解析概論/第3章/曲線の長さ

40. 曲線の長さ

次に述べることは各次元に通用するけれども，簡明のために平面曲線について説明する．媒介変数 $t$ は区間 $a\leqq t\leqq b$ において変動するとして，曲線

(1)

$x=\varphi(t),\quad t=\psi(t)$

を考察する．もちろん $\varphi(t),\psi(t)$ は $[a,b]$ において連続とする．$t$ の或る値に対応する曲線上の点 $(x,y)=(\varphi(t),\psi(t))$ を点 $t$ と略称する． さて区間 $[a,b]$ の分割

($\Delta$)

$a=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=b$

に対応して，曲線 (1) が $n$ 個の弧 $(t_{i-1}\,t_i)$ に分たれる．それらの分点を順次に弦 $(t_{i-1}\,t_i)$ で結んで，内接折線 $(at_1t_2\cdots b)$ の長さを $L_\Delta$ とする．すなわち

$L_\Delta=\sum_{i=1}^n\sqrt{(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2}$

と置く．もしもすべての分割 $\Delta$ に関して $L_\Delta$ が有界ならば，その上限を $s$ として，それを曲線 (1) の弧 $(ab)$ の長さの定義としようというのが我々の目標である．

ファイル:図

$L_\Delta$ を次のように略記する．

$L_\Delta=\sum_\Delta\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2)}.$

然らば

$\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}\geqq|\Delta\varphi|,\quad \sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}\geqq|\Delta\psi|$

$\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}\geqq|\Delta\varphi|+|\Delta\psi|,$

だから

$L_\Delta\geqq\sum|\Delta\varphi|,\quad L_\Delta\geqq\sum|\Delta\psi|,\quad L_\Delta\leqq\sum|\Delta\varphi|+\sum|\Delta\psi|.$

故に $L_\Delta$ が有界なるがためには， $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ とが $[a,b]$ において有界変動なることが必要かつ十分なる条件である（§39）． さて $L_\Delta$ が有界ならば，その上限なる $s$ は

(2)

$s=\lim_{\delta\to0}L_\Delta$

として求められる．$\delta$ は分割 $\Delta$ における細区間 $[t_{i-1},t_i]$ の最大幅，すなわち $\delta=\mathrm{Max}(t_i-t_{i-1})$ である．

これは積分に関する Darboux の定理と同様である．93 頁に述べた Darboux の定理の証明と対照してみれば，まず分割 $\Delta$ において細区間 $[t_{i-1},t_i]$ の内へ一つの分点 $t'$ を挿入すれば，弦 $(t_{i-1}t_i)$ が弦 $(t_{i-1}t')+$ 弦 $(t't_i)$ で置き換えられるから $L_\Delta$ は増大するが，$\varphi,\psi$ の連続性によって，その増分は $\delta$ を十分小さく取るとき任意の $\varepsilon'$ よりも小さくされる．よって94頁と同じ意味に，分割 $D,\Delta,\Delta'$ を取れば

$s-L_D<\varepsilon,\quad L_\Delta\leqq L_{\Delta'},\quad L_D\leqq L_{\Delta'},$

$L_{\Delta'}-L_\Delta<p\varepsilon'.$

$s-L_\Delta<(s-L_D)+(L_{\Delta'}-L_\Delta)<\varepsilon+p\varepsilon'.$

$p$ は分割 $D$ における分点の数だから，定数である．故に $p\varepsilon'<\varepsilon$ とされて $L_\Delta\to s$．

さて $a\leqq t\leqq t'\leqq b$ とすれば区間 $[t,t']$ に対応して上記のような極限値 $s$ が確定する．それを曲線 (1) の弧 $(tt')$ の長さとする．然らば $t<t'<t''$ なるとき，弧長の加法性：

(3)

弧 $(tt')+{}$ 弧 $(t't'')={}$ 弧 $(tt'')$

は (2) によって明白であろう．もしも $a$ を起点として，弧 $(at)$ の長さを $s(t)$ で表すならば，弧 $(tt')=s(t')-s(t)$ である．またもし曲線上の弧に向きを付けて

弧 $(t't)=-{}$ 弧 $(tt')$

とするならば，(3) は $t,t',t''$ の大小にかかわらず，常に成り立つ．

［注意］ 

上記のように，弧の長さが内接折線の長さの極限として定義されたから，弧長は曲線の表現法または座標軸の取りようには無関係なる確定の値である．十八世紀式に，弧長を天賦（a priori）と考えるならば別格だが，さもなければ，この論点は重要である．

これまでは，$\varphi(t)$ と $\psi(t)$ との連続性と有界変動性とを仮定したが，それだけでは曲線の範囲があまりに広汎で，興味が乏しいから，これから後は $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ とが微分可能で，かつ $\varphi'(t),\psi'(t)$ が連続で，それらは同時に $0$ にならない，$\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2\ne0$，と仮定する，すなわち滑らかな曲線を考察する．然らば弧 $ab$ の長さは

(4)

$s=\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.$

今その証明をする．証明というのは，$\varphi'(t),\psi'(t)$ の連続性の仮定の下において，(2) すなわち

$s=\lim_{\delta\to 0}\sum_{i=1}^n$ 弦 $(t_{i-1}\,t_i)$

から (4) を導くことである．さて

弦 $\begin{align}(t_{i-1}\,t_i) &= \sqrt{(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2} \\ &=(t_i-t_{i-1})\sqrt{\varphi'(\tau_1)^2+\psi'(\tau_2)^2}. \end{align}$

これは微分法の平均値定理による； $\tau_1,\tau_2$ はともに $t_{i-1}$ と $t_i$ との中間値である．従って $|t_i-\tau_1|<\delta, |t_i-\tau_2|<\delta$．今

(5)

$\sqrt{\varphi'(\tau_1)^2+\psi'(\tau_2)^2} =\sqrt{\varphi'(t_i)^2+\psi'(t_i)^2}+\varepsilon_i$

と置けば

$s=\lim_{\delta\to 0}\left( \sum(t_i-t_{i-1})\sqrt{\varphi'(t_i)^2+\psi'(t_i)^2} +\sum\varepsilon_i(t_i-t_{i-1}) \right).$

はじめの $\textstyle\sum$ の $\lim$ は上掲 (4) の定積分であるから，問題は

(6)

$\lim_{\delta\to 0}\sum\varepsilon_i(t_i-t_{i-1})=0$

を確かめることに帰する．$\varphi'(t),\psi'(t)$ は仮定によって連続だから，$\delta\to0$ のとき $\varepsilon_i\to0$ だけれども，それだけでは (6) を確認するには十分でない．さて (5) から

$|\varepsilon_i| \leqq|\varphi'(t_i)-\varphi'(\tau_1)|+|(\psi'(t_i)-\psi'(\tau_2)|$

連続の一様性によって，任意に $\varepsilon$ を与えるとき，上記の $\delta$ を十分小さく取って

$|\varphi'(t_i)-\varphi'(\tau_1)|<\varepsilon, \quad |\psi'(t_i)-\psi'(\tau_2)|<\varepsilon$

ならしめることができる．然らばすべての $i$ に関して (6) において $|\varepsilon_i|<2\varepsilon$，従って

$\left|\sum\varepsilon_i(t_i-t_{i-1})\right|<2\varepsilon(b-a).$

$\varepsilon$ は任意に取れるから，(6) が成り立って，(4) の証明が終わる． $\varphi'(t),\psi'(t)$ が連続なる区域内では，(4) における積分の限界は任意であるから，今 $t_0$ を固定して弧 $(t_0t)$ の長さを $s=s(t)$ と書けば

(7)

$s(t)=\int_{t_0}^t\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.$

さて (7) から

(8)

$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} =\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$

を得るが，媒介変数に関係なく，微分記号を用いて

$ds^2=dx^2+dy^2$

(7) によって，$s$ は $t$ に関して連続かつ単調増加（狭義）である．（ここで仮定 $\varphi'(t)^2+\psi(t)^2\ne0$ を用いた．）従って $s$ と $t$ との間に１対１対応が成り立つから，$s$ を曲線の媒介変数とすることができる（定理 15参照）．その場合には

(9)

$\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2=1$

また曲線が $y=f(x)$ の形で表されるときには，$x$ が $t$ の役目をするから，

$\begin{align} ds&= \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx, \\ s &= \int_{x_0}^x\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx. \end{align}$

また曲線が極座標で $r=f(\theta)$ の形に表されるときには $\theta$ を媒介変数として

$x=r\,\cos\theta=f(\theta)\,\cos\theta, \quad y=r\,\sin\theta=f(\theta)\,\sin\theta.$

故に

$ds^2=dx^2+dy^2 =(dr\cos\theta-r\sin\theta\,d\theta)^2+(dr\sin\theta+r\cos\theta\,d\theta)^2.$

簡略して

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2,$

すなわち

$ds=\sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}\,d\theta.$

［注意］ 

滑らかな曲線において，弧とそれに対応する弦との比が，極限において $1$ に等しいことは (9) にとって明白である： すなわち

弦

弧

${}=\frac{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\Delta s} =\sqrt{ \left(\frac{\Delta x}{\Delta s}\right)^2 +\left(\frac{\Delta y}{\Delta s}\right)^2 }\to\sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2} = 1.$

［例 1］

二次曲線の弧長は円と放物線とのほかは楕円積分に帰する．

(i)

放物線 $y^2=4lx$ において，頂点 $(0,0)$ から任意の点 $(x,y)$ までの弧長を $s$ とすれば， $y=\sqrt{4lx},\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{l}{x}}$ から

$s= \int_0^x\sqrt{1+y'^2}\,dx=\int_0^x\sqrt{\frac{x+l}{x}}\,dx =l\int_0^z\sqrt{\frac{z+1}{z}}\,dz\qquad \left(z=\frac{x}{l}\right)$

$=l\{\sqrt{z(z+1)}-\log(\sqrt{z+1}-\sqrt{z})\}$　（§37，III）

$=\sqrt{x(x+l)}-l\log\left(\sqrt{\frac{x+l}{l}}-\sqrt{\frac{x}{l}}\right).$

(ii)

楕円 $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1, a\geqq b$，の弧長 $s$ は，点 $(0,b)$ を起点にすれば：

$x=a\sin\theta,\quad y=b\cos\theta;$

$dx=a\cos\theta\,d\theta,\quad dy=-b\sin\theta\,d\theta$

から

$s=\int_0^\theta\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\,d\theta =a\int_0^\theta\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,d\theta =\int_0^x\sqrt{\frac{a^2-k^2x^2}{a^2-x^2}}\,dx.$

ただし，$k=\sqrt{\tfrac{a^2-b^2}{a^2}}$ は離心率である．

(iii)

双曲線 $\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1$ の弧長も $x=a\sec\theta,y=b\tan\theta$ と置いて，同様の計算で，楕円積分に帰する．

［例 2］

レムニスケート（lemniscate）．平面上いくつかの定点からの距離の積が一定なる点の軌跡を，広義においてレムニスケートという．特に定点が二つで，その間の距離 $FF'=2a$，一定の積が $a^2$ なるときが通常のレムニスケート［Bernoulli のレムニスケート］である．その方程式は極座標で

$r=a\sqrt{2\cos2\theta}.$

$FP^2\cdot F'P^2=(r^2+a^2-2ar\cos\theta)(r^2+a^2+2ar\cos\theta)=a^4$

から，簡約して上記の方程式を得る．よって

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2 =\left(\frac{-\sqrt{2}a\,\sin2\theta\,d\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}\right)^2 +2a^2\cos2\theta\,d\theta^2 =\frac{2a^2\,d\theta^2}{\cos2\theta}.$

故に $A$ から測った弧 $AP$ の長さは

(10)

$s=\sqrt{2}a\int_0^\theta\frac{d\theta}\sqrt{\cos2\theta} =\sqrt{2}a\int_0^\theta\frac{d\theta}\sqrt{1-2\sin^2\theta}. \quad \left(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{4}\right)$

または $x=\tan\theta$ とすれば

$s=\sqrt{2}a\int_0^x\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}\frac{dx}{1+x^2} =\sqrt{2}a\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}.$

(10) において $\theta$ の変動範囲は $0\leqq\theta\leqq\tfrac{\pi}{4}$ であるが，今

$\varphi=\mathrm{Arc}\,\sin(\sqrt{2}\sin\theta)$

とすれば，$0\leqq\varphi\leqq\frac{\pi}{2}$ で，

$d\varphi=\frac{\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{1-2\sin^2\theta}},$

$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\varphi, \quad \cos\theta=\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\varphi},$

故に

$s=a\int_0^\varphi\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\varphi}} \quad\left(0\leqq\varphi\leqq\frac{\pi}{2}\right)$

この場合にも $s$ は楕円積分である．

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