解析概論/第3章/定積分の性質

31．定積分の性質

定積分の性質の中で，この後たえず引用されるものを次に掲げる．

(1º)

$f(x)$ が微分可能な区間内で

$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx.\qquad(a< c< b)$

約言すれば，積分は区間に関して加法性を有する（additive）．

区間 $[a,b]$ の分割 $\Delta$ において $c$ を一つの分点ときめて，極限へ行ってもよいから．

運用の便宜上，一般に

(1)

$\int_b^a f(x)dx=-\int _a^b f(x)dx,\quad\int_a^a f(x)dx =0$

と規約する．然らば上記公式は $a,b,c$ の大小の順序にかかわらず常に成立する．

例えば $a< b< c$ ならば $\textstyle \int_a^c f(x)dx = \int_a^b + \int_b^c$，従って$\textstyle \int_a^c - \int_b^c = \int_a^c + \int_c^b = \int_a^b$．

(2º)

$f(x),g(x)$ が区間 $[a,b]$ において積分可能ならば，$f(x)\pm g(x)$ も同様で

$\int_a^b (f(x)\pm g(x))dx=\int_a^b f(x)dx\pm\int_a^b g(x)dx.$

これは

$\lim \sum (f(\xi_i) \pm g(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) =\lim \sum f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\pm\lim \sum g(\xi_i) (x_i - x_{i-1})$

にほかならない．

(3º)

$C$ が定数ならば，

$\int_a^b Cf(x)dx=C \int_a^b f(x)dx,\qquad \int_a^b C(dx)=C \int_a^b dx=C(b - a).$

(4º)

$[a,b]$ において $f(x),g(x)$ が積分可能で $f(x)\geqq 0$ ならば，$\textstyle\int_a^b f(x)\,dx\geqq 0$，

$f(x) \geqq g(x)$　ならば，　$\int_a^b f(x)\,dx\geqq \int_a^b g(x)dx.$

初めの方は明白であろう．次のは (2º) を用いて

$\int_a^b (f(x) - g(x))dx \geq 0$

から出る．

いっそう精密に，上記の条件に適合する函数 $f(x)$ が，区間 $[a,b]$ の一点 $x_0$ において連続で $f(x_0)$ ならば，$\textstyle\int_a^b f(x)dx > 0$――$-f(x_0)=k$ とすれば，$k=0$ だから，$x_0$ を含む或る小区間 $[c,d],\,a \geq c < d \geqq b,$ において $f(x) >\tfrac{k}{2}$ である．そのとき上記によって $\textstyle\int_a^b \geqq 0,\int_c^a \geqq (d-c)\frac{k}{2} >0, \int_a^b \geqq 0$ だから，(1º) を用いて $\textstyle\int_a^b > 0$ を得る．

故にまた，(4º) において，$\geqq$ をすべて $>$ に置き換えても，(4º) は成立する．

(5º)

$f(x)$ が $[a,b]$ で積分可能ならば，$|f(x)|$ も同様で，

$\left|\int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx.$

$f(x)$が正なるところでも，負なるところでも，0なるところでも

$|f(x)|\geqq f(x),\quad |f(x)|\geqq -f(x),$

従って $\textstyle\int_a^b |f(x)|\,dx \geqq \int_a^b f(x)\,dx$　また　$\textstyle\int_a^b |f(x)|\,dx \geqq -\int_a^b f(x)\,dx$．故に上記の通り．

$|f(x)|$ の積分可能性は $f(x)$ が連続ならば論はないが，一般の場合には

$||f(x)| - |f(x')||\leqq |f(x) - f(x')|$

から出る．すなわち $f(x)$ の振動量を前の通り $v$ で表わし，$|f(x)|$ の振動量を $v'$ で表すならば，各小区間において $v_i' \leqq v_i$．故に $\textstyle\sum v_i\delta_i \to 0$．すなわち $f(x)$ が積分可能ならば $|f(x)|$ も同様である．

逆に $|f(x)|$ が積分可能ならば $f(x)$ も同様とは，連続性を仮定しなくてはいいきれない．手近な一例を挙げるならば： $x$ が有理数ならば $f(x)=+1$．$x$ が無理数ならば $f(x)=-1$ とするとき $\textstyle\int_0^1 |f(x)|\,dx = 1$ だが $\textstyle\int_0^1 f(x)\,dx$ は不可能（このように $|f(x)|$ は連続でも，$f(x)$ は連続とは限らない．）

与えられた函数 $f(x)$ から，次のようにして二つの正なる（負ではない）函数 $f^+(x),f^-(x)$ が作られる．すなわち，$f(x)>0$ なる $x$ に対しては，$f^+(x)=|f(x)|$ で，その他の $x$ に対しては $f^+(x)=0$ とする．また $f(x)<0$ なる $x$ に対しては，$f^-(x)=|f(x)|$ で，その他の $x$ に対しては $f^-(x)=0$ とする．然らば

$f(x) = f^+(x) - f^-(x),\quad |f(x)| = f^+(x) + f^-(x),$

従って

$f^+(x)=\frac{1}{2}(|f(x)|+f(x)),\quad f^-(x)=\frac{1}{2}(|f(x)|-f(x)).$

故に，$[a,b]$ において，$f(x)$ が積分可能，従って $|f(x)|$ が積分可能ならば，(2º) によって $f^+(x)$ も $f^-(x)$ も積分可能である．

(6º)

$f(x),g(x)$ が積分可能なる区間において，積 $f(x)g(x)$ も積分可能である．

不連続点が有限個ならば，これは当然であるが，一般の場合には $|f(x)g(x)-f(x')g(x')|=|(f(x)-f(x'))g(x)+(g(x)-g(x'))f(x')| \leqq (v+v')C$ から出る．ただし $v,v'$ は $[x,x']$ における $f(x),g(x)$ の振動量で $C$ は $|f(x)|$ と $|g(x)|$ の共通の上界である．

同様に，もしも区間内で $|g(x)| >k >0$ ならば，商 $f(x)/g(x)$ も積分可能である．

(7º)

$M,m$ は前節の通りとすれば，(4º) によって $(a< b)$

(2)

$m(b-a)=\int_a^b m\,dx\leqq\int_a^b f(x)\,dx\leqq\int_a^b M\,dx=M(b-a).$

故に積分の値を区間の幅 $b-a$ に関して平均して

$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx = \mu$

と置けば

$m\leqq\mu\leqq M.$

すなわち積分の平均値は$f(x)$の上限と下限の間にある．特に$f(x)$が連続ならば，中間値の定理によって，区間内に $f(\xi) = \mu$ になる $\xi$ があるから

$\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a).\qquad(a<\xi< b)$

$f(x)$ が連続なる場合，もしも $[a,b]$ において $f(x)$ が定数でないならば (4º) の後段により，不等式 (2) は等号なしで成立する．従って $m<\mu<M$ で，$[a,b]$ に属する二つの点において $f(x)$ はそれぞれ $m,M$ になり，その中間の点 $\xi$ において $f(\xi)=\mu$ になるから，$\xi$ は $[a,b]$ の内点としてよい，すなわち $a<\xi<b$．$f(x)$ が定数ならば，$\xi$ は $[a,b]$ の任意の点でよいから，$a<\xi<b$ としても，さしつかえない．

$f(x)$ が連続でないならば，上記 $m\leqq\mu\leqq M$ において両所ともに記号（$=$）をはぶくことは許されない．（例えば $f(x)$ が区間内の一点だけで正または負の値を取って，その他は $0$ なるとき．）

上記の定理を平均値の第一定理という．応用上はそれを次のように拡張して使うことが多い．

定理 33．

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ は連続，$\varphi(x)$ は積分可能で，一定の符号を有するならば，$a<\xi<b$ なる或る点 $\xi$ において

$\int_{a}^{b}f(x)\varphi(x)\,dx=f(\xi)\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.$

［証］

$\varphi(x)\geqq 0$ とする．（$\varphi(x) \leqq 0$ なら，$-\varphi$ を $\varphi$ に代用すればよい．）然らば

(3)

$m\varphi(x)\leqq f(x)\varphi(x)\leqq M\varphi(x)$

であるが，$\varphi(x)$が連続なる点 $x_1,x_2$ があって，$x_1$ において (3) の前段，$x_2$ においてその後段の不等式が，等号なしで，それぞれ成立する場合には，(4º) から

$m\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx<\int_{a}^{b}f(x)\varphi(x)\,dx<M\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.$

然らば $\textstyle\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx>0$ だから

$\int_{a}^{b}f(x)\varphi(x)\,dx = \mu\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx$

と置けば，$m<\mu<M$，従って $f(\xi)=\mu$ なる $\xi$ が $a,b$ の中間にあって，上記定理の等式が成り立つ．

もしも，(3) の前段の不等式に関し，上記のような点 $x_1$ がないならば，$\varphi(x)$ が連続な点 $x$ においては $m\varphi(x)=f(x)\varphi(x)$．$\varphi(x)$ が連続なる点は区間内に稠密に分布しているから

(4)

$m\int_a^b\varphi(x)\,dx=\int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx$

である（96/97 頁［注意］参照）．よって $m=f(x)$ なる $\xi$ が区間 $[a,b]$ の内部にある場合には，定理の等式が成り立つ．そのような $\xi$ がない場合には，$\varphi(x)$ が連続な，区間内の点で $\varphi(x)=0$．従って (4) の両辺の積分は $0$ に等しいから，区間内の任意の点を $\xi$ として，定理の等式が成り立つ．

(3) の後段の不等式に関し，上記のような点 $x_2$ がないときも，同様である．

（証終）

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