Stieltjes 積分である．

今 $S_\Delta$ の下限を $S$，$s_\Delta$ の上限を $s$ とするならば，この場合 Darboux の定理（§30）は任意の有界なる$f(x)$ に関して必ずしも成り立たない（同所 (8) の不等式が成り立たないから）．しかし，もしも $f(x)$ が連続ならば，Stieltjes 積分は可能である．実際，

(5)

$s_\Delta\leqq s\leqq S\leqq S_\Delta,\quad s_\Delta\leqq\mathit\Sigma_\Delta\leqq S_\Delta$

であるが，$f(x)$ の一様連続性（定理 14）によって，任意の $\epsilon>0$ に対して十分小さく $\delta$ を取れば $M_i-m_i<\varepsilon$，従って $\textstyle S_\Delta-s_\Delta < \varepsilon\sum\delta_i\varphi = \varepsilon(\varphi(b)-\varphi(a))$．故に (5) の第一式から $S=s$ ．また，(5) の第二式から $|S-\mathit\Sigma_\Delta|\leqq\varepsilon(\varphi(b)-\varphi(a))$．故に $\delta\to0$ のとき $\mathit\Sigma_\Delta\to S$．

一般の有界変動の函数 $\varphi(x)$ に関しては，それを二つの有界なる単調（増大）函数の差として，$\varphi(x)=\varphi_1(x)-\varphi_2(x)$ と置けば

$\int_a^bf(x)\,d\varphi(x)=\int_a^bf(x)\,d\varphi_1(x)-\int_a^bf(x)\,d\varphi_2(x)$

を得る．

---