解析概論/第3章/定積分の近似計算

38. 定積分の近似計算

連続函数の不定積分の存在は証明されたけれども，それが既知の函数で表わされるのは特別の場合に限るから，一般に不定積分から定積分を計算することはできない．しかし Weierstrass の定理（§78）によれば一つの区間 $[a,b]$ において，連続なる $f(x)$ に一様に近似する多項式 $P(x)$ が存在するから，今もしも $[a,b]$ において

$|f(x)-P(x)|<\varepsilon$

とするならば $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ の近似値として $\textstyle\int_a^b P(x)\,dx$ を取るとき，誤差は $\varepsilon(b-a)$ 以内に止まるであろう．実際は，$\varepsilon$ を与えて $P(x)$ を求めることは困難であるけれども，多項式による近似法を基調として，実用上相当効果的なる計算法が考案されている．今ここでは，Simpson の方法および Gauss の方法を述べる．次の公式(1) は，それの準備である．

［三次式の積分］

$P(x)$ を三次以下の多項式とすれば，

(1)

$\int_a^b P(x)\,dx=\frac{b-a}{6}\left\{P(a)+P(b)+4P\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right\}.$

これは簡単なる計算の問題であるけれども，一応説明をしておこう． 簡約のために，原点を $\frac{a+b}{2}$ に移し，$b-a=2h$ と置いて書き換えれば，(1) は

(2)

$\int_{-h}^h P(x)\,dx=\frac{h}{3}\{P(h)+P(-h)+4P(0)\}$

になるが，$P(x)$ は $1,x,x^2,x^3$ の一次結合だから，これらに関して(2) を験証すればよいが，そのとき，それぞれ

$2h=\frac{h}{3}(1+1+4),\quad 0=\frac{h}{3}(h-h+0),\quad \frac{2}{3}h^3=\frac{h}{3}(h^2+h^2+0),\quad 0=\frac{h}{3}(h^3-h^3+0)$

でちょうど合う．すなわち(1) は確定したのである．

今最も粗雑な近似値として連続函数 $f(x)$ を $x=a,x=b$ および $x=\tfrac{a+b}{2}$ においてそれに一致する二次式 $P(x)$ で置き換えて，積分を計算すれば

(3)

$\int_a^b f(x)\,dx\fallingdotseq \frac{b-a}{6}\left\{f(a)+f(b)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right\}$

を得るが，もしも $f(x)$ が第四階まで連続的微分可能とするならば，剰余項を入れて精密に

(4)

$\int_a^bf(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\left\{f(a)+f(b)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right\} -\frac{(b-a)^5}{2^5\cdot 90}f^{(4)}(\xi)$

$(a<\xi<b)$

を得る．証明は簡単である．前のように

$b-a=2h$

と置いて，変数を変換して

$\varphi(h)=\int_{-h}^hf(x)\,dx-\frac{h}{3}(f(h)+f(-h)+4f(0))$

を $h$ の函数として考察する．然らば簡単な計算によって

$\varphi(0)=\varphi'(0)=\varphi''(0)=0$

$\varphi''(h)=-\frac{h}{3}(f'''(h)-f'''(-h))=-\frac{2h^2}{3}f^{(4)}(\xi), \quad(-h<\xi<h).$

そこで区間 $[0,h]$ において $\varphi(h)$ に Taylor の公式を適用すれば（118 頁）

$\varphi(h)=\frac{1}{2}\int_0^h\frac{\varphi'''(x)}{x^2}x^2(h-x)^2dx.$

平均値の定理によって

$\begin{align} \varphi(&h)=\frac{\varphi'''(\eta)}{2\eta^2}\int_0^hx^2(h-x)^2\,dx &&(0<\eta<h) \\ &= -\frac{f^{(4)}(\xi')}{3}\left[ \frac{x^5}{5}-\frac{2hx^4}{4}+\frac{h^2x^3}{3} \right]_0^h && (-\eta<\xi'<\eta) \\ &= -\frac{f^{(4)}(\xi')}{3}h^5\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) \\ &= -\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi'). \end{align}$

$b-a=2h$ だから．これは即ち上記(4) である.

Simpson の方法は(3) の応用である．今区間 $[a,b]$ を $2n$ 等分して，各分点に対応する $f(x)$ の値を $y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{2n}$ とし，$h=\tfrac{b-a}{2n}$ と置いて，$y_{2i-1}$ に隣る二つの区間に関する積分 $\textstyle\int f(x)\,dx$ の近似値として，(3) のように

$\frac{h}{3}(y_{2i-2}+y_{2i}+4y_{2i-1})$

を取って $i=1,2,\ldots,n$ の上にわたって総計すれば

(5)

$\int_a^b f(x)\,dx\fallingdotseq \frac{h}{3}\{y_0+y_{2n}+2(y_2+y_4+\cdots+y_{2n-2})+4(y_1+y_3+\cdots+y_{2n-1})\}.$

これが Simpson の公式である．

もしも (4) によって剰余項をも取るならば，総計して

$R=-\frac{h^5}{90}\sum_{i=1}^n f^{(4)}(\xi_i).$

平均値 $\textstyle \frac{1}{n}\sum f^{(4)}(\xi_i)=f^{(4)}(\xi),\,(a<\xi<b)$ を用いて，

$R=-\frac{nh^5}{90}f^{(4)}(\xi),$

または $nh=\tfrac{b-a}{2}$ を用いて

(6)

$R=-\frac{(b-a)f^{(4)}(\xi)}{180}h^4.$

$n$ を大きく，従って $h$ を小さく取るとき，これは Simpson の公式の誤差の限界を与える．

一例として $\textstyle\frac{\pi}{4}=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}$ から $\pi$ の近似値を計算してみよう．$n=5$ とすれば，$h=0.1$．

$\frac{\pi}{4}=\frac{0.1}{3}\left\{ 1+\frac{1}{2}+2\left( \frac{1}{1.04}+\frac{1}{1.16}+\frac{1}{1.36}+\frac{1}{1.64} \right)+4\left( \frac{1}{1.01}+\frac{1}{1.09}+\frac{1}{1.25}+\frac{1}{1.49}+\frac{1}{1.81} \right) \right\}.$

逆数表によって小数七位まで計算すれば，次の結果を得る．

$\pi\fallingdotseq3.14159288.$

Gauss の方法では球函数 $P(x)$ を応用する（§36）．まず変数の一次変換によって積分区域を $[-1,1]$ に直し，また $f(x)$ を $2n-1$ 次以下の多項式として，それを $P_n(x)$ で割って $f(x)=P_n(x)Q(x)+\varphi(x)$ とすれば，商 $Q(x)$ も剰余 $\varphi(x)$ も $n-1$ 次以下であるから（§36）

$\int_{-1}^1Q(x)P_n(x)\,dx=0,$

従って

$\int_{-1}^1f(x)\,dx=\int_{-1}^1\varphi(x)\,dx.$

今 $P_n(x)$ の根を $x_\nu(\nu=1,2,\cdots,n)$ とすれば， Lagrange の補開式（244頁）によって（$f(x_\nu)=\varphi(x_\nu)$ に注意して）

$\varphi(x) =\sum_{\nu=1}^n\frac{\varphi(x_\nu)}{P_n'(x_\nu)}\frac{P_n(x)}{x-x_\nu} =\sum_{\nu=1}^n\frac{f(x_\nu)}{P_n'(x_\nu)}\frac{P_n(x)}{x-x_\nu}.$

故に

$\int_{-1}^1f(x)\,dx =\sum_{\nu=1}^n\frac{f(x_\nu)}{P_n'(x_\nu)}\int_{-1}^1\frac{P_n(x)}{x-x_\nu}\,dx.$

よって

$p_\nu=\frac{1}{P_n'(x_\nu)}\int_{-1}^1\frac{P_n(x)}{x-x_\nu}\,dx$

と置けば，

(7)

$\int_{-1}^1f(x)\,dx=\sum_{\nu=1}^np_\nu f(x_\nu).$

ここで $x_\nu$ および $p_\nu$ は $P_n(x)$ のみに関する．その値の表ができている．

例えば

$n=3,\quad x_1,x_3=\mp\frac{\sqrt{15}}{5},\quad p_1=p_3=\frac{5}{9},$

$x_2=0,\quad p_2=\frac{8}{9}.$

故に任意の五次式 $f(x)$ に関して

$\int_{-1}^1f(x)\,dx =\frac{5}{9}\left\{ f\!\left(-\frac{\sqrt{15}}{5}\right)+f\!\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) \right\}+\frac{8}{9}f(0).$

さて任意の連続函数 $F(x)$ があるとき，区間 $[-1,1]$ において $x_\nu$ およびそのほか $n$ 個の点，すなわち合せて $2n$ 個の点において $F(x)$ と等しい値を有する $2n-1$ 次以下の多項式を $f(x)$ として，それを $F(x)$ に代用して，$\textstyle\int_{-1}^1F(x)\,dx$ の近似値として $\textstyle\int_{-1}^1f(x)\,dx$ を取るとすれば，(7) から

$\int_{-1}^1F(x)\,dx\fallingdotseq\sum_{\nu=1}^np_\nu F(x_\nu)$

を得る．$n$ 個の値 $F(x_\nu)$ だけを用いて，この近似値が計算されるところに Gauss の方法の特色がある．