解析概論/第3章

第 3 章 積分法

28．古代の求積法

特殊の曲線曲面に関する求積法は，古代から知られていた．Archimedes が球の面積及び体積を計算した方法は有名であるが，Archimedes はまた次のような方法を考案して，ひとつの弦で限られた放物線の截片の面積をみごとに計算した．

$AB$ を放物線の弦，$OM$ をその中点を通る径とすれば，放物線と弦とで囲まれる截片の面積 $S$ は三角形 $OAB$ の面積 $T$ の $\tfrac{4}{3}$ に等しい．すなわち

$S=\frac{4}{3}T.$

今現代的に座標法を用いて，径 $OM$ を $x$ 軸，$O$ における接線を $y$ 軸にとれば放物線の方程式は $y^2=cx$ で $OM=a$ とすれば， $AB$ の極は $N=(-a,0)$ である．すなわち $O$ は $NM$ の中点で，弦 $AB$ とその両端における接線とが作る三角形 $NAB$ の面積は $\triangle OAB$ の面積の二倍に等しい．

同様の関係はもちろん弦 $OA,OB$ に関して成り立つから，図上の記号でいえば $O_1M_1=\tfrac{1}{2}N_1M_1=\tfrac{1}{4}OM$．故に $\triangle OO_1'A=\tfrac{1}{4}\triangle OAM$．同様に $\triangle OO_1'B=\tfrac{1}{4}\triangle OBM$．今 $\triangle OO_1A,\triangle OO_1'B$ の面積の和を $T_1$ とすれば

$T_1=\frac{1}{4}T.$

同じように弦 $O_1A,OO_1,OO_1',O_1'B$ を底として同様の三角形を作って，それらの面積の和を $T_2$ とすれば

$T_2=\frac{1}{4}T_1=\frac{1}{4^2}T.$

このような操作を限りなく継続して，$T,T_1,T_2,\ldots$ によって，求めるところの面積 $S$ を搾り出してしまおうというのである．古代の求積法の秘訣であって，いわゆる搾出法（method of exhaustion）である．すなわち

$S=T+\frac{T}{4}+\frac{T}{4^2}+\cdots =T\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots\right) =\frac{4}{3}T.$

ただし，このように放漫に結論を出してしまっては，18世紀式になる．$T,T_1,T_2$ 等をいつまで作って行くとしても，それらは決して面積 $S$ を覆いきらない，という論点に関しては，ギリシア数学は神経質であった．搾っても搾っても搾りきれないではないか，というのである．Archimedes においても，この論点はもちろん重大であった．彼は次のように考えた．今，図の記号でいえば，面積 $T+T_1$ では $S$ の一部分にすぎないが，もしも $\triangle OAB$ の上にさらに $\triangle OAN_1$ と $\triangle OBN_1'$ とを加えるならば，それは $S$ よりも大きい．これらの二つの三角形はそれぞれ $\triangle OAO_1,\triangle OBO_1'$ の二倍だから，その和は $2T_1$ に等しい．すなわち $T+T_1<S<T+2T_1$ ．同様のことが上記操作の各段階において成り立つから，

$T+T_1+\cdots+T_{n-1}+T_n<S<T+T_1+\cdots+T_{n-1}+2T_n,$

$T\left(1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4^n}\right)<S<T\left(1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{4^n}\right),$

$\frac{4}{3}T\left(1-\frac{1}{4^{n+1}}\right)<S<\frac{4}{3}T\left(1-\frac{1}{4^{n+1}}\right)+\frac{T}{4^n},$

(1)

$-\frac{1}{3}\cdot\frac{T}{4^n}<S-\frac{4}{3}T<\frac{2}{3}\cdot\frac{T}{4^n}.$

$n$ は任意だから，$S$ は $\tfrac{4}{3}T$ より他のどんな数でもありえない．

このような精密論法はギリシア数学の一つの特徴であったのだが，17，18世紀における近世数学の創世記には，そこまで行くいとまがなくて，19世紀も半ばを過ぎたあとにいたって，ようやく復興されたものである．上記 Archimedes の考察法は解析概論において方法論上重要であるから，少し詳しく述べておこう．上記 (1) から

(2)

$\left|S-\frac{4}{3}T\right|<\frac{2T}{3}\cdot\frac{1}{4^n}$

を得て，それから $|S-\tfrac{4}{3}T|=0$，従って $S=\tfrac{4}{3}T$ を得るのであるが，ここでは $S$ も $T$ も定数で，任意の自然数なる $n$ だけが変数である．今左辺の定数 $|S-\tfrac{4}{3}T|$ を略して $\varepsilon$ と書き，また右辺における定数 $\tfrac{2}{3}T$ を略して $a$ と書くならば， $\varepsilon\geqq 0,a>0$ だが， $4^n>n$ を用いるならば，(2) から

(3)

$\varepsilon<\frac{a}{n}$

を得る．これから $\varepsilon=0$ がでてくるのであるが，それは次の原則による．

$\varepsilon$ と $a$ が与えられた正数ならば，（$\varepsilon$ がいかに小さく，$a$ がいかに大きくても）$n\varepsilon>a$ になるような自然数 $n$ が必ず存在する．現今それを Archimedes の原則といっている．

この原則を承認するならば，(3) から $\varepsilon=0$ を得る．なぜなら： 今かりに $\varepsilon>0$ とするならば，すべての自然数 $n$ に関して

$\varepsilon<\frac{a}{n},$　従って　$n\varepsilon<a$

でなければならない．これは Archimedes の原則に矛盾する．故に $\varepsilon>0$ なる仮定は不合理である．然るに $\varepsilon\geqq 0$ ．故に $\varepsilon=0$ である．

Archimedes の原則は実数の連続性（§2）の中に含まれている．もしかりに Archimedes の原則が成り立たないとするならば，すべての自然数 $n$ に関して $n\leqq\frac{a}{\varepsilon}$．すなわち，すべての自然数の集合が有界，従ってその集合に上限 $s$ があり（定理 2），従って $s-1<n\leqq s$ なる或る自然数 $n$ があり，従って $s<n+1$． $n+1$ も自然数だから，これは不合理である．故に Archimedes の原則を承認せざるを得ない！

29．微分法以後の求積法

上記の求積法は実に巧妙で，古代にあっては Archimedes をまって初めてできたのであろう．しかしながら，その方法は放物線にのみ適用されうるものである．然るに18世紀には，このような求積問題は，次のような一般的の方法によって何人にも容易に解かれたであろう．

前のとおり，放物線の方程式を

$y^2=cx.$

として，面積 $S$ を $OM=x$ の函数 $S(x)$ として考察する．然らば例の記号を用いて

$\triangle S=$ 面積 $(ABB'A').$

この面積は $AB,A'B'$ の間に挟まれて，それらを底とする二つの平行四辺形の面積なる $AB\cdot\Delta x\cdot\sin\omega$ と $A'B'\cdot\Delta x\cdot\sin\omega$ との中間にある．すなわち $(AM=y)$

$2y\sin\omega\cdot\Delta x<\Delta S< 2(y+\Delta y)\sin\omega\cdot\Delta x,$

$2y\sin\omega\cdot\Delta x<\frac{\Delta S}{\Delta x}<2y\sin\omega+2\sin\omega\cdot\Delta y.$

ここまでは $\Delta x > 0$ としたが，$\Delta x < 0$ でも同様で，ただ不等号の向きが変わるだけである．さて $\Delta x\to 0$ のとき $\Delta y\to 0$．故に

$\frac{dS}{dx}=2y\sin\omega=2\sin\omega\cdot\sqrt{cx}.$

然るに

$\frac{dx^{\frac{3}{2}}}{dx}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.$

故に

$F(x)=\frac{4}{3}\sqrt{c}\cdot \sin \omega \cdot x^\frac{3}{2}$

と置くならば，

$\frac{dF}{dx}=\frac{dS}{dx},$　すなわち　$\frac{d(F-S)}{dx}=0.$

故に $F-S$ は定数であるが（定理22），$x=0$ のとき $F(0)=0,S=0$ だから，この定数は $0$ で，$S=F$．すなわち

$S(x)=\frac{4}{3}\sqrt{c}\cdot \sin \omega x^\frac{3}{2}$

で，それが求める面積である．それは Archimedes の計算と一致する．実際，

$\begin{align} S(x) &=\frac{4}{3}\cdot\sqrt{cx}\cdot x\sin\omega =\frac{4}{3}yx\sin\omega=\frac{4}{3}AM\cdot OM\cdot\sin\omega\\ &=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}AB\cdot OM \cdot \sin \omega =\frac{4}{3}\triangle OAB. \end{align}$

このような方法ならば，放物線に限らないで，次の図に示すような曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸との中間において二つの縦線の間に挟まれる面積 $S$ が上記と同様にして求められる．すなわち $f(x)$ が連続函数ならば，$\Delta x\to 0$ のとき，$\Delta y\to 0$ だから，前のように

$\frac{dS}{dx}=f(x).$

故に今 $F(x)$ を

$F'(x)=f(x)$

なる函数とするならば，

$\frac{d(S-F)}{dx}=0.$

従って

$S(x)-F(x)=C.$ （$C$は定数）

さて $x=a$ のとき $S(a)=0$ だから，$C=-F(a)$．故に

(1)

$S(x)=F(x)-F(a).$

初等函数の範囲から $F(x)$ を取れば，$F'(x)$ も初等函数である．それを $f(x)$ とすれば，曲線 $y=f(x)$ に関する面積 $S$ が (1) によって求められる．そのような $F(x)$ は無数にあるから，無数の求積問題が解けてしまう．

これが微分法の発見がもたらした大脅威であった．

$f(x)$ が与えられたとき，それを導函数とする函数 $F(x)$，すなわち $F'(x)=f(x)$ なる $F(x)$ を $f(x)$の原始函数といい，また後に説明するような意味で，積分記号を用いて，それを

$F(x)=\int f(x)dx$

と書く．次の頁に応用上重要な原始函数を掲げる．

$\begin{array}{cllc|clc}\hline & & & & & &\\[-8pt] \ & & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!f(x)=F'(x)&\ &\ & \qquad\qquad\qquad F(x)&\ \\[5pt]\hline & & & & & &\\[-6pt] &x^\alpha &(\alpha\ne-1)&&&\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\[9pt] &\dfrac{1}{x} &(x\ne 0) &&&\log|x| \\[9pt] &\dfrac{1}{1+x^2} & &&&\mathrm{Arc\,tan}\,x \\[9pt] &\dfrac{1}{1-x^2} &(x\ne\pm1) &&&\dfrac12\,\log\Big|\dfrac{1+x}{1-x}\Big|\\[9pt] &\dfrac{1}{x^2-1} &(x\ne\pm1) &&&\dfrac12\,\log\Big|\dfrac{x-1}{x+1}\Big|\\[9pt] &\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}&(|x|<1)&&&\mathrm{Arc\,sin}\,x\\[9pt] &\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}&(|x|>1)&&&\log|x+\sqrt{x^2-1} \\[9pt] &\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}& &&&\log(x+\sqrt{x^2+1})\\[9pt] &\sqrt{1-x^2} &(|x|\leqq 1)&&&\dfrac12(x\sqrt{1-x^2}+\mathrm{Arc\,sin}\,x)\\[9pt] &\sqrt{x^2-1} &(|x|\geqq 1)&&&\dfrac12(x\sqrt{x^2-1}-\log|x+\sqrt{x^2-1}\,|)\\[9pt] &\sqrt{x^2+1} & &&&\dfrac12(x\sqrt{x^2+1}+\log(x+\sqrt{x^2+1}\,))\\[9pt] &e^x & &&& e^x\\[5pt] &a^x &(a>0,a\ne 1) &&&\dfrac{a^x}{\log a}\\[9pt] &\sin x & &&&-\cos x\\[5pt] &\cos x & &&& \sin x\\[5pt] &\dfrac{1}{\sin^2 x} & &&&-\cot x\\[9pt] &\dfrac{1}{\cos^2 x} & &&& \tan x\\[9pt] &\tan x & &&&-\log|\cos x|\\[5pt] &\cot x & &&& \log|\sin x|\\[5pt]\hline \end{array}$

原始函数が初等函数として得られる場合，それはこれらの公式を反復応用して求めうるのである．しかし，そのような手段では

$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}},\qquad \int\frac{dx}{\sqrt{\cos x}}$

のように一見簡単な函数の原始函数が容易に求められない．然らば連続函数の原始函数は必らず存在するであろうか？

さきには面積を使って，むぞうさに原始函数を出してしまったが，原始函数の存在が問題になるならば，面積の可能性も同様でなければならない．我々は無頓着に面積，体積などといっているが，そもそも面積，体積とは何を意味するか？ このような問題が縁起になって，19世紀以後に，かなり安全なる解析学の建立が成就したのである．

30．定積分

前節に述べた問題を解くことは積分法の任務である．我々は考察の範囲を連続函数以内に止めたいのだけれども，それでは応用上にさしつかえが生ずる．例えば若干の不連続点がある場合を除外することはできない．よって，さしあたり，考察の範囲を少しく拡大して，函数の有界性のみを仮定する．

［問題の説明］

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ は有界とする． この区間を $x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}$ において $n$ 個の細空間に分割する．

$(\Delta)$

$a<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<b.$

この分割法 $\Delta$ において，左から第 $i$ 番の細区間の幅を $\delta_i$ などと略記する．$\delta_i$ など本節で用いる細区間はすべて閉区間とする．

この分割 $\Delta$ における $\delta_i$ の最大値を $\delta$とする．

細区間 $\delta_i$ における $f(x)$ の値の上限，下限を$M_i,m_i$とする．

全区間$[a,b]$における$f(x)$の上限，下限は添字なしに$M,m$で表わす．従って

$M_i\leqq M, \qquad m_i\geqq m.$

さて区間 $[a,b]$ の上記分割 $\Delta$ に関して，次のような和を考察する：

$S_\Delta=\sum_{i=1}^n M_i\delta_i,\qquad s_\Delta=\sum_{i=1}^n m_i\delta_i.$

然らば，$M_i\geqq m_i, \delta _i>0$ から

$s_{\Delta} \geqq S_{\Delta} .$

また

$S_\Delta\leqq M\sum_{i=1}^n\delta_i=M(b-a),\qquad s_\Delta\geqq m\sum_{i=1}^n\delta_i=m(b-a).$

すなわち

$m(b-a) \leqq s_{\Delta} \leqq S_{\Delta} \leqq M(b-a).$

故にすべての分割法 $\Delta$ に関して $s_\Delta$ も $S_\Delta$ も有界であるが，我々が興味を持つのは $S_\Delta$ の下限と $s_\Delta$ の上限とである．

$S_\Delta$ の下限を $S$，また $s_\Delta$ の上限を $s$ と書く．

区間 $[a,b]$ の分割 $\Delta$ における各細区間をさらに細分して分割 $\Delta'$ を作るならば，

(1)

$s_\Delta \leqq s_{\Delta'},\qquad S_{\Delta'} \leqq S_\Delta$

となることは，上記の定義によって明白であろう．実際，$\Delta$ における一つの細区間 $\delta_i$ の内部に，一つの分点を追加して，$\delta_i$ を $\delta_{i1},\delta_{i2}$ に再分すれば，$s_{\Delta}$ における一項 $m_i\delta_i$ が $m_{i1}\delta_{i1}+m_{i2}\delta_{i2}$ で置き換えられるが，$m_{i1}\geqq m_i, m_{i2}\geqq m_2 ,\delta_{i1}+\delta_{i2}=\delta_{i}$ だから

$m_{i1}+\delta_{i1}+m_{i2}\delta_{i2} \geqq m_i \delta_i.$

すなわち $s_\Delta$ は分点追加のために増大（不減少）する．分点をいくつ追加しても同様だから，上記の通り $s_\Delta\leqq s_{\Delta'}$．$S_\Delta$ に関しても同様であるが，ただ $M_{i1}\leqq M_i, M_{i2}\leqq M_i$ だから，不等式の向きが反対になって，$S_{\Delta'} \leqq S_\Delta$．

さて $\Delta,\Delta'$ を任意の二つの分割法として，$\Delta$ に対応する $s_\Delta$ と $\Delta'$ に対応する $S_{\Delta'}$ と比較しよう．$\Delta$ および $\Delta'$ における分点を合併して生ずる分割を $\Delta''$とすれば，(1) によって

$s_\Delta\leqq s_{\Delta''},\quad S_\Delta\leqq S_{\Delta'},$

従って

$s_{\Delta} \leqq s_{\Delta''}\leqq S_{\Delta''} \leqq S_{\Delta'}.$

すなわち任意の分割$\Delta,\Delta'$に関して

$s_{\Delta} \leqq S_{\Delta'}$

だから，左辺の上限 $s$ と右辺の下限 $S$ との間の大小関係は

$s \leqq S.$

ファイル:図

一例として，次の図の曲線 $y=f(x)$ に関していえば，$S_\Delta$ は実線で囲まれた多角形の面積で，$s_\Delta$ は点線より下にある面積である． この図において $f(x)$ のグラフの下の面積 $I$ というようなものが確定であるならば $s_\Delta\leqq I\leqq S_\Delta$ で，区間を細分して各細区間の幅を限りなく小さくするに従って，$S_\Delta$ は上から，$s_\Delta$ は下から，限りなく $I$ に近づくであろう．従って $s=I=S$．しかし我々の立場においては，面積 $I$ の意味はまだ確定していない．$S_\Delta$ または $s_\Delta$ の極限として，面積 $I$ の意味を確定することを試みるのが，我々に課せられた問題である．

［挿記］ 

区間 $[a,b]$ の部分区間 $[a',b']$ に関する和 $\textstyle\sum M_i\delta_i$ の下限を一般に $S(a',b')$ と書くならば（$x \in [a,b]$として）

$S(a,b) = S(a,x) + S(x,b).$

これは明白であろうけれども，念のために，その証明を述べる．実際，区間 $(a,b)$ の分割 $\Delta$ の分点による $(a,x),(x,b)$ の分割を $\Delta',\Delta''$ とすれば，それらに対する和$S_\Delta, S_{\Delta'}, S_{\Delta''}$ に関し

(2)

$S_{\Delta} \geqq S_{\Delta'} + S_{\Delta''}.$

さて，任意に $\varepsilon>0$ を取れば，下限の意味から $S_{\Delta} < S(a,b) + \varepsilon$ になる $\Delta$ がある．そのとき $S_{\Delta'} \geqq S(a,x),S_{\Delta''} \geqq S(x,b)$，だから，(2) から

$S(a,b) + \varepsilon>S(a,x) + S(x,b).$

$\varepsilon$は任意だから

(3)

$S(a,b) \geqq S(a,x) + S(x,b)$

一方 $S_{\Delta'}< S(a,x)+\varepsilon, S_{\Delta''} < S(x,b)+\varepsilon$ なる $\Delta',\Delta''$ を合併した $\Delta$ に対して，$S_\Delta\geqq S(a,b)$．然るに $S_{\Delta} = S_{\Delta'} + S_{\Delta''}$ だから

$S(a,b) < S(a,b) + S(x,b) + 2 \varepsilon.$

$\varepsilon$は任意だから

(4)

$S(a,b) \leqq S(a,x) + S(x,b).$

(3) と (4) から予期の等式を得る．

さて$h>0$とすれば

$S(a,x+h) - S(a,x)=S(x,x+h)$

であるが，$[x,x+h]$ における $f(x)$ の上限，下限を $M_0,m_0$ とすれば

$m_0 h \leqq S(x,x+h) \leqq M_0 h.$

故に $f(x)$ が連続ならば，中間値の定理によって

$S(x,x+h) = hf( x + \theta h),\qquad 0 \leqq \theta \leqq 1.$

すなわち

$\frac{S(a,a+h) - S(a,x)}{h}=f(x +\theta h),$

従って

$\lim_{h \to 0}\frac{S(a,x+h) - S(a,x)}{h}=f(x).$

$h<0$ としても同様である．

そこで，$F(x)=S(a,x)$ とすれば，$F'(x) = f(x)$ で，$F(x)$ は $f(x)$ の原始函数である．すなわち連続函数の原始函数が存在することは，これですでに証明されたのである．

$S$ の代りに $s$ を取っても，同様に $s(a,x)$ は $f(x)$ の原始函数である．従って$S(a,x) - s(a,x) = C$ は定数であるが，$x\to a$ のとき $S(a,x)\to 0, s(a,x)\to 0$ だから $C\to 0$．すなわち $f(x)$ が連続ならば $S=s$．

このように，当初の問題であった連続函数の原始函数の存在は一応解決されたのであるが，原始函数を（上限，下限でなく）$S_{\Delta},s_{\Delta}$の極限として考察することが，実際計算上重要である．

分割 $\Delta$ を細分して $\Delta_1$，それを細分して $\Delta_2$，等々とするならば，それらの分割に対応する$s_\Delta, s_{\Delta_1}, s_{\Delta_2},\ldots$ は上記のように単調増大で，$s$ がその一つの上界だから，極限値が存在する．もしも，その際，細区間の最大幅 $\delta$ が限りなく小さくなるとするとき，その極限値が（それは $s$ を超えないことは明白だが）$s$ に等しいであろうか．同様に $s_{\Delta}, s_{\Delta_1}, s_{\Delta_2}, \ldots$ は単調に減少するが，その極限値は $S$ に等しいであろうか．このような問題が生ずる．区間の分割法は無数にあるが，それにもかかわらず，幸にして次のような簡単な定理が成り立つ．

［Darboux の定理］

分割 $\Delta$ における細区間の最大幅を $\delta$ とすれば

(5)

$\delta\to 0$　のとき　$\lim s_\Delta=s,\quad\lim S_\Delta=S.$

今 $s$ に関して証明をする．$S$ に関しても証明は同様である．

任意に $\varepsilon > 0$ を取る．

然らば上限としての $s$ の定義によって

(6)

$s-\varepsilon< s_D\leqq s$

になるような区間の分割 $D$ がある．そのような一つの分割法 $D$ を固定して，それを証明のテコにする．

分割 $D$ における分点の数を $p$ とする．

さて $\Delta$ を任意の分割法とし，$\Delta$ と $D$ とにおける分点を合併して生ずる分割を $\Delta'$ とする．よって

(7)

$s_{\Delta} \leqq s_{\Delta'},\quad s_D \leqq s_{\Delta'}.$

分割 $\Delta$ において $\delta$ がすでに十分小で，$\Delta$ における各細区間が，$D$ に属する分点を一つよりも多くは含まないと仮定する．（$\delta$ を分割 $D$ における細区間の最小幅よりも小さくとればよい．）

ファイル:図

今分割 $\Delta$ における一つの細区間 $\delta_i$ が $D$ に属する一つの分点をその内部に含むならば，$\delta_i$ は $\Delta'$ においては左右二つの区間に細分される．それらを $\delta'_{i1},\delta'_{i2}$ とすれば，前にも述べたように，$s_{\Delta}$ における一項 $m_i\delta_i$ が $s_{\Delta'}$ においては $m_{i1}\delta'_{i1} + m_{i2}\delta'_{i2}$ で置き換えられるから，その差は

$\begin{align} &m_{i1}\delta'_{i1}+ m_{i2}\delta'_{i2}- m_i (\delta'_{i1} +\delta'_{i2})\\ &\qquad=(m_{i1} - m{i}) \delta'_{i1}+(m_{i2} - m{i}) \delta'_{i2} \leqq(M - m) \delta_i\leqq (M - m) \delta. \end{align}$

$D$ に属する分点を含まない小区間 $\delta_i$ においては，上記の差はもちろん $0$ である．

さて $D$ における分点の数を $p$ としたのであったから

$s_{\Delta'} - s_{\Delta} \leqq p(M - m) \delta.$

$p$ も $M-m$ も定数だから，$\delta$ を十分小さくすれば

(8)

$s_{\Delta'} - s_{\Delta} < \varepsilon.$

これで証明は完成したのである： すなわち (6)，(7)，(8) から

$0 \leqq s - s_D < \varepsilon,\quad 0 \leqq s_{\Delta'} - s_{\Delta} < \varepsilon, \quad 0 \leqq s_{\Delta'} - s_D$

だから

$s-s_{\Delta}=(s-s_D)-(s_{\Delta'}-s_D)+(s_{\Delta'}-s_{\Delta}) \leq(s-s_D)+(s_{\Delta'}-s_{\Delta})< 2\varepsilon.$

すなわち任意の $\varepsilon$ に対応して，$\delta$ を十分小にするとき

$0 \leqq s - s_{\Delta} < 2 \varepsilon$

だから，$\delta\to 0$ のとき，$\lim s_\delta = s$．同様に$0\leqq S_\Delta-S < 2\varepsilon$ を得るから $\lim S_{\Delta} = S$．

［積分可能の条件］

以上で我々は $f(x)$ の有界性のみを仮定したが，我々が興味を持つのは $S=s$ なる場合である．その場合には，分割 $\Delta$ に関して各細区間 $[x_{i-1},x_i]$ において任意の点 $\xi_i$ を取って，和

$\mathit\Sigma_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \delta_i$

を作れば，$s_{\Delta}\leqq \mathit\Sigma_\Delta\leqq S_\Delta$．然るに，任意の $\varepsilon$ に対応して分割 $\Delta$ の細区間の幅の最大値 $\delta$ を十分小さく取れば，上記定理の証明のように，$s-s_\Delta < 2\varepsilon, S_\Delta-S < 2\varepsilon$ だから，$s=S$ なる条件の下で，$s=S=I$ と置けば

$-2\varepsilon < s_\Delta - s \leqq\mathit\Sigma_{\Delta} - I \leqq S_\Delta - S < 2\varepsilon.$

すなわち，$\delta\to 0$ のとき分割 $\Delta$ と $\xi_i$ の選択に無関係に $\mathit\Sigma_\Delta$ の極限が存在して，それが $I$ である：

(9)

$I = \lim_{\delta\to 0} \sum f(\xi_i) \delta_i .$

この極限値 $I$ を区間 $[a,b]$ における $f(x)$ の定積分といい，それを次の記号で表す：

(10)

$I = \int_{a}^{b} f(x) dx.$

記号 $\textstyle\int$ は Leibniz が用いた．和の略記 $S$ の変形であろう．$\textstyle\int$ の下の $f(x)$ と $dx$ とは $f(\xi_i)$ と $\delta_i = x_i - x_{i-1}$ とを代表的に表記するのである．函数 $f(x)$ と区間 $[a,b]$ とが与えられてある以上，$I$ はもちろん定数だから，(10) の右辺に $x$ なる文字があっても，$I$ が $x$ の函数ではない．$\textstyle\int_{a}^{b} f(*)d*$ の $*$ のところへどんな文字を書いても意味は同一で，その値は一定の数 $I$ である．

極限値 (9) が存在するとき，$f(x)$ は区間 $[a,b]$ において積分可能であるという．

上記によれば，$s=S$ は $f(x)$ が積分可能なるための十分条件である．それはまた必要条件でもある．すなわち $s=S$ は積分可能の判定律である．$f(x)$が連続ならば，各細区間において $f(\xi_i) = M_i$ なる $\xi_i$ があり，また $f(\xi_i) = m_i$ なる $\xi_i$ もあるから，それは明白である．

もしも $f(x)$ の有界性だけを仮定するなら，任意に $\varepsilon > 0$ を取るとき $f(\xi_i) > M_i - \varepsilon$ なる $\xi_i$ が区間 $\delta$ にあるからそれに対応する $\mathit\Sigma_\Delta$ に関し

$S_\Delta\geqq\mathit\Sigma_\Delta > S_\Delta -\varepsilon(b-a).$

故にもしも $\lim\mathit\Sigma_\Delta = I$ が存在するならば，

$S\geqq I\geqq S -\varepsilon(b-a).$

$\varepsilon$ は任意だから $I=S$．同様に $I=S$，従って $S=s$．

あるいは分割 $\Delta$ における細区間 $\delta_i$ に関する $f(x)$ の振動量すなわち $M_i - m_i$ を $v_i$ と書くならば，$\textstyle S_\Delta-s_\Delta =\sum v_i \delta_i$ だから，条件 $S=s$ を

(11)

$\lim_{\delta\to 0} \sum v_i \delta_i$

で置き換えてよい．Darboux の定理によって $\delta\to 0$ のとき $\textstyle \lim\sum v_i\delta_i =\lim(S_\Delta-s_\Delta) = S - s$ だから，これは明白である．

実際は任意の $\varepsilon$ に対して $\textstyle \sum v_i \delta_i < \varepsilon$ なる一つの分割法 $\Delta$ があればよい．$\textstyle \lim\sum v_i \delta_i$ の存在はすでに証明されているから，そのとき $\textstyle\lim\sum v_i \delta_i = 0$ が得られる．

上記によって，或る区間 $[a,b]$ において $f(x)$ が積分可能ならば，それに含まれる区間 $[c,d]$ においても，$f(x)$ は積分可能であることは見やすい．実際，区間 $[a,b]$ に関する $\textstyle\sum v_i \delta_i$ から，それを越えない $\textstyle\sum v_i \delta_i$ が区間 $[c,d]$ に関して得られるから．

我々の目標とする連続函数に関しては $s=S$ であったから次の定理はすでに証明ずみである．

定理 31．

閉区間において，連続函数は積分可能である．

なお一般に $f(x)$ が $[a,b]$ において有限個数の不連続点を持つときにも，$f(x)$ が有界ならば，積分可能である．なぜなら： 今，不連続点の数を $p$ とすれば，分割 $\Delta$ においてそれらの不連続点を含む細区間からの$\textstyle\sum v_i \delta_i$ への寄与は，$2p(M-m)\delta$ よりも小だから，$\delta$ と共にどれほどでも小さくなる．その他の細区間からの $\textstyle\sum v_i \delta_i$ への寄与はもちろん全体において $\delta$ と共にどれほどでも小さくなるから，$\delta\to 0$ のとき $\textstyle\sum v_i\delta_i\to 0$．また不連続点が無数にあっても，それらを任意に小なる総幅を有する有限個の細区間の中へ入れてしまうことができるならば，同様である．

定理 32．

$f(x)$ が区間 $[a,b]$ において単調（従って有界）ならば，積分可能である．

［証］

単調増大の場合についていえば $M_i = f(x_i), m_i = f(x_{i-1})$．故に

$S_{\Delta}=f(x_1)(x_1-a)+f(x_2)(x_2-x_1)+\cdot+f(b)(b-x_{n-1}),$

$s_{\Delta}=f(x_1)(x_1-a)+f(x_2)(x_2-x_1)+\cdot+f(x_{n-1})(b-x_{n-1}).$

従って

$S_\Delta-s_\Delta=\sum(f(x_i)-f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1})<(f(b)-f(a))\delta.$

故に $\delta\to 0$ のとき $S_\Delta - s_\Delta \to 0, S=s.$

§8，［例 7］の函数は $[0,1]$ において有界で単調に増大するが，不連続点 $\frac{p}{2^n}$ は無数にあって，しかも区間内に稠密に分布されている（25 頁）．すなわち任意の小区間内に不連続点が（無数に）ある．それでも積分可能！

［注意 1］ 

もちろん有界だけでは積分可能ではない．その一例として，区間 $[0,1]$ において $f(x)$ を§8，［例 6］の函数とする．すなわち $x$ が有理数ならば $f(x)=0$ で，$x$ が無理数ならば，$f(x)=1$．この場合には，各細区間において $M_i=1$．$m_i=0$．従って $s=0, S=1$．故に $f(x)$ は積分可能でない．

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ の不連続点が稠密に存在したとしても，$f(x)$ は積分可能でありうることを上記の例で示したが，反対に $f(x)$ が $[a,b]$ において積分可能ならば，区間内に連続点は必らず存在する．然らば $[a,b]$ の代りに，その内の任意の小区間を取っても同様だから連続点は区間内に稠密に分布されている．――実際，積分可能の条件から，任意の $\eta > 0$ に対応して $\Sigma_\Delta v_i \delta_i < \eta$ なる分割 $\Delta$ があるが，$\Delta$ において $v_i$ の最小のものを $v$ とすれば $\Sigma_\Delta v_i\delta_i \geqq v(b-a)$．従って $v < \frac{\eta}{b-a}$．故に任意の $\varepsilon > 0$ に対応して$\eta<(b-a)\varepsilon$ とすれば，$[a,b]$ 内の或る小区間 $\delta$ において $v < \varepsilon$．$[a,b]$ の両端を切捨てて区間 $[a_1,b_1]\,(a < a_1 < b_1 < b)$ にこの方法を適用すれば，$\delta$ は全く $[a,b]$ の内部にある．今 $\varepsilon_1 > \varepsilon_2 > \ldots > \varepsilon_n \to 0$ として，同様の操作を繰り返えせば $\delta_1\supset\delta_2\supset\cdots\supset\delta_n\supset\cdots$ なる区間を得て，$\delta_n$ における $f(x)$ の振動量は$v_n < \varepsilon_n$ でかつすべての $\delta_n$ に共通の内点がある．それを $x_0$ とすれば，$x_0$ において $f(x)$ は連続である．なぜなら： $\varepsilon > 0$ に対応して $\varepsilon_n < \varepsilon$ とすれば，$x\in \delta_n$ なるとき $|f(x) - f(x_0)| \leqq v_n < \varepsilon_n < \varepsilon$．

［注意2］ 

区間 $[a,b]$ で $f(x),g(x)$ が積分可能で，$[a,b]$ 内に稠密に分布する集合 $S$ の各点 $x$ において $f(x)=g(x)$ ならば，$\textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} g(x)dx$ である．実際，この仮定の下において，(9) の $\xi_i$ はすべて $S$ に属する点としてよい．特に $f(x)$ が $[a,b]$ で積分可能で，$f$ の連続点において常に $f(x)=0$ ならば $\textstyle\int_{a}^{b} f(x)dx = 0$．

31．定積分の性質

定積分の性質の中で，この後たえず引用されるものを次に掲げる．

(1º)

$f(x)$ が微分可能な区間内で

$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx.\qquad(a< c< b)$

約言すれば，積分は区間に関して加法性を有する（additive）．

区間 $[a,b]$ の分割 $\Delta$ において $c$ を一つの分点ときめて，極限へ行ってもよいから．

運用の便宜上，一般に

(1)

$\int_b^a f(x)dx=-\int _a^b f(x)dx,\quad\int_a^a f(x)dx =0$

と規約する．然らば上記公式は $a,b,c$ の大小の順序にかかわらず常に成立する．

例えば $a< b< c$ ならば $\textstyle \int_a^c f(x)dx = \int_a^b + \int_b^c$，従って$\textstyle \int_a^c - \int_b^c = \int_a^c + \int_c^b = \int_a^b$．

(2º)

$f(x),g(x)$ が区間 $[a,b]$ において積分可能ならば，$f(x)\pm g(x)$ も同様で

$\int_a^b (f(x)\pm g(x))dx=\int_a^b f(x)dx\pm\int_a^b g(x)dx.$

これは

$\lim \sum (f(\xi_i) \pm g(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) =\lim \sum f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})\pm\lim \sum g(\xi_i) (x_i - x_{i-1})$

にほかならない．

(3º)

$C$ が定数ならば，

$\int_a^b Cf(x)dx=C \int_a^b f(x)dx,\qquad \int_a^b C(dx)=C \int_a^b dx=C(b - a).$

(4º)

$[a,b]$ において $f(x),g(x)$ が積分可能で $f(x)\geqq 0$ ならば，$\textstyle\int_a^b f(x)\,dx\geqq 0$，

$f(x) \geqq g(x)$　ならば，　$\int_a^b f(x)\,dx\geqq \int_a^b g(x)dx.$

初めの方は明白であろう．次のは (2º) を用いて

$\int_a^b (f(x) - g(x))dx \geq 0$

から出る．

いっそう精密に，上記の条件に適合する函数 $f(x)$ が，区間 $[a,b]$ の一点 $x_0$ において連続で $f(x_0)$ ならば，$\textstyle\int_a^b f(x)dx > 0$――$-f(x_0)=k$ とすれば，$k=0$ だから，$x_0$ を含む或る小区間 $[c,d],\,a \geq c < d \geqq b,$ において $f(x) >\tfrac{k}{2}$ である．そのとき上記によって $\textstyle\int_a^b \geqq 0,\int_c^a \geqq (d-c)\frac{k}{2} >0, \int_a^b \geqq 0$ だから，(1º) を用いて $\textstyle\int_a^b > 0$ を得る．

故にまた，(4º) において，$\geqq$ をすべて $>$ に置き換えても，(4º) は成立する．

(5º)

$f(x)$ が $[a,b]$ で積分可能ならば，$|f(x)|$ も同様で，

$\left|\int_a^b f(x)\,dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx.$

$f(x)$が正なるところでも，負なるところでも，0なるところでも

$|f(x)|\geqq f(x),\quad |f(x)|\geqq -f(x),$

従って $\textstyle\int_a^b |f(x)|\,dx \geqq \int_a^b f(x)\,dx$　また　$\textstyle\int_a^b |f(x)|\,dx \geqq -\int_a^b f(x)\,dx$．故に上記の通り．

$|f(x)|$ の積分可能性は $f(x)$ が連続ならば論はないが，一般の場合には

$||f(x)| - |f(x')||\leqq |f(x) - f(x')|$

から出る．すなわち $f(x)$ の振動量を前の通り $v$ で表わし，$|f(x)|$ の振動量を $v'$ で表すならば，各小区間において $v_i' \leqq v_i$．故に $\textstyle\sum v_i\delta_i \to 0$．すなわち $f(x)$ が積分可能ならば $|f(x)|$ も同様である．

逆に $|f(x)|$ が積分可能ならば $f(x)$ も同様とは，連続性を仮定しなくてはいいきれない．手近な一例を挙げるならば： $x$ が有理数ならば $f(x)=+1$．$x$ が無理数ならば $f(x)=-1$ とするとき $\textstyle\int_0^1 |f(x)|\,dx = 1$ だが $\textstyle\int_0^1 f(x)\,dx$ は不可能（このように $|f(x)|$ は連続でも，$f(x)$ は連続とは限らない．）

与えられた函数 $f(x)$ から，次のようにして二つの正なる（負ではない）函数 $f^+(x),f^-(x)$ が作られる．すなわち，$f(x)>0$ なる $x$ に対しては，$f^+(x)=|f(x)|$ で，その他の $x$ に対しては $f^+(x)=0$ とする．また $f(x)<0$ なる $x$ に対しては，$f^-(x)=|f(x)|$ で，その他の $x$ に対しては $f^-(x)=0$ とする．然らば

$f(x) = f^+(x) - f^-(x),\quad |f(x)| = f^+(x) + f^-(x),$

従って

$f^+(x)=\frac{1}{2}(|f(x)|+f(x)),\quad f^-(x)=\frac{1}{2}(|f(x)|-f(x)).$

故に，$[a,b]$ において，$f(x)$ が積分可能，従って $|f(x)|$ が積分可能ならば，(2º) によって $f^+(x)$ も $f^-(x)$ も積分可能である．

(6º)

$f(x),g(x)$ が積分可能なる区間において，積 $f(x)g(x)$ も積分可能である．

不連続点が有限個ならば，これは当然であるが，一般の場合には $|f(x)g(x)-f(x')g(x')|=|(f(x)-f(x'))g(x)+(g(x)-g(x'))f(x')| \leqq (v+v')C$ から出る．ただし $v,v'$ は $[x,x']$ における $f(x),g(x)$ の振動量で $C$ は $|f(x)|$ と $|g(x)|$ の共通の上界である．

同様に，もしも区間内で $|g(x)| >k >0$ ならば，商 $f(x)/g(x)$ も積分可能である．

(7º)

$M,m$ は前節の通りとすれば，(4º) によって $(a< b)$

(2)

$m(b-a)=\int_a^b m\,dx\leqq\int_a^b f(x)\,dx\leqq\int_a^b M\,dx=M(b-a).$

故に積分の値を区間の幅 $b-a$ に関して平均して

$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx = \mu$

と置けば

$m\leqq\mu\leqq M.$

すなわち積分の平均値は$f(x)$の上限と下限の間にある．特に$f(x)$が連続ならば，中間値の定理によって，区間内に $f(\xi) = \mu$ になる $\xi$ があるから

$\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a).\qquad(a<\xi< b)$

$f(x)$ が連続なる場合，もしも $[a,b]$ において $f(x)$ が定数でないならば (4º) の後段により，不等式 (2) は等号なしで成立する．従って $m<\mu<M$ で，$[a,b]$ に属する二つの点において $f(x)$ はそれぞれ $m,M$ になり，その中間の点 $\xi$ において $f(\xi)=\mu$ になるから，$\xi$ は $[a,b]$ の内点としてよい，すなわち $a<\xi<b$．$f(x)$ が定数ならば，$\xi$ は $[a,b]$ の任意の点でよいから，$a<\xi<b$ としても，さしつかえない．

$f(x)$ が連続でないならば，上記 $m\leqq\mu\leqq M$ において両所ともに記号（$=$）をはぶくことは許されない．（例えば $f(x)$ が区間内の一点だけで正または負の値を取って，その他は $0$ なるとき．）

上記の定理を平均値の第一定理という．応用上はそれを次のように拡張して使うことが多い．

定理 33．

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ は連続，$\varphi(x)$ は積分可能で，一定の符号を有するならば，$a<\xi<b$ なる或る点 $\xi$ において

$\int_{a}^{b}f(x)\varphi(x)\,dx=f(\xi)\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.$

［証］

$\varphi(x)\geqq 0$ とする．（$\varphi(x) \leqq 0$ なら，$-\varphi$ を $\varphi$ に代用すればよい．）然らば

(3)

$m\varphi(x)\leqq f(x)\varphi(x)\leqq M\varphi(x)$

であるが，$\varphi(x)$が連続なる点 $x_1,x_2$ があって，$x_1$ において (3) の前段，$x_2$ においてその後段の不等式が，等号なしで，それぞれ成立する場合には，(4º) から

$m\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx<\int_{a}^{b}f(x)\varphi(x)\,dx<M\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx.$

然らば $\textstyle\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx>0$ だから

$\int_{a}^{b}f(x)\varphi(x)\,dx = \mu\int_{a}^{b}\varphi(x)\,dx$

と置けば，$m<\mu<M$，従って $f(\xi)=\mu$ なる $\xi$ が $a,b$ の中間にあって，上記定理の等式が成り立つ．

もしも，(3) の前段の不等式に関し，上記のような点 $x_1$ がないならば，$\varphi(x)$ が連続な点 $x$ においては $m\varphi(x)=f(x)\varphi(x)$．$\varphi(x)$ が連続なる点は区間内に稠密に分布しているから

(4)

$m\int_a^b\varphi(x)\,dx=\int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx$

である（96/97 頁［注意］参照）．よって $m=f(x)$ なる $\xi$ が区間 $[a,b]$ の内部にある場合には，定理の等式が成り立つ．そのような $\xi$ がない場合には，$\varphi(x)$ が連続な，区間内の点で $\varphi(x)=0$．従って (4) の両辺の積分は $0$ に等しいから，区間内の任意の点を $\xi$ として，定理の等式が成り立つ．

(3) の後段の不等式に関し，上記のような点 $x_2$ がないときも，同様である．

（証終）

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32．積分函数　原始函数

$f(x)$ が積分可能なる区間において，$a$ を一つの定点，$x$ を任意の点として

$F(x)=\int_a^x f(x)\,dx$

と書けば，$F(x)$ はその区間における $x$ の函数である．その意味において $F(x)$ を積分函数という．

ただし，ここで $a$ と $x$ の大小を問わない（前節 (1) 参照）．また $F(a)$ すなわち $\textstyle\int_a^a f(x)$ は $0$ に等しい．

積分函数に対して $f(x)$ を被積分函数といい，また積分記号内に記した $x$ を積分変数という．

故に $F(x)$ における変数 $x$ と記号 $\textstyle\int$ の中に記した $x$ とは意味が違う．積分変数はどのような文字で表わしてもよいことは前に述べた通りで，例えば

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$

と書いても同じことであるが，$\textstyle\int$ の上の限界は必らず $x$ で，それが函数 $F(x)$ における独立変数である．

定理 34．

区間 $[a,b]$ で $f(x)$ が積分可能ならば，その区間内で積分函数

$\int_a^x f(x)\,dx$

は $x$ の連続函数である．

［証］

念のために積分変数を $t$ と書いて，

$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$

とする．然らば証明すべきことは： $h\to 0$ のとき $F(x + h)-F(x)\to 0$．さて

$F(x + h)-F(x)=\int_a^{x+h}f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt=\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$

よって $[a,b]$ における $|f(x)|$ の一つの上界を $M$ とすれば，

$\left|\int_x^{x+h}f(t)\,dt\right|\leq\left|\int_x^{x+h}|f(t)|dt\right|\leq M|h|.$

故に $h\to 0$ のとき $F(x+h)-F(x)\to 0$．

積分の下の限界を変数としても同様である．

（証終）

$f(x)$ が与えられたとき，$F'(x)=f(x)$ なる $F(x)$ を $f(x)$ の原始函数ということは既に述べた．また連続函数 $f(x)$ の積分函数 $\textstyle\int_a^x f(x)\,dx$ が，$f(x)$ の一つの原始函数であることは，既に確定しているが（93 頁，および，95 頁積分可能の条件参照），これは基本的だから，定理として掲出する．

定理 35．

$f(x)$ が積分区間内の一点において連続ならば，その点において積分函数 $F(x)$ は微分可能で

$F'(x)=f(x).$

［証］

まず$h>0$として，前のように

$F(x + h) - F(x)=\int_x^{x + h}f(t)\,dt.$

従って

$m\leq\frac{F(x + h)-F(x)}{h} - f(x)\leq M.$　（§31，(7º)），

$M,m$ は，$[x,x+h]$ における $f(x)$ の値の上限，下限である．従って

$\left|\frac{F(x + h)-F(x)}{h}-f(x)\right|\leq M - m.$

さて $f(x)$ の連続性によって，$\varepsilon > 0$ に対して $\delta$ を十分小さく取って，$h< \delta$ のとき $M-f(x)< \varepsilon, f(x)-m< \varepsilon$，従って $M-m< 2\varepsilon$ ならしめることができる．

$h<0$ としても同様であるから $F'(x)=f(x)$．

［注意 1］ 

$x$ において $f(x)$ が右へ，あるいは左へ，連続ならば $D^+ F(x)=f(x)$ あるいは $D^- F(x)=f(x)$．

［注意 2］ 

同じ条件の下において，積分 $\textstyle\int_x^b f(x)\,dx$ を下の限界に関して積分すれば $-f(x)$ を得る．それは$\textstyle\int_x^a = -\int_a^x$ だから，当然である．

逆に $f(x)$ が連続で，その一つの原始函数 $F(x)$ が知られるときは，それを用いて $f(x)$ の積分が計算される．すなわちその場合，かりに

$F_1(x)=\int_a^x f(x)\,dx$

と書けば，$F'_1(x)=f(x), F'(x)-F'_1(x)=0$．故に $F(x)-F_1(x)=C$ は定数である．すなわち

$\int_a^x f(x) dx=F(x) + C.$

ここで $x = a$とすれば，$0 = F(a) + C$，故に $C = -F(a)$，従って，$x = b$ とすれば

(1)

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).$

これを微分積分法の基本公式という．

積分 $\textstyle\int_a^x f(x)\,dx$ の上の限界を変数とし，下の限界を任意の定数とすれば，その定数をどうきめても，差は $x$ に無関係である．すなわち $f(x)$ が積分可能なる区間に属する任意の定数 $a,a'$ に関して $\textstyle\int_{a'}^x = \int_a^x - \int_a ^{a'}$ で，$\textstyle\int_a^{a'}$ は $x$ に関係しない．このように積分の下の限界なる定数を指定しない場合に，積分を限界なしに $\textstyle\int f(x)\,dx$ と書いて，それを不定積分という．$f(x)$ が連続函数ならば，不定積分は原始函数と同意語である．

基本公式 (1) は，要約すれば連続函数に関する限り，微分と積分とが互に逆な算法であることを意味する．もしも連続性を仮定しないならば，この関係は成立しない．すなわち $F'(x)=f(x)$ でも $f(x)$ は必らずしも連続でなく，従って必らずしも積分可能でないが，また積分可能でも積分函数は $F(x)$ と合致するとはいわれない．$\textstyle\int_a^x f(x)\,dx$ は必らず連続であるけれども，それは必らずしも微分可能でなく，微分可能でも微分商は $f(x)$ と合致するとは限らない．連続函数以外では，微分積分法はむずかしい！

次に公式 (1) の応用に関する注意を述べる．

［例 1］

(2)

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}, \quad\int_a^b \frac{dx}{x^2} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}.$

もしもここで無分別に $a = -1, b = 1$ とするならば，

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = -2$　（不合理）

がでてくる．左辺は正であるべきはずだから，これはまちがいである

ここでは $F(x)=\tfrac{1}{x}, f(x)=-\tfrac{1}{x^2}$ であるが $x=0$ において $F'(x)=f(x)$ は不合理であり，また $x=0$ において $f(x)$ は連続でない．$0$ を含む区間では $\tfrac{1}{x^2}$ は積分可能でない．(2) は $a,b$ が同符号のときに限って成り立つ．

上記はつまらないまちがいの例であるが，初等函数の範囲内では，逆三角函数を不謹慎に使用してまちがいの生ずる場合がある．

［例 2］

(3)

$\frac{d}{dx}\mathrm{arc\,tan}\,\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right) =\frac{2}{4x^2+(x-1)^2}.$

これから

$\int_{-1}^{1} \frac{2dx}{4x^2 + (x - 1)^2} =\mathrm{arc\,tan}\,\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)\bigg|_{-1}^{1} = 0-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$　（不合理）

とすれば，これもまちがいである．この場合，被積分函数は区間 $[-1,1]$ において連続であるから積分可能であるが，積分の値は正でなければならない．まちがいの原因は右辺の計算にある．上記では $\mathrm{arc\,tan}$ を主値の意味に取ったが，それならば $x=0$ において $\mathrm{arc\,tan}\,\tfrac{1}{2}(1-\tfrac{1}{x})$ は不連続だから，$x=0$ において (3) は成り立たない．(3) を得るには $\mathrm{arc\,tan}\,\tfrac{1}{2}(1-\tfrac{1}{x})$ が $x=0$ において連続になるように $\mathrm{arc\,tan}$ の値を取らねばならない．例えば次のグラフで点線で示したようにすればよい（主値は実線で画いた不連続線）．もしも上の方の連続線を取るならば，

$\mathrm{arc\,tan}\,\tfrac{1}{2}(1-\tfrac{1}{x})$ は $x=1$ のとき $\pi$，$x=-1$ のとき $\tfrac{\pi}{4}$ で，

$\int_{-1}^1 \frac{2dx}{4x^2 + (x-1)^2}=\pi - \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4} \pi.$

もしまた下の方の連続線を取るならば，

$\mathrm{arc\,tan}\,\tfrac{1}{2}(1-\tfrac{1}{x})$ は $x=1$ のとき $0$，$x=-1$ のとき $\tfrac{3}{4}\pi$ で

$\int_{-1}^1 \frac{2dx}{4x^2 + (x-1)^2}=0-\frac{3}{4}\pi=\frac{3}{4} \pi$

y=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{x})	y=\arctan\frac{1}{2}(1-\frac{1}{x})
$\scriptstyle y=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{x})$	$\scriptstyle y=\mathrm{arc\,tan}\,\frac{1}{2}(1-\frac{1}{x})$

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33．積分の定義の拡張（広義積分）

これまでは有限区間において，有界なる函数に関して積分を考察したが，被積分函数または積分区間が有界でない場合にまで，積分の定義を拡張する必要がある．今ここでは簡明のために，被積分函数が有限区間内の有限個の点（かりにそれを特異点という）の近傍においてのみ有界でない場合を考察する．

積分の定義の拡張において，我々は積分函数の連続性と区間に関する加法性とを指導原理とする．それは妥当であろう．

まず区間 $[a,b]$ の下の限界 $a$ だけが特異点で，それを除けば $[a+\varepsilon, b]$ において $f(x)$ は有価かつ積分可能とする．もしも

$\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{a + \varepsilon}^{b} f(x)\,dx$

が存在するならば，それを $\int_a^b f(x)\,dx$ の定義とする．すなわち

(1)

$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_{a + \varepsilon}^{b} f(x)\,dx.$

ここで $\varepsilon\to 0$ はもちろん $\varepsilon +0$ の意味である．以下同様．$b$ が特異点ならば同様に

(2)

$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon'\to 0} \int_{a}^{b - \varepsilon'} f(x)\,dx$

$a$ も $b$ も特異点ならば

(3)

$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0,\varepsilon'\to 0} \int_{a + \varepsilon}^{b - \varepsilon'} f(x)\,dx$

とする． もしまた $[a,b]$ 内にただ一つの特異点 $c$ があるときには

$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$

とする．右辺の二つの積分は (1) および (2) の意味である．すなわち

(4)

$\int_a^b f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0} \int_a^{c-\varepsilon} f(x)\,dx+\lim_{\varepsilon'\to 0} \int_{c+\varepsilon'}^b f(x)\,dx$

で，右辺の積分 $\textstyle\int_a^{c-\varepsilon}$ および $\textstyle\int_{c+\varepsilon'}$ は可能で，かつそれらの $\lim$ が存在するときに，上記の式によって $\textstyle\int_a^b$ を定義するのである． 区間内に二個以上の特異点 $c_1< c_2<\cdots< c_k$ がある時も同様に

(5)

$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^{c_1} + \int_{c_1}^{c_2} + \cdots + \int_{c_k}^{b}$

とする．右辺の積分はもちろん (1)，(2)，(3) の意味である． このような意味で $a< b$ なる任意の $b$ に関して $[a,b]$ における積分が可能であるとき，もしも $\textstyle\lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x)\,dx$ が確定ならば，それを $\textstyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ の定義とする．すなわち

(6)

$\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x)\,dx,$

同様に

(7)

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx=\lim_{a\to -\infty} \int_a^b f(x)\,dx.$

また

(8)

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx =\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx.$

上記の意味で，有限または無限区間において $f(x)$ の広義積分が可能ならば，その区間に含まれる区間 $[\alpha,\beta]$ においても $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は可能である．広義積分に関しても§31，(1) の規約を適用する．然らば $\alpha,\beta,\gamma$ を区間内の点とすれば

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)\,dx =\int_{\alpha}^{\gamma} f(x)\,dx+\int_{\gamma}^{\beta} f(x)\,dx$

は定義によって明白である．これは $\alpha,\beta$ が $\pm\infty$ でも成り立つ． また積分の限界 $x$ を変数とすれば，積分函数

$F(x) = \int_a^x f(x)\,dx$

は $[a,b]$ において連続である．$x$ が特異点でないならば，それはの通りであるが，$x=c$ が特異点ならば，$\varepsilon > 0$ として，区間 $[c,d],d > c+\varepsilon$，には $c$ 以外の特異点がないとすれば

$\int_a^c f(x)\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0} \int_a^{c - \varepsilon} f(x)\,dx,\quad \int_a^{c+\varepsilon} = \int_a^c + \int_c^{c+\varepsilon} =\int_a^c + \left( \int_c^d - \int_{c + \varepsilon}^d \right)$

だから，$\varepsilon\to 0$ のとき

$F(c - \varepsilon)\to F(c),\quad F(c + \varepsilon)\to F(c).$

実際，これらの性質を目標として広義積分が定義されたのであった．

［例 1］

$0 < x < 1$ なるとき

$\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \mathrm{Arc\,sin}\,x,$

$\mathrm{Arc\,sin}$ は主値である．さて $x\to 1$ のとき $\mathrm{Arc\,sin}\,x\to\tfrac{\pi}{2}$．

故に

$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}=\frac{\pi}{2}.$

同様に

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} =\lim_{\varepsilon\to 0, \varepsilon'\to 0} \int_{-1 + \varepsilon}^{1 - \varepsilon'}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} =\pi.$

［例 2］

$x > 0$ のとき

$\int_0^x \frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{Arc\,tan}\,x.$

故に

$\int_0^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} =\lim_{x\to\infty} \mathrm{Arc\,tan}\,x =\frac{\pi}{2}.$

同様に

$\int_{-\infty}^0 \frac{dx}{1 + x^2}=\frac{\pi}{2},\quad \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2}=\pi.$

［注意］ 

上記 (4) のように，広義の積分が $\lim$ の和として定義されるとき，それらの $\lim$ はもちろん各別に存在することを要する．すなわち (4) の右辺において変数 $\varepsilon,\varepsilon'$ は互に独立である．例えば $[-1,+1]$ 内で，$x=0$ において $\tfrac{1}{x}$ は不連続で

$\int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx}{x}=\log \varepsilon,\quad \int_{\varepsilon'}^1 \frac{dx}{x}=-\log \varepsilon'.$

ここで $\varepsilon = \varepsilon'$ とすれば

$\int_{-1}^{-\varepsilon} \frac{dx}{x}+\int_{\varepsilon'}^1 \frac{dx}{x}=0$

になるけれども

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x}$

は $0$ を意味しない．それは $\textstyle \lim_{\varepsilon\to 0}\log\varepsilon-\lim_{\varepsilon'\to 0} \varepsilon' =\lim_{\varepsilon\to 0,\varepsilon'\to 0} \log \frac{\varepsilon}{\varepsilon'}$ であるべきだが，この極限は存在しない．故に $\textstyle\int_{-1}^1 \frac{dx}{x}$ は無意味である．それは収束しない（発散する）．

上記 (4) において $\textstyle\int_a^b$ は収束しなくても，もしも右辺の独立変数 $\varepsilon, \varepsilon'$ の間に特別の関係をつけるならば，上の例のように極限値が存在することもある．特に $\varepsilon = \varepsilon'$ とするときの極限値を Cauchy は $\textstyle\int_a^b$ の主値（valeur principale）と名づけた．Cauchy は虚数積分の考察（解析函数論の前身）において，そのような極限値に遭遇したのであった．現今でも，文献において，積分の主値なる語が上記の意味で，おりおり，用いられる．

広義積分の収束に関して Cauchy の判定法が，もちろん，適用される．例えば

$F(x)=\int_a^x f(x)\,dx$

と書くとき，

$\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{x\to\infty} F(x)$

が存在するための条件は，任意の $\varepsilon > 0$ に大して十分大なる $p,q \quad(p < q)$ を取れば

$|F(q) - F(p)|<\varepsilon,$

すなわち

$\left| \int_p^q f(x)\,dx \right|<\varepsilon.$

同様に $x = a$ が特異点であるとき広義積分 $\int_a^b$ が収束するための条件は，$a$ に十分近く $p,q$ を取るとき $(a < p < q)$

$\left| \int_p^q f(x)\,dx \right|<\varepsilon.$

広義積分では $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ が収束しても $\textstyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ は必らずしも収束しないが，もしも $\textstyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ も収束すれば，

$\left| \int_a^b f(x)\,dx \right|\leq\int_a^b |f(x)|dx.$

この場合に $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は絶対収束をするという．

区間積分が有界でない場合も同様である．

［例］

$\textstyle\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx$ は収束する．

$\int_p^q \frac{\sin x}{x}dx =\frac{-\cos x}{x} \bigg|_p^q-\int_p^q \frac{\cos x}{x^2}dx.$

故に

$\left| \int_p^q \frac{\sin x}{x} dx \right| \leq\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\int_p^q \frac{dx}{x^2} =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{p}-\frac{1}{q} =\frac{2}{p} \to 0.$

しかし $\textstyle\int_0^{\infty} \frac{|\sin x|}{x} dx$ は収束しない．実際

$\int_{n \pi}^{(n + 1) \pi} \frac{|\sin x|}{x} dx =\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{n \pi + x}dx >\frac{1}{(n + 1) \pi} \int_0^{\pi} \sin x dx =\frac{2}{(n + 1) \pi} >\frac{2}{\pi} \int_{n + 1}^{n + 2} \frac{dx}{x}$

故に

$\int_0^{n \pi} \frac{\sin x}{x} dx >\frac{2}{\pi} \int_1^{n + 1} \frac{dx}{x} =\frac{2}{\pi} \log (n + 1)\to\infty.$

次の定理はしばしば応用される．

定理 36．

(1º)

区間 $(a,b]$ において $f(x)$ は連続で，$x\to a$ のとき $f(x)$ は限りなく大なる値をも取るが，しかし $0 < \alpha < 1$ なる或る指数 $\alpha$ に関して $(x - a)^{\alpha}|f(x)|$ が有界ならば $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は収束する（絶対収束）．

(2º)

区間 $[a,\infty)$ において $f(x)$ は連続で，しかも $\alpha > 1$ なる或る指数に関して $x^{\alpha}|f(x)|$ が有界ならば $\textstyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ は収束する（同上）．

［注意］ 

応用上しばしば遭遇するのは

$\lim_{x\to a} (x - a)^{\alpha} f(x) = l$ あるいは $\lim_{x\to\infty} x^{\alpha} f(x) = l$

なる極限値（有限）が存在する場合である．そのとき $(x - a)^{\alpha} |f(x)$ あるいは $x^{\alpha} |f(x)|$ は有界だから，定理はあてはまる．

［証］

(1º)

仮定によって $a$ の近傍で $(x > a)$

$(x - a)^{\alpha} |f(x)| < M$

なる定数 $M$ があるが，問題の積分の収束性は $a$ の近傍だけに関するのだから，すでに $(a,b]$ において上の方程式が成り立つとみて証明をすればよい．然らば

$\int_{a + \varepsilon}^b |f(x)|dx < M \int_{a + \varepsilon}^b \frac{dx}{(x - a)^{\alpha}} = M \frac{(x - a)^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \bigg|_{a + \varepsilon}^b =\frac{M}{1 - \alpha} \{ (b - a)^{1 - \alpha} - \varepsilon^{1 - \alpha} \}.$

仮定によって $1-\alpha > 0$ だから

$\int_{a + \varepsilon}^b |f(x)|dx < \frac{M(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}.$

$\varepsilon$ が減少すれば積分区間が増大し，被積分函数 $|f(x)|\geqq 0$ だから，左辺の積分は単調に増大するが，それが有界だから，$\varepsilon\to 0$ のときに収束する．故に $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は絶対収束をする．

(2º)

假定によって，十分大なる $x$ に関して

$x^{\alpha} |f(x) < M.$

故に

$\int_a^x |f(x)|dx <M \int_a^x \frac{dx}{x^{\alpha}} =\frac{-M}{\alpha - a} \frac{1}{x^{\alpha - 1}} \bigg|_a^x <\frac{M}{\alpha - a} \frac{1}{a^{\alpha - 1}}.$

ここで仮定 $\alpha > 1$ を用いた．さて左辺の積分は $x$ と共に単調に増大するが，それが有界だから収束する．

Cauchy の収束条件よりも簡単に，有界なる単調函数の収束性を用いて証明ができたのである．

［注意］ 

もしも，$a$ に十分近い $x > a$ で，函数 $f(x)$ が一定の符号を有して，かつ，或る指数 $\alpha > 1$ に関して $(x - a)^{\alpha} |f(x)| > m > 0$ なる一定の $m$ があるならば，$\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は収束しない（ $\pm\infty$ に発散する）．$\textstyle\lim_{x\to a} (x - a)^{\alpha} f(x) = l \neq 0$．$a \geqq 1$ なる場合が，その一例である． 前のように仮定が $(a,b]$ において成り立つとして証明すればよい．ついでに $0 < \varepsilon < b - a < 1$ とし，かつ $f(x) \geqq 0$ とすれば

$\int_{a + \varepsilon}^b f(x)\,dx > m \int_{a + \varepsilon} \frac{dx}{(x - a)^{\alpha}} \geqq m \int_{a + \varepsilon} \frac{dx}{x - a} = m \log \frac{b - a}{\varepsilon}\to\infty.$

同じように，十分大なる $x$ に関して $f(x)$ が一定の符号を有して，かつ，或る指数 $\alpha \leqq a$ に関して $x^{\alpha} |f(x)| > m > 0$ ならば，例えば $\textstyle\lim_{x\to\infty} x^{\alpha} f(x) = l \neq 0$ ならば，$\textstyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ は $\pm\infty$ に発散する．

上記の上限値が $l = 0$ なるときには，一般的な断言はできない．

［例 1］

$f(x) = P(x)/Q(x)$ は有理函数で，$P,Q$ は共通因子を有しない多項式とする．然らば，$Q(x)$ の根 $x_0$ を含む（または一端とする）区間において $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は収束しない．

$x_0$ を $Q$ の $k$ 重根 $(k \geqq 1)$ とすれば

$\lim_{x\to x_0} (x - x_0 )^k f(x) = l \neq 0.$

上の注意参照．

もしも $P,Q$ を $m$ 次，$n$ 次とすれば，$m < n -1$ すなわち $m\leqq n-2$ なるときに限って $\textstyle\int_a^{\infty} f(x)\,dx$ は収束する．ただし，$[a,\infty)$ において $Q \neq 0$ とすることはもちろんである．$\textstyle\int_{-\infty}^a f(x)\,dx$ も同様．

［例 2］

$f(x) = P(x)/ \sqrt{R(x)}$，$P,R$ は前のように，共通因子を有しない多項式で，$R$ は複根を有しないとする．この場合 $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ は $R\geqq 0$ なる任意の有限区間 $[a,b]$ において収束する．

定理 36の指数 $\alpha$ がここでは $\tfrac{1}{2}$ である

$P$ が $m$ 次，$R$ が $n$ 次ならば，$m< \tfrac{n}{2} -1$ が無限区間に関する収束条件である．（もちろん $R \geqq 0$ を仮定する．）

［例 3］

$p > 0, q > 0$ とすれば

$\mathit\Beta(p,q)=\int_0^1 x^{p-1} (1 - x)^{q-1} dx$

は絶対収束をする（定理36 (1º)）．故に $\mathit\Beta(p,q)$ は区域 $p > 0,q > 0$ において，$p,q$ の函数である．これを Euler のベータ函数という．

［例 4］

$s > 0$ ならば

$\mathit\Gamma(s)=\int_0^{\infty}e^{-x}x^{s-1}\,dx\quad(s > 0)$

は絶対に収束する．$s < 1$ ならば被積分函数 $f(x) = e^{-x} x^{s-1}$ は $x\to 0$ のとき無限大になるが，$s > 0$ ならば $x^{1-s} f(x) = e^{-x}\to 1$．また $x$ が十分大なるとき $e^{-x} x^{s-1} < \tfrac{1}{x^2}$ （すなわち $x^{s+1} < e^x$）だから，積分の上の限界 $\infty$ に関しても収束する．故に $\Gamma(s)$ は区間 $s > 0$ において定義される $s$ の函数で，それを Euler のガンマ函数という．

本来の意味での積分に関する諸定理は，そのままでは広義積分に適用されないから，一々検討を要する．例えば §31 で述べた積分の性質のうちで (1º)，(2º)，(3º)，(4º) は広義積分にも当てはまるが，(5º) は違う．すなわち収束する広義積分は必らずしも絶対収束をしない（106 頁［例］，参照）．

広義積分には (6º) も適用されない．例えば

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x}},\quad \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

は収束する．（定理 36）．しかし被積分函数の積を取れば $\textstyle\int_{-1}^1 \frac{dx}{x}$ は収束しない．

微分積分法の基本公式（101 頁）は，$f(x)$ の不連続点が有限個なる区間において，次のように広義積分にまで拡張される．

定理 37．

区間 $[a,b]$ において，$f(x)$ の不連続点が有限個であるとき，$[a,b]$ で連続な函数 $F(x)$ があって，有限個の点を除いては，$F(x)$ は微分可能で，しかも $F'(x)=f(x)$ とする．然らば，$[a,b]$ で $f(x)$ の広義積分が可能で

(9)

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

［証］

仮定により区間 $[a,b]$ を有限個の区間に分割し，各区間の内部において $f(x)$ は連続，$F(x)$ は微分可能で $F'(x) = f(x)$ ならしめることができる．それらの区間を

$[x_{i-1},x_1],\quad i=1,2,\ldots,n,$　ただし　$a = x_0,b = x_n,$

とすれば，任意の十分小なる $\varepsilon > 0, \varepsilon' > 0$ に対し

$\int_{x_{i-1} + \varepsilon}^{x_i - \varepsilon'} f(x)\,dx =F(x_i - \varepsilon')-F(x_{i-1} + \varepsilon),\qquad i = 1,2,\ldots,n.$

$F(x)$ は $[a,b]$ において連続だから，$\varepsilon\to 0,\varepsilon'\to 0$ のとき右辺，従って左辺の極限が存在する．すなわち $f(x)$ は $[x_{i-1},x_i]$ において広義積分可能で，

$\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,dx=F(x_i) -F(x_{i-1}),\qquad i=1,2,\ldots ,n.$

これらの等式を加えて (9) を得る．

［例 1］

$[-1,+1]$ において $F(x)=\tfrac{1}{x}, f(x)=\tfrac{-1}{x^2}$ とすれば，$x=0$ だけを除いて $F'(x)=f(x)$．しかし

$\int_{-1}^1 f(x) dx= -\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2}\neq F(1) - F(-1)=2.$

左辺の積分は収束しない．$F(x)$ は連続でないからである．

［例 2］

$[-1,+1]$ において $F(x) = 3 \sqrt[3]{x},f(x) = \tfrac{1}\sqrt[3]{x^2}$ とすれば，$x=0$ を除いて $F'(x) = f(x)$．ここでは

$\int_{-1}^1 f(x)\,dx=\int_{-1}^1\frac{dx}\sqrt[3]{x^2}=F(1)-F(-1)=6.$

［附記］ 

連続函数の積分を和の極限値として基本的考察を試みたのは Cauchy（1823）であろう．連続性を仮定しないで，積分可能の条件を確定したのは Riemann（1854）である．故に本章で述べた意味においての積分を今は Riemann 積分といっている．

広義積分を定義するに際して，我々は，いわゆる特異点が有限区間内に無数に或る場合を放棄した．Riemann の立場において，この場合を取り上げるのは労多く功少いであろうから，それは Lebesgue 積分論に委譲するのが適当であろう． もしも初めから不連続点が無数にある場合を放棄することに決心するならば，積分の理論は簡明である．その立場において，まず考察を連続函数に限定するならばすでに 92 頁［挿記］に述べたように，原始函数の存在が証明されて，同時に $S=s$ が得られる．よってまず $S(a,b)$ をもって積分の定義とするならば，$S$ に関して平均値の定理が成り立つから，区間 $(a,b)$ の任意の分割 $\Delta$ に関して

$S(a,b)=\sum_{i=1}^n S(x_{i-1},x_i)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i^0)(x_i - x_{i-1}),$

ただし $\xi_i^0$ は $[x_{i-1},x_i]$ において適当に選ばれた値である． よって任意の $\xi_i$ に関する和

$\mathit\Sigma_{\Delta}=\sum_{i = 1}^n f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})$

と比較するならば，

$S(a,b) - \mathit\Sigma_{\Delta} =\sum_{i=1}^n (f(\xi_i^0) - f(\xi_i)) (x_i - x_{i-1}).$

従って連続の一様性から

$\lim_{\delta\to 0} \mathit\Sigma_{\Delta}=S(a,b)$

が得られて，和の極限として積分の意味が確定する． さて不連続点がある場合に，積分の意味を拡張するには，本節で広義積分を定義したのと全く同様の方法によるべきである．すなわち，例えば $[a,b]$ の上端 $b$ のみが不連続点ならば

$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to 0} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx$

と置くのであるが，$f(x)$ が有界ならば，この $\lim$ は必らず存在する．それは Cauchy の判定法と平均値の第一定理によって明白である． もしも $f(x)$ が有限個数の不連続点を有して積分可能であり，そうして有限個の点を除いて $F'(x) = f(x)$ で，かつ $F(x)$ が連続ならば，(9) のように，

$\int_a^b f(x)\,dx=F(b) - F(a)$

だから，その意味において微分法と積分法の相互的の逆関係が成立する．

§30 に述べた一般の Riemann 積分法からの，これより以上の収穫は，$f(x)$ が有界ならば，無数の不連続点があっても積分可能でありうるということの認識であるが，Riemann 積分法は積分論を終結させるものではない．20世紀に入って，Lebesgue 積分論が出現してからは，Riemann 積分は中間的の存在になってしまった．ここでは，しばらく伝統に従って，Riemann 積分論を比較的に重く取扱ったのである．

以上積分の理論をのべたが，以下 §§34-38 において積分の計算法を説明する．

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34．積分変数の変換

変数を適当に変換して，積分の計算を単純化しうる場合が，しばしば生ずる．すなわち被積分函数 $f(x)$ において $x=\varphi(t)$ と置いて，$x$ に関する積分を新変数 $t$ に関する積分に変形するのである．今応用上重要な場合として次の仮定をする．

(1º)

積分区間 $a\leqq x\leqq b$ を含む区間 $c\leqq x\leqq d$ において $f(x)$ は連続．

(2º)

$\varphi(t)$ および $\varphi'(t)$ は $[\alpha,\beta]$ で連続で，$t$ が $\alpha$ から$\beta$ まで変動するとき $c\leqq\varphi(t)\leqq d$，かつ $\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$．

然らば

(1)

$\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt.$

すなわち左辺における原変数 $x$ を新変数 $t$ で表わし，また微分 $dx$ を $\varphi'(t)\,dt$ で，また積分の限界 $a,b$ を $\alpha,\beta$ で置き換えて右辺を得るのである．(1) を置換積分法という．

［証］

次に (1) の証明をする．今

$F(x)=\int_a^x f(x)\,dx$

と置けば

$\frac{d}{dt}F(x)=\frac{d}{dx} F(x) \cdot \frac{dx}{dt} =f(x)\cdot\frac{dx}{dt}=f[\varphi(t)]\varphi'(t).$

すなわち変数 $t$ に関して $F[\varphi(t)]$ は $f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ の原始函数であるが，仮定によって $\alpha\leqq t\leqq\beta$ において $f[\varphi(t)]$ は連続，また $\varphi'(t)$も 連続だから

$F[\varphi(\beta)] - F[\varphi(\alpha)] =\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,dt.$

左辺は$F(b) - F(a)$ すなわち $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ に等しいから，(1) を得る．

等式 (1) は$f(x)$ および $\varphi'(t)$ の連続性の代りに積分可能性と $\varphi(t)$ の単調性を仮定しても証明できるけれども，それは応用上の興味に乏しいから，ここでは述べない．

それよりも実際の計算において重要なのは仮定 (2º) である．すなわち $f(x)$ が連続である $x$ の区間と $t$ に関する区間 $[\alpha,\beta]$ における $x$ と $t$ との対応に注意することが大切である．

$f(x)$ が不連続な場合，また特に広義積分にも，適当な注意をもって公式 (1) を適用することができる．

例えば 108 頁，［例 3］において，変換 $x = \sin^2 t$ を行えば

$\int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1}\,dx =2\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^{2p-1} (\cos t)^{2q - 1}\,dt. \qquad(p > 0, q > 0)$

詳しくいえば

$\int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon'} x^{p-1} (1-x)^{p-1}\,dx =2\int_{\eta}^{\frac{\pi}{2}-\eta'} (\sin t)^{2p-1}(\cos t)^{2q-1}\,dt,$

$\varepsilon = \sin^2 \eta,\quad 1 - \varepsilon' = \cos^2 \eta'$

で，$p<\tfrac{1}{2}$ または $q<\tfrac{1}{2}$ ならば，右辺の $\textstyle\int_0^\frac\pi{2}$ は広義積分であるが，$p>0, q>0$ のときそれは収束する．よって $\eta\to 0, \eta'\to 0$ なる極限へ行って前掲の等式が得られる．

同様に 108 頁，［例 4］において，変換 $x=-\log t$ を行えば

$\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx=\int_0^1\left(\log\frac1t\right)\,dt.\quad(s>0)$

ここでは積分区間が左辺の無限区間から右辺の有限区間に変換されている．

また変換$x = \sqrt{t}$によって

$\int_0^x \sin(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\int_0^t \frac{\sin t}\sqrt{t}\,dt.$

$p\to\infty$のとき

$\int_0^{\infty}\sin(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\frac{\sin t}\sqrt t\,dt.$

ここでは左辺または右辺の広義積分が収束するとき，他の一辺も収束して，この等式が成り立つのであるが，収束性を見るのに右辺の方が容易であろう．

次に掲げるのは変数変換法の例として，しばしば引用されるものである．

［例 1］

$\int_0^{\pi}\frac{x\sin x\,dx}{1+\cos^2 x}=\frac{\pi^2}{4}.$

［解］

この積分を$\textstyle \int_0^\pi=\int_0^\frac\pi2+\int_\frac\pi2^\pi$ と分割して，変換 $x =\pi-t$ を最後の積分に行えば

$\begin{align} \int_\frac\pi2^\pi\frac{x\sin x\,dx}{1+\cos^2x} &=-\int_\frac\pi2^0 \frac{(\pi-t)\sin t\,dt}{1+\cos^2t}\\ &=-\int_0^\frac\pi2\frac{t\sin t\,dt}{1+\cos^2 t} +\pi\int_0^\frac\pi2\frac{\sin t\,dt}{1+\cos^2t}. \end{align}$

これを上の等式へ入れて

$\int_0^\pi \frac{x\sin x\,dx}{1+\cos^2x} =\pi\int_0^\frac\pi2 \frac{\sin t\,dt}{1+\cos^2t} =\pi\Big[-\mathrm{Arc\,tan}(\cos t)\Big]_0^\frac\pi2=\frac{\pi}4.$

［例 2］

$\int_0^1 \frac{\log (1 + x)}{1 + x^2}\,dx = \frac{\pi}{8} \log 2.$

［解］

$x =\tan\theta$ と置けば $0\leqq x\leqq 1$ に $0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}4$ が対応する．さて

$\frac{dx}{1 + x^2}=d\theta$

だから

$\begin{align} \int_0^1\frac{\log(1+x)\,dx}{1+x^2} &= \int_0^\frac\pi4\log(1+\tan\theta)\,d\theta\\ &= \int_0^\frac\pi4\log\frac{\sqrt{2}\cos(\frac\pi4-\theta)}{\cos\theta}\,d\theta\\ &= \log\sqrt{2}\int_0^\frac\pi4\,d\theta +\int_0^\frac\pi4\log\cos\left(\frac\pi4-\theta\right)\,d\theta -\int_0^\frac\pi4\log\cos\theta\,d\theta. \end{align}$

第二の積分において $\tfrac{\pi}4 -\theta =\varphi$ とすれば $\textstyle\int_0^\frac\pi4\log\cos\varphi\,d\varphi$ を得て第三の積分と消しあう．よって標記の結果を得る．

［例 3］

$\int_0^\frac\pi2\log\sin\theta\,d\theta=-\frac\pi2\log2.$　（Euler）

ファイル:図

被積分函数は $\theta\to 0$ のとき $-\infty$ になるが，$\textstyle \theta^\alpha\log\sin\theta=\theta^\alpha\log\frac{\sin\theta}\theta\to 0 \quad (\alpha > 0)$ だから，積分は収束する（定理 36）．この積分を $I$ とすれば $\theta$ を $\pi-\theta$ に，また $\tfrac{\pi}{2}-\theta$ に変換して

$I =\int_\frac\pi2^\pi \log\sin\theta\,d\theta,\quad I =\int_0^\frac\pi2 \log\cos\theta\,d\theta.$

故に

$2I = \int_0^\pi \log\sin\theta\,d\theta.$

ここで $\theta = 2\varphi$ とすれば

$\begin{align} I &= \int_0^\frac\pi2\log\sin2\varphi\,d\varphi = \int_0^\frac\pi2 \log(2\sin\varphi\cos\varphi)\,d\varphi\\ &= \int_0^\frac\pi2 \log 2\,d\varphi +\int_0^\frac\pi2 \log\sin\varphi\,d\varphi +\int_0^\frac\pi2 \log\cos\varphi\,d\varphi, \end{align}$

従って

$I = \frac{\pi}{2} \log 2 + 2I.$

よって標記の結果を得る．

35．積の積分（部分積分または因子積分）

この方法はしばしば応用される．区間 $[a,b]$ において $x$ の二つの函数 $u,v$ が微分可能で，$u',v'$ が連続ならば

$\frac{d(uv)}{dx}=uv' + u'v,$

従って

$[uv]_a^b=\int_a^b uv'\,dx+\int_a^b u'v\,dx,$

すなわち

(1)

$\int_a^b uv'\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u'v\,dx.$

または不定積分として簡明に書けば

(2)

$\int u\,dv=uv - \int v\,du.$

上記 (1) を部分積分法という．

［例 1］

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx.$

(2) において $u=\sqrt{1-x^2} ,v=x$ とすれば

$\int\sqrt{1-x^2}\,dx=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{x^2}\sqrt{1-x^2}\,dx.$

今明確のために積分の下の限界を $0$ とする．そのとき $|x|\leqq 1$ ならば $[0,x]$ において最後の積分は収束する．よって

$\begin{align} \int_0^x \sqrt{1-x^2}\,dx &= x\sqrt{1-x^2}\Big|_0^x -\int_0^x\frac{1-x^2}\sqrt{1-x^2}\,dx +\int_0^x\frac{dx}\sqrt{1-x^2}\\ &= x\sqrt{1-x^2}-\int_0^x \sqrt{1-x^2}\,dx+\mathrm{Arc\,sin}\,x. \end{align}$

右辺の積分を左辺に移して，$2$ で割って

$\int_0^x \sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\mathrm{Arc\,sin}\,x).$

同様の方法で$\int \sqrt{x^2 - 1} dx, \int\sqrt{x^2 + 1} dx$が得られる．（90 頁の表参照．）

一般に

$\int f(x)\,dx=xf(x)-\int xf'(x)\,dx.$

それを用いて

$\begin{align} &\int\mathrm{Arc\,tan}\,x\,dx=x\mathrm{Arc\,tan}\,x-\log\sqrt{1+x^2},\\ &\int\mathrm{Arc\,sin}\,x\,dx=x\mathrm{Arc\,sin}\,x+\sqrt{1-x^2},\\ &\int\log x\,dx=x\log x-x. \end{align}$

［例 2］

$\int e^{mx} x^n dx.$

$u = x^n,\quad v = \frac{1}{m} e^{mx},$

$\int e^{ex} x^n\,dx=\frac{1}{m} e^{mx}x^n-\frac{n}{m}\int e^{mx}x^{n-1}\,dx.$

これは，いわゆる簡約公式である．特に $n$ が自然数ならば，この公式を $x$ の指数が $0$ になるまで繰り返して，不定積分ができる．よって $f(x)$ が多項式ならば $\textstyle\int e^{mx}f(x)\,dx$ が求められる．例えば $f(x)$ を $n$ 次の多項式とすれば

$\int e^{-x} f(x)\,dx=-e^{-x}{f(x)+f'(x)+\cdots+f^{(n)}(x)}.$

また変数の変換 $e^x=t$ によって

$\int t^m (\log t)^n\,dt$

の簡約公式を得る．

［注意］ 

上記の積分において，$m$ に $1$ を，$n$ に $1-n$ を代用すれば

$\int\frac{e^x\,dx}{x^n}= \frac{-e^x}{(n-1)x^{n-1}}+\frac{1}{n-1}\int\frac{e^x\,dx}{x^{n-1}}.$

$n$ が自然数ならば，これを繰り返して $\textstyle\int\frac{e^x}{x}\,dx$，または変数を換えて $\textstyle\int\frac{dx}{\log x}$に達する．

$\mathrm{Li}(x)=\int\frac{dx}{\log x}$

は対数積分（logarithmic integral）と称せられる高等函数である．

［例 3］

$I_1=\int e^{px}\cos qx\,dx,\quad I_2=\int e^{px}\sin qx\,dx$

とすれば，

$\begin{align} I_1&=\frac{1}q\int e^{px}\,d(\sin qx)=\frac{1}{q}e^{px}\sin qx-\frac{p}q I_2,\\ I_2&=-\frac{1}q\int e^{px}\,d(\cos qx)=-\frac{1}{q}e^{px}\cos qx+\frac{p}q I_1, \end{align}$

すなわち

$\begin{align} qI_1+pI_2&=e^{px}\sin qx, pI_1-qI_2&=e^{px}\cos qx. \end{align}$

故に

$\begin{align} I_1&=e^{px} \frac{p \cos qx + q \sin qx}{p^2 + q^2},\\ I_2&=e^{px} \frac{p \sin qx - q \cos qx}{p^2 + q^2}. \end{align}$

［注意］ 

上記の不定積分は複素変数を用いて簡単に計算される．すなわち

$\begin{align} I_1 + iI_2&=\int e^{(p+iq)x}\,dx=\frac{e^{(p+iq)x}}{p+iq}\\ &=\frac{(p-iq)e^{(p+iq)x}}{p^2+q^2}. \end{align}$

実部と虚部とに分ければ，上記の結果を得る．（§54）．

例 2，3 の方法によって $\alpha,\beta,\gamma,\ldots$ を任意の定数とするとき

$x,\,e^{\alpha x},\,\cos\beta x,\,\sin\gamma x,\, e^{\alpha_1 x},\,\cos\beta_1 x,\,\sin\gamma_1 x,\,\ldots$

の多項式 $P$ の不定積分

$\int P(x, \cos\beta x, \sin\gamma x,\ldots)\,dx$

ができる．計算の実効は面倒であるが，不定積分ができることの認識が大切である．

［例 4］

$\mathit\Gamma(s+1) = s\mathit\Gamma(s)$，また $n$ を自然数とすれば，$\mathit\Gamma(n)=(n-1)!$．

$\mathit\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}\,dx\qquad(s > 0)$

が収束することは前に述べた（108 頁）．さて

$\frac{d}{dx}(e^{-x}x^s)=-e^{-x} x^s + se^{-x} x^{s-1}$

から

$\Big[e^{-x} x^s\Big]_\varepsilon^l =-\int_{\varepsilon}^l e^{-x}x^s\,dx+s\int_\varepsilon^l e^{-x}x^{s-1}\,dx.$

$\varepsilon \to 0, l \to \infty$のとき左辺は $0$ になるから

$\mathit\Gamma(s+1)=s\mathit\Gamma(s).$

特に$s=n$ が自然数ならば

$\mathit\Gamma(n)=(n-1)\mathit\Gamma(n-1)=(n-1)(n-2)\mathit\Gamma(n-2) =\cdots=(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot\mathit\Gamma(1).$

さて

$\mathit\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}\,dx=-e^{-x}\Big|_0^{\infty}=1$

だから，$\mathit\Gamma(n)=(n-1)!$．

［注意］ 

Gaussの記号 $\mathit\Pi(s)$ は $\mathit\Gamma(s+1)$ を表わす．$\mathit\Pi(n)=n!$．

［例 5］

Wallis の公式．$n$ を自然数として

$S_n=\int_0^\frac\pi2 \sin^nx\,dx$

と置けば

$\begin{align} S_n &=-\sin^{n-1}x\cos x\bigg|_0^\frac\pi2+(n-1)\int_0^\frac\pi2\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx\\ &=(n-1)\int_0^\frac\pi2\sin^{n-2}x\,dx-(n-1)\int_0^\frac\pi2\sin^nx\,dx.\\ \end{align}$

故に

$S_n=\frac{n-1}{n} S_{n-2}.\quad(n \geq 2)$

また

$S_0 = \frac{\pi}{2},\quad S_1 = 1.$

そこで $n$ が偶数と奇数との場合を区別して

(1)

$S_{2n}=\frac{2n-1}{2n}\,\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}\,\frac{\pi}{2},$

(2)

$S_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}\,\frac{2n-2}{2n-1}\cdots\frac{2}{3}$

故に

(3)

$\frac{\pi}{2}\frac{S_{2n+1}}{S_{2n}} =\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\,\frac{4\cdot 4}{3\cdot 5} \cdots\frac{2n\cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)}$

さて $0< x<\tfrac\pi2$ ならば $0<\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1} x$，従って

$0 < S_{2n+1} < S_{2n} < S_{2n-1},$

$1 < \frac{S_{2n}}{S_{2n+1}} < \frac{S_{2n-1}}{S_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n},$

故に

(4)

$\lim_{n\to\infty} \frac{S_{2n+1}}{S_{2n}}=1.$

従って (3) から

(5)

$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{2n\cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)}.$

あるいは

(6)

$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{(2n)^2}\right).$

これが Wallis の公式である．これを次のように変形することができる．(1)，(2) から

$S_{2n} S_{2n+1}=\frac{\pi}{4n+2},$

$S_{2n+1} \sqrt{\frac{S_{2n}}{S_{2n+1}}}.$

故に (4) によって

(7)

$\frac\sqrt{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\,S_{2n+1}.$

さて (2) から

$S_{2n+1}=\frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!},$

故に

(8)

$\sqrt{\pi} = \lim \frac{2^{2n} (n!)^2}{\sqrt{n} (2n)!}.$

二項係数を用いるならば，これは次のようにも書かれる．

$\binom{2n}n \sim \frac{2^{2n}}\sqrt{n\pi}$　または　$(-1)^n\binom{-\frac{1}{2}}n \sim\frac{1}\sqrt{n\pi}.$

$\sim$ は‘漸近する’の略記で，$a_n \sim b_n$ は $\textstyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = 1$ を意味する．

［例 6］

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}.$

これは部分積分の例ではないが，例 5 の応用としてここに掲げる．例 5 の積分 $S_n$ において変数 $x$ を $\cos x$ または $\cot x$ に変換すれば，それぞれ

$S_{2n+1}=\int_0^1(1-x^2)^n\,dx,\quad S_{2n-1}=\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n}$

を得る．さて $x \neq 0$ ならば

$1-x^2<e^{-x^2}<\frac{1}{1+x^2}.$

故に

$I=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{n}\int_0^\infty e^{-nx^2}\,dx$

と置けば

$\sqrt{n}\int_0^1(1-x^2)^n\,dx<I<\sqrt{n}\int_0^\infty\frac{dx}{(1+x^2)^n},$

すなわち

$\sqrt{n}\,S_{2n+1}<I<\sqrt{n}\,S_{2n-2}.$

(4)，(7) によって，$n\to\infty$ のとき両端辺は $\sqrt{\pi}/2$ に収束するから

$I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

よって標記の結果を得る．

［例 7］

$u,v$ の $n$ 階までの導函数が連続ならば，部分積分を反復応用して

(9)

$\begin{align} \int uv^{(n)}\,dx &=uv^{(n-1)}-\int u'v^{(n-1)}\,dx \\ &=uv^{(n-1)}-u'v^{(n-2)}+\int u''v^{(n-2)}\,dx \\ &=\cdots\cdots \\ &=uv^{(n-1)}-u'v^{(n-2)}+u''v^{(n-3)}-+\cdots\\ &\qquad\qquad+(-1)^{n-1}u ^{(n-1)}v+(-1)^n\int u^{(n)}v\,dx \\ \end{align}$

これを応用して Taylor 公式の剰余項を積分として表すことができる．今区間 $[a,b]$ において $f(x)$ の第 $n$ 階までの導函数が連続であるとして，(9) において $v=f(x), u=(b-x)^{n-1}$ とすれば $u^{(n)}=0$ だから

$\begin{align} \int_a^b (b-x)^{n-1}f^{(n)}(x)\,dx =\Big[(b-x)^{n-1}f^{(n-1)}(x)+(n-1)(b-x)^{n-2}f^{(n-2)}(x)+&\\ \cdots+(n-1)!\,(b-x)f'(x)+(n-1)!\,f(x)\Big]_a^b& \end{align}$

を得る．右辺で $x=b$ のとき $0$ になる項を整理して書き直せば

$\begin{align} f(b)=f(a)+\frac{b-a}{1!}f'(a)+\cdots &+\frac{(b-1)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) \\ &+\frac{1}{(n-1)!}\int_a^b f^{(n)}(x)\,dx \end{align}$

これは Taylor の公式であるが，剰余項が

$R_n=\frac{1}{(n-1)!}\int_a^b (b-x)^{n-1}f^{(n)}(x)\,dx$

なる形ででている．

$0\leqq p < n$ として平均値の定理を適用すれば

$\begin{align} R_n &=\frac{(b-\xi)^p f^{(n)}(\xi)}{(n-1)!}\int_a^b (b-x)^{n-p-1}\,dx \\ &=\frac{(b-\xi)^p f^{(n)}(\xi)}{(n-1)!}\frac{(b-a)^{n-p}}{n-p} \end{align}$

を得る．$\xi$ は $a,b$ の中間の或る値である．それを

$\xi=a+\theta(b-a)\qquad (0<\theta<1)$

と書けば

$R_n=\frac{(b-a)^n}{(n-1)!}\frac{(1-\theta)^p f^{(n)})a+\theta(b-a)}{n-p}, \quad (0\leqq p\leqq n-1)$

これを Schlömilch の剰余項という．特に $p=n-1$ とすれば

$R_n=\frac{(b-a)^n}{(n-1)!}(1-\theta)^{n-1}f^{(n)}(a+\theta(b-a)),$

これを Cauchy の剰余項という． また $p=0$とすれば

$R_n=\frac{(b-a)^n}{n!} f^{(n)} (\xi).$

これは62 頁で述べたものである．それを Lagrange の剰余項という．

上記では $f^{(n)}(x)$ が $[a,b]$ で連続であると仮定したが，実際は，Schlömilch の剰余項を持つ Taylor 公式は $f^{(n)}(x)$ の存在だけを仮定して証明される．ここでその証明を述べるほどの興味はあるまい．

---

36．Legendre の球函数

部分積分法の応用として，次の問題を考察する．$n-1$ 次以下のすべての多項式 $Q(x)$ に関して

$\int_a^b Q(x)P_n(x)\,dx=0$

になるような $n$ 次の多項式 $P_n(x)$ を求めること．

かりに，このような多項式が実際存在するとして，それは定数因子だけの違いを無視すれば，ただ一つに限る．――実際 $\varphi(x),\psi(x)$ が問題に適合するとすれば，$\varphi(x)-c\psi(x)$ が $n-1$ 次以下になるように定数因子 $c$ を取って $Q(x)=\varphi(x)-c\psi(x)$ と書けば，仮定によって

$\int_a^b Q(x)\varphi(x)\,dx=0,\quad \int_a^b Q(x)\psi(x)\,dx=0,$

従って

$\int_a^b(\varphi(x)-c\psi(x))Q(x)\,dx=0,$　すなわち　$\int_a^b (Q(x))^2=0.$

$Q(x)$ は連続だから，区間 $[a,b]$ において常に $Q(x)=0$（§31，(4º)）．$Q(x)$ は多項式だから，恒等式 $Q(x)=0$ を得る．すなわち $\varphi(x)=c\psi(x)$ が成り立つ．

さて問題の条件に適する多項式 $P_n(x)$ が実際存在することは，次のようにして証明される．

多項式の原始函数は次数の一つ高い多項式だから，$n$ 次の多項式 $P_n(x)$ は $2n$ 次の或る多項式 $F(x)$ の第 $n$ 階の導函数である．すなわち $F^{(n)}(x)=P_n(x)$ と置いてよい．然らば問題の条件は（118 頁 (9)）

$\int_a^b QF^{(n)}\,dx =\left[QF^{(n-1)}-Q'F^{(n-2)}+\cdots\pm Q^{(n-1)}F\right]_a^b$

で，それは

$\begin{align} &F(a)=F'(a)=\cdots=F^{(n-1)}(a)=0,\\&F(b)=F'(b)=\cdots=F^{(n-1)}(b)=0 \end{align}$

ならば満たされる．然るに $2n$ 次の多項式

$F(x)=(x-a)^n(x-b)^n$

はこの条件に適する．故に $C$ を任意の定数として

$P_n(x)=C\frac{d^n}{dx^n}(x-a)^n(x-b)^n$

が求める多項式である．

区間が $[-1,+1]$ なるとき，

(1)

$P_n(x)=\frac{1}{2^n\cdot n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$

が Legendre の球函数である．$(x^2-1)^n$ を展開して計算を実行すれば

$P_n(x) =\sum_{k=0}^{[\frac n2]}\frac{(-1)^k}{2^k} \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-2k-1)}{k!\,(n-2k)!} x^{n-2k}.$

例えば

$\begin{align} &P_0(x)=1,\quad P_1(x)=x,\quad P_2(x)=\frac12(3x^2-1),\quad P_3(x)\frac12(5x^3-3x),\\ &P_4(x)=\frac18(35x^4-30x^2+3),\quad P_5(x)=\frac18(63x^5-70x^3+15x). \end{align}$

以下 $P_n$ の二，三の性質を述べる．

(1º)

$P_n$ は $n$ が奇数ならば奇函数，$n$ が偶数ならば偶函数である．

［証］

(1) によって明白．

(2º)

(3)

$P_n(1)=1.\quad P_n(-1)=(-1)^n.$

［証］

(1) によって

$\begin{align} P_n(x) &=\frac{1}{2^n\,n!}\,\frac{d^n}{dx^n}(x-1)^n(x+1)^n\\ &=\frac{1}{2^nn!}\left\{\frac{d^n(x-1)^n}{dx^n}(x+1)^n +n\,\frac{d^{n-1}(x-1)^n}{dx^{n-1}}\,\frac{d(x+1)^n}{dx} +\cdots+(x-1)^n\,\frac{d^n(x+1)^n}{dx^n}\right\}. \end{align}$

右辺の最初と最後との二項のほかは $(x-1)(x+1)$ で割れるから，

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}(x+1)^n+\frac{1}{2^n}(x-1)^n+(x-1)(x+1)G(x),$

$G(x)$ は多項式である．ここで $x=1$ または $x=-1$ と置けば (3) を得る．

(3º)

(4)

$\int_{-1}^1 P_n(x)^2\,dx=\frac{2}{2n+1},$

(5)

$\int_{-1}^1 P_m(x)P_n(x)\,dx=0,\quad (m\ne n).$

［証］

$m\ne n$ のときは $P_n(x)$ の定義によって明白．

さて

$P_nP_{n+1}\Big|_{-1}^1=\int_{-1}^1 P_nP_{n+1}'\,dx+\int_{-1}^1 P_n'P_{n+1}\,dx.$

左辺は (2º) によって $2$ に等しい．また右辺の第二の積分は $P_n'$ が $n+1$ 次よりも低いから $0$ に等しい．故に

(6)

$2=\int_{-1}^1 P_nP_{n+1}'\,dx.$

さて (1) から $P_n(x)$ における $x^n$ の係数は $\tfrac{2n(2n-1)\cdots(n+1)}{2^n\cdot n!}$．故に $P_{n+2}'(x)$ における $x^n$ の係数は

$\frac{(2n+2)(2n+1)\cdots(n+2)}{2^{n+1}(n+1)!}\cdot(n+1).$

故に

$P_{n+1}'(x)=(2n+1)P_n(x)+Q(x)$

と置けば，$Q(x)$ は $n-1$ 次以下の多項式である．よって両辺に $P_n(x)$ を掛けてから積分すれば

$\int_{-1}^1 P_nP_{n+1}'\,dx=(2n+1)\int_{-1}^1 P_n^2\,dx.$

故に (6) から

$2=2(n+1)\int_{-1}^1 P_n^2\,dx,$

すなわち (4) を得る．

(4º)

循環公式

(7)

$(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0.\quad(n\geqq 1)$

［証］

$P_n,P_{n+1}$ の最高次の項の係数（上出）を比較すれば

$P_{n+1}-\frac{2n+1}{n+1}xP_n$

は，(1º) によって $n-1$ 次以下の多項式であることがわかる．故に

$(n+1)P_{n+1}-(2n+1)xP_n=\alpha P_{n-1}+Q$

と置いて，係数 $\alpha$ を適当に定めるならば，$Q$ は $n-2$ 次以下の多項式である．そこで $Q$ を両辺に掛けて積分すれば $\textstyle\int_{-1}^1 Q^2\,dx=0$，従って $Q=0$ を得る．係数 $\alpha$ を定めるためには $x=1$ と置けばよい．そのとき，(2º) によって

$n+1-(2n+1)=\alpha$　すなわち　$\alpha=-n.$

すなわち (7) の通り．

$P_n'(x)$ に関して次の公式がある．

(8)

$(1-x^2)P_n'(x)+nxP_n(x)-nP_{n-1}(x)=0.$

その証明は (7) と同様の方法でできる．

(5º)

$P_n(x)$ の根はすべて実数で，$-1$ と $+1$ との間にある．それらは単根で，$P_{n-1}(x)=0$ の根によって隔離される．すなわち $P_n(x)$ の隣り合せの二つの根の間に $P_{n-1}(x)$ の根が一つずつ配置される．

$P_n(x)\,(x\geqq 1)$ が $-1$ と $+1$ との間に $n$ この根を有することは，(1) から Rolle の定理によってわかる．$P_n(x)$ と $P_{n-1}(x)$ との根の配置は (2º) および (7) からわかる．また (8) を使ってもできる．すなわち，(8) によれば，$P_n(x)$ の根 $x_1$ に対しては $P_n'(x_1)$ と $P_{n-1}(x_1)$ とは同符号であるが，$P_n(x)$ の隣接する二つの根を $x_1,x_2$ とすれば，$P_n'(x_1)$ と $P_n'(x_2)$ とは反対の符号を有するから，$P_{n-1}(x_1)$ と $P_{n-1}(x_2)$ とも反対の符号を有する．従って $[x_1,x_2]$ 内に $P_{n-1}(x)$ の根が少くとも一つはあるが，実根の数を考慮すれば，ちょうど一つあることがわかる．

(6º)

微分方程式および母函数．$u=(x^2-1)^n$ と置けば

$(x^2-1)u'=2nxu.$

これを $n+1$ 回微分すれば

$(x^2-1)u^{(n+2)}+2(n+1)xu^{(n+1)}+n(n+1)u^{(n)}=2nxu^{(n+1)}+2n(n+1)u^{(n)},$

すなわち

$(x^2-1)u^{(n+2)}+2xu^{(n)}-n(n+1)u^{(n)}=0.$

$u^{(n)}=CP_n(x)$ だから，$P_n(x)$ は微分方程式

$(x^2-1)y''+2xy'-n(n+1)y=0$

の解である．

［附記］ 

ポテンシャル論において

$\frac{1}\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}$

を $r$ の巾級数に展開する必要が生ずる．今 $x=\cos\theta$ と置けば，この展開の係数として球函数 $P_n(x)$ が生ずる．すなわち

$\frac{1}\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}=\sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta)r^n.$

これが函数 $P_n(x)$ の歴史的の出所である．よって $(1-2rx+r^2)^\frac12$ を $P_n(x)$ の母函数という．上記 (4º) の公式 (7)，(8) はこの展開からも導かれる．（フランス系では $P_n(x)$ を $X_n$ と書く．）

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37．不定積分の計算

通例微積分法で‘不定積分ができる’というのは，$f(x)$ が初等函数であるとき，その原始函数が初等函数の範囲内に存在することをいうのであるが，そのような場合には，変数を適当に変換すれば，たいがい有理函数の積分に帰するのである．その意味において，有理函数の積分は初等解析において重要なる問題であるが，複素数を用いないと，見通しよく了解することができない．それは後（第 5 章）に延ばして，ここでは二，三の例を掲げる．

(I)

$F$ を有理函数として

$\int F(\cos x,\sin x)\,dx$

を考察する．媒介変数として

$t=\tan\frac{x}2$

を取れば，

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2}.$

逆に

$t=\frac{\sin x}{1+\cos x}$

で $x$ が $-\pi$ から $+\pi$ まで変動するときは，$t$ は $-\infty$ から $+\infty$ まで単調に増大する．さて

$x=2\mathrm{Arc\,tan\,}t,\quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$

従って

$\int F(\cos x,\sin x)\,dx =\int F\!\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)\frac{2dt}{1+t^2}.$

定積分の場合には $\cos x,\sin x$ の周期性を利用して，左辺の積分区間を $(-\pi,\pi$ の内に直して，$t$ に関する積分の限界を定めねばならない．

［例 1］

$\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2dt}{1+t^2} =\int\frac{dt}t=\log|t|=\log\left|\tan\frac{x}2\right|, \quad (x\ne n\pi,\,n=0.\pm1,\ldots).$

［注意］ 

$F(\cos x,\sin x)$ が $\pi$ を周期とするときには，$t=\tan x$ としてすでに有利化ができる．その場合には $F(u,v)=F(-u,-v)$ で，それは $u^2,v^2$ および $uv$ の有理函数になり，従って $F(\cos x,\sin x)$ は $\cos2x$ と $\sin2x$ との有理函数として表わされるからである．次に一例を掲げる．

［例 2］

$\int\frac{dx}{a\cos^2x+b\sin^2x} =\int\frac{dt/(1+t^2)}{(a+bt^2)/(1+t^2)} =\int\frac{dt}{a+bt^2},\quad(t=\tan x).$

$a>0,b>0$ ならば $t=\sqrt{\tfrac{a}b}\,\tau$ として

$\int\frac{dt}{a+bt^2}=\frac{1}\sqrt{ab}\int\frac{d\tau}{1+\tau^2} =\frac{1}\sqrt{ab}\,\mathrm{arc\,tan\,}\tau.$

$a>0,b<0$ ならば，$b$ を $-b$ と書き換えて，

$\int\frac{dx}{a\cos^2x-b\sin^2x}=\int\frac{dt}{a-bt^2} =\frac{1}\sqrt{ab}\int\frac{d\tau}{1-\tau^2} =\frac{1}\sqrt{ab}\log\left|\frac{1+\tau}{1-\tau}\right|,$

$\left(a>0,\,b>0;\;t=\tan x,\,\tau=\sqrt\frac{b}a\,t.\right)$

(II)

$F(x,y)$ は有理式として

$\int F(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx$

を考察する．変数の一次変換によって，二次式から一次の項を消去して，$a$ の正負に従って平方根を $\sqrt{x^2\pm p^2}$ または $\sqrt{p^2-x^2}$ の形にすることができる．そこで $x=p\tan\theta,x=p\sec\theta$ または $x=p\sin\theta$ とすれば，積分は (I) の場合に帰する．従って有理化される． しかしながら，三角函数を経由しないで，代数的変換によって直接に有理化することもできる．今上記平方根を $y$ と書けば

(1)

$y^2=ax^2+bx+c.$

さて有理化の理論は幾何学的に考えれば明白である．(1) は二次曲線を表わすから，曲線上の任意の一点 $(x_0,y_0)$ を通る截線

(2)

$y-y_0=t(x-x_0)$

は $(x_0,y_0)$ 以外の一点 $(x,y)$ において曲線 (1) に交わる．従ってその交点 $(x,y)$ と $t$ とは一対一に対応するが，座標 $x,y$ を計算すれば，$x=\varphi(t),y=\psi(t)$ は $t$ の有理式で

$\int F(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx=\int F(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)\,dt.$

すなわち問題の積分は変換 (2) によって有理化される．

(1º)

特に二次式が実根を有するとき．

$y=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\quad(\alpha\ne\beta)$

とすれば，上記の $(x_0,y_0)$ を $(\alpha,0)$ としてよいから，(2) は

$y=t(x-\alpha).$

すなわち変換

$t=\sqrt\frac{a(x-\beta)}{x-\alpha}$

で有理化ができる．

(2º)

二次式が実根を有しないときには，それが正なるためには $a>0$ を要するが，$a>0$ ならば一般に変換

(3)

$y=\pm\sqrt a\,x+t$

すなわち

$t=\mp\sqrt a\,x+\sqrt{ax^2+bx+c}$

で有理化ができる．

この場合，(1) は双曲線で，截線 (3) は (1) の漸近線に平行だから，(3) と (1) とはただ一つの点 $(x,y)$ で交わり，従ってその交点 $(x,y)$ の座標が媒介変数 $t$ の有理式として表わされるのである．

基本的なる不定積分（90 頁）

$\int\frac{dx}\sqrt{x^2\pm1}=\log|x+\sqrt{x^2\pm1}|$

はこの範疇に属する．上記のように

$t=x+\sqrt{x^2-1}$

とすれば

$t^{-1}=x-\sqrt{x^2-1},$

従って

$2x=t+t^{-1},\quad 2\sqrt{x^2-1}=t-t^{-1},\quad 2dx=(1-t^{-2})dt.$

故に

$\begin{align} \int\frac{dx}\sqrt{x^2-1} &=\int\frac{(1-t^{-2})dt}{t-t^{-1}}=\int\frac{dt}t=\log|t|\\ &=\log|x+\sqrt{x^2-1}|. \end{align}$

同様に

$t=x+\sqrt{x^2*1}$

として

$\int\frac{dx}\sqrt{x^2+1}=\log(x+\sqrt{x^2+1})$

を得る．

［注意］ 

$\textstyle\int F(x,\sqrt{ax+b},\sqrt{cx+d})dx$ は変換 $ax+b=t^2$ によって上記の場合に帰する． なお一般に，$F$ は有理式で，

$y=\frac{ax+b}{cx+d},$

$\alpha,\beta,\ldots$ は有理指数なるとき，

$\int F(x,y^\alpha,y^\beta,\ldots)\,dx$

は変換 $t=y^\frac1n$ によって有理化される．ただし，$n$ は $\alpha,\beta,\ldots$ の公分母である．

上記 (I)，(II) の積分の有理化の理論を述べた．実際の計算に当たっては，上記の一般的方法に拘泥する必要はないが，有理化の可能なる理由の認識なしに盲算することはよろしくない．それでは計算の統制ができないであろう．

$F(x,\sqrt{P(x)}\,)$ において $P(x)$ が，平方因子を有しない三次または四次の多項式ならば，その積分は初等函数でない．それはいわゆる楕円積分である．$P(x)$ がなお高次ならば超楕円積分である．互に一次独立な一次式の平方根が三つ以上含まれる場合も同様である．

(III)

二項微分の積分．これは

$\int x^m(ax^n+b)^q\,dx$

の形の積分で，$m,n,q$ が有理数なるとき，すでに Newton が考察したものである．$x^n=t$ として変形すれば，定数因子を外にして

$\int t^p(at+b)^q\,dt,\quad p=\frac{m+1}n-1$

の形を得る．$p,q$ が有理数でかつ $p,q$ または $p+q$ が整数（正，負または $0$）ならば，これは有理函数の積分に帰する．まず $q$ が整数ならば，$p=\tfrac{h}k$ として変換 $t=s^k$ によって

$k\int s^{h+k-1}(as^k+b)^q\,dx$

を得る．ただし $q$ が正の整数ならば，初めから $(at+b)^q$ を展開するがよい．また $p$ が整数ならば $at+b$ を変数とすれば前の場合に帰する．また $p+q$ が整数ならば $1/t$ を変数にすればよい．これらの場合のほか，二項微分の不定積分は初等函数ではできないことが証明されている．元の形でいえば，$m,n,q$ が有理数で，$q$ または $\tfrac{m+1}n$ または $\tfrac{m+1}n+q$ が整数であるときに限って‘不定積分ができる’のである．

［例］

$\sin^\mu x\,\cos^\nu x\,dx$ は変換 $\sin x=\sqrt{t}$ によって二項微分 $\tfrac12 t^\frac{\mu-1}2 (1-t)^\frac{\nu-1}2\,dt$ になる．従って，$\mu,\nu$ が有理数で，$\mu$ または $\nu$ が正または負の奇数，または $\mu+\nu$ が偶数であるときに，有理化ができる． $\textstyle\int\frac{dx}\sqrt{\cos x}$ においては $\mu=0,\nu=\tfrac12$ で有理化ができない（89 頁）．

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38. 定積分の近似計算

連続函数の不定積分の存在は証明されたけれども，それが既知の函数で表わされるのは特別の場合に限るから，一般に不定積分から定積分を計算することはできない．しかし Weierstrass の定理（§78）によれば一つの区間 $[a,b]$ において，連続なる $f(x)$ に一様に近似する多項式 $P(x)$ が存在するから，今もしも $[a,b]$ において

$|f(x)-P(x)|<\varepsilon$

とするならば $\textstyle\int_a^b f(x)\,dx$ の近似値として $\textstyle\int_a^b P(x)\,dx$ を取るとき，誤差は $\varepsilon(b-a)$ 以内に止まるであろう．実際は，$\varepsilon$ を与えて $P(x)$ を求めることは困難であるけれども，多項式による近似法を基調として，実用上相当効果的なる計算法が考案されている．今ここでは，Simpson の方法および Gauss の方法を述べる．次の公式(1) は，それの準備である．

［三次式の積分］

$P(x)$ を三次以下の多項式とすれば，

(1)

$\int_a^b P(x)\,dx=\frac{b-a}{6}\left\{P(a)+P(b)+4P\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right\}.$

これは簡単なる計算の問題であるけれども，一応説明をしておこう． 簡約のために，原点を $\frac{a+b}{2}$ に移し，$b-a=2h$ と置いて書き換えれば，(1) は

(2)

$\int_{-h}^h P(x)\,dx=\frac{h}{3}\{P(h)+P(-h)+4P(0)\}$

になるが，$P(x)$ は $1,x,x^2,x^3$ の一次結合だから，これらに関して(2) を験証すればよいが，そのとき，それぞれ

$2h=\frac{h}{3}(1+1+4),\quad 0=\frac{h}{3}(h-h+0),\quad \frac{2}{3}h^3=\frac{h}{3}(h^2+h^2+0),\quad 0=\frac{h}{3}(h^3-h^3+0)$

でちょうど合う．すなわち(1) は確定したのである．

今最も粗雑な近似値として連続函数 $f(x)$ を $x=a,x=b$ および $x=\tfrac{a+b}{2}$ においてそれに一致する二次式 $P(x)$ で置き換えて，積分を計算すれば

(3)

$\int_a^b f(x)\,dx\fallingdotseq \frac{b-a}{6}\left\{f(a)+f(b)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right\}$

を得るが，もしも $f(x)$ が第四階まで連続的微分可能とするならば，剰余項を入れて精密に

(4)

$\int_a^bf(x)\,dx = \frac{b-a}{6}\left\{f(a)+f(b)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\right\} -\frac{(b-a)^5}{2^5\cdot 90}f^{(4)}(\xi)$

$(a<\xi<b)$

を得る．証明は簡単である．前のように

$b-a=2h$

と置いて，変数を変換して

$\varphi(h)=\int_{-h}^hf(x)\,dx-\frac{h}{3}(f(h)+f(-h)+4f(0))$

を $h$ の函数として考察する．然らば簡単な計算によって

$\varphi(0)=\varphi'(0)=\varphi''(0)=0$

$\varphi''(h)=-\frac{h}{3}(f'''(h)-f'''(-h))=-\frac{2h^2}{3}f^{(4)}(\xi), \quad(-h<\xi<h).$

そこで区間 $[0,h]$ において $\varphi(h)$ に Taylor の公式を適用すれば（118 頁）

$\varphi(h)=\frac{1}{2}\int_0^h\frac{\varphi'''(x)}{x^2}x^2(h-x)^2dx.$

平均値の定理によって

$\begin{align} \varphi(&h)=\frac{\varphi'''(\eta)}{2\eta^2}\int_0^hx^2(h-x)^2\,dx &&(0<\eta<h) \\ &= -\frac{f^{(4)}(\xi')}{3}\left[ \frac{x^5}{5}-\frac{2hx^4}{4}+\frac{h^2x^3}{3} \right]_0^h && (-\eta<\xi'<\eta) \\ &= -\frac{f^{(4)}(\xi')}{3}h^5\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) \\ &= -\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi'). \end{align}$

$b-a=2h$ だから．これは即ち上記(4) である.

Simpson の方法は(3) の応用である．今区間 $[a,b]$ を $2n$ 等分して，各分点に対応する $f(x)$ の値を $y_0,y_1,y_2,\cdots,y_{2n}$ とし，$h=\tfrac{b-a}{2n}$ と置いて，$y_{2i-1}$ に隣る二つの区間に関する積分 $\textstyle\int f(x)\,dx$ の近似値として，(3) のように

$\frac{h}{3}(y_{2i-2}+y_{2i}+4y_{2i-1})$

を取って $i=1,2,\ldots,n$ の上にわたって総計すれば

(5)

$\int_a^b f(x)\,dx\fallingdotseq \frac{h}{3}\{y_0+y_{2n}+2(y_2+y_4+\cdots+y_{2n-2})+4(y_1+y_3+\cdots+y_{2n-1})\}.$

これが Simpson の公式である．

もしも (4) によって剰余項をも取るならば，総計して

$R=-\frac{h^5}{90}\sum_{i=1}^n f^{(4)}(\xi_i).$

平均値 $\textstyle \frac{1}{n}\sum f^{(4)}(\xi_i)=f^{(4)}(\xi),\,(a<\xi<b)$ を用いて，

$R=-\frac{nh^5}{90}f^{(4)}(\xi),$

または $nh=\tfrac{b-a}{2}$ を用いて

(6)

$R=-\frac{(b-a)f^{(4)}(\xi)}{180}h^4.$

$n$ を大きく，従って $h$ を小さく取るとき，これは Simpson の公式の誤差の限界を与える．

一例として $\textstyle\frac{\pi}{4}=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}$ から $\pi$ の近似値を計算してみよう．$n=5$ とすれば，$h=0.1$．

$\frac{\pi}{4}=\frac{0.1}{3}\left\{ 1+\frac{1}{2}+2\left( \frac{1}{1.04}+\frac{1}{1.16}+\frac{1}{1.36}+\frac{1}{1.64} \right)+4\left( \frac{1}{1.01}+\frac{1}{1.09}+\frac{1}{1.25}+\frac{1}{1.49}+\frac{1}{1.81} \right) \right\}.$

逆数表によって小数七位まで計算すれば，次の結果を得る．

$\pi\fallingdotseq3.14159288.$

Gauss の方法では球函数 $P(x)$ を応用する（§36）．まず変数の一次変換によって積分区域を $[-1,1]$ に直し，また $f(x)$ を $2n-1$ 次以下の多項式として，それを $P_n(x)$ で割って $f(x)=P_n(x)Q(x)+\varphi(x)$ とすれば，商 $Q(x)$ も剰余 $\varphi(x)$ も $n-1$ 次以下であるから（§36）

$\int_{-1}^1Q(x)P_n(x)\,dx=0,$

従って

$\int_{-1}^1f(x)\,dx=\int_{-1}^1\varphi(x)\,dx.$

今 $P_n(x)$ の根を $x_\nu(\nu=1,2,\cdots,n)$ とすれば， Lagrange の補開式（244頁）によって（$f(x_\nu)=\varphi(x_\nu)$ に注意して）

$\varphi(x) =\sum_{\nu=1}^n\frac{\varphi(x_\nu)}{P_n'(x_\nu)}\frac{P_n(x)}{x-x_\nu} =\sum_{\nu=1}^n\frac{f(x_\nu)}{P_n'(x_\nu)}\frac{P_n(x)}{x-x_\nu}.$

故に

$\int_{-1}^1f(x)\,dx =\sum_{\nu=1}^n\frac{f(x_\nu)}{P_n'(x_\nu)}\int_{-1}^1\frac{P_n(x)}{x-x_\nu}\,dx.$

よって

$p_\nu=\frac{1}{P_n'(x_\nu)}\int_{-1}^1\frac{P_n(x)}{x-x_\nu}\,dx$

と置けば，

(7)

$\int_{-1}^1f(x)\,dx=\sum_{\nu=1}^np_\nu f(x_\nu).$

ここで $x_\nu$ および $p_\nu$ は $P_n(x)$ のみに関する．その値の表ができている．

例えば

$n=3,\quad x_1,x_3=\mp\frac{\sqrt{15}}{5},\quad p_1=p_3=\frac{5}{9},$

$x_2=0,\quad p_2=\frac{8}{9}.$

故に任意の五次式 $f(x)$ に関して

$\int_{-1}^1f(x)\,dx =\frac{5}{9}\left\{ f\!\left(-\frac{\sqrt{15}}{5}\right)+f\!\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) \right\}+\frac{8}{9}f(0).$

さて任意の連続函数 $F(x)$ があるとき，区間 $[-1,1]$ において $x_\nu$ およびそのほか $n$ 個の点，すなわち合せて $2n$ 個の点において $F(x)$ と等しい値を有する $2n-1$ 次以下の多項式を $f(x)$ として，それを $F(x)$ に代用して，$\textstyle\int_{-1}^1F(x)\,dx$ の近似値として $\textstyle\int_{-1}^1f(x)\,dx$ を取るとすれば，(7) から

$\int_{-1}^1F(x)\,dx\fallingdotseq\sum_{\nu=1}^np_\nu F(x_\nu)$

を得る．$n$ 個の値 $F(x_\nu)$ だけを用いて，この近似値が計算されるところに Gauss の方法の特色がある．

39. 有界変動の函数

曲線の長さについて述べる前に，その準備として，好機会に，標記の函数を紹介する．

区間 $[a,b]$ において函数 $f(x)$ が与えられたとき，この区間を

$(\Delta)\qquad a=x_1<x_2<\cdots<x_n<x_{n+1}=b$

なる点 $x_i$ において小区間に分割して，

(1)

$v_\Delta=\sum_{i=1}^n|f(x_{i+1})-f(x_i)|$

なる和を作る．もしもすべての分割 $\Delta$ に関して $v_\Delta$ が有界ならば，その上限を $V$ として，それを $[a,b]$ における $f(x)$ の総変動量（変動の純量）といい，$f(x)$ を $[a,b]$ において有界変動の函数と名づける．

この場合，$f(x)$ は $[a,b]$ において有界である．実際 $x$ を区間内の任意の点とすれば，$|f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|\leqq V$ から $|f(x)-f(a)|\leqq V$．

和 (1) における $f(x_{i+1})-f(x_i)$ の中で，正なるものと，負なるものとの総和をそれぞれ $p_\Delta,-n_\Delta$ で表すならば，

$v_\Delta=p_\Delta+n_\Delta,\quad f(b)-f(a)=p_\Delta-n_\Delta.$

故に有界変動の場合，$p_\Delta$ も $n_\Delta$ も有界である．それらの上限を $P,N$ とすれば

$V=P+N,\quad f(b)-f(a)=P-N.$

また $[a,b]$ 内の一点 $x$ を取れば，区間 $[a,x]$ において $f(x)$ はもちろん有界変動で，$[a,x]$ に対応する $V,P,N$ は $x$ の函数である．それらを $V(x),P(x),N(x)$ と書けば

(2)

$V(x)=P(x)+N(x),\quad f(x)-f(a)=P(x)-N(x).$

$P(x),N(x),V(x)$ をそれぞれ $[a,b]$ における $f(x)$ の正の変動，負の変動，全変動という．

$P(x),N(x)$ は単調増大（不減少）であるから，(2) から次の定理を得る．

定理 38．

有界変動の函数は二つの有界なる増大函数の差に等しい．

$f(x)=f(a)+P(x)-N(x)$ において，$P(x),N(x)$ は特定の単調函数であるが，一般に，$\varphi(x),\psi(x)$ が有界なる増大函数ならば，その差 $f(x)=\varphi(x)-\psi(x)$ は有界変動で，$f$ に関する全変動は $\varphi,\psi$ に関する全変動の和を越えない： $V(x)\leqq(\varphi(x)-\varphi(a))+(\psi(x)-\psi(a))$．

$\varphi(x),\psi(x)$ の和も積も有界変動である．商 $\varphi(x)/\psi(x)$ は $[a,b]$ において $|\psi(x)|>m>0$ ならば，有界変動である．――和に関しては明白．積に関しては，

$\begin{align} |\varphi(x_1)\psi(x_1)-\varphi(x_2)\psi(x_2)| &= |\psi(x_1)(\varphi(x_1)-\varphi(x_2))+\varphi(x_2)(\psi(x_1)-\psi(x_2))| \\ &\leqq M(|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|+|\psi(x_1)-\psi(x_2)|), \end{align}$

$(|\varphi(x)|<M,|\psi(x)|<M)$ から出る．商に関しても同様である．

従って，有界変動の函数の和，差，積はまた有界変動である．

有界変動の函数 $f(x)$ の全変動 $V(x)$ は区間に関して加法的である．――というのは，区間 $[a,b]$ を $c$ において $[a,c]$ と $[c,b]$ とに分割するとき，区間を明示して全変動を書き表せば，

(3)

$V(a,b)=V(a,c)+V(c,b).$

これは明白である．よって (2) から，$P,N$ に関しても同様に

$P(a,b)=P(a,c)+P(c,b),\quad N(a,b)=N(a,c)+N(c,b).$

故に，もしも区間の左端を $c$ として $P,N$ を作るならば，

(4)

$\left.\begin{align} P(c,x)&=P(a,x)+P(a,c), \\ N(c,x)&=N(a,x)-N(a,c). \end{align}\right\}$

区間 $[a,b]$ において $f(x)$ が連続でかつ有界変動ならば，$P(x),N(x)$，従って $V(x)$ も連続である．――今例えば，かりに区間内の一点 $x_0$ において $P(x)$ が右へ連続でないとしてみる．然らば(4)によって $x_0=a$ としてよいから，$P(a)=0,P(a+0)=\omega>0$．$f(x)$ は連続だから，$N(a+0)=\omega$．よって $x\ne a$ のとき $P_1(x)=P(x)-\omega,N_1(x)=N(x)-\omega,P_1(a)=N_1(a)=0$ と置けば，$f(x)=P_1(x)-N_1(x)+f(a)$．従って $V(x)\leqq P_1(x)+N_1(x)$．一方 $V(x)=P(x)+N(x)=P_1(x)+N_1(x)+2\omega$ だから，これは矛盾である．

　$[a,b]$ において $f(x)$ が区分的に単調ならば，有界変動である．しかし，連続函数は必ずしも有界変動でない．例えば $f(x)=x\,\sin\tfrac{1}{x}$ の区間 $[0,\tfrac{1}{\pi}]$ における全変動は $\textstyle \frac{4}{\pi}(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots)$ より大で，従って有界変動でない．同時にまた有界変動の函数はもちろん必ずしも連続でない．（例えば連続でない単調函数．）

区間 $[a,b]$ において，$f(x)$ が積分可能ならば，積分函数

$F(x)=\int_a^xf(x)\,dx$

は連続であるが（定理 34），それはまた有界変動である．それをみるには，例のように

$f(x)=f^+(x)-f^-(x),\quad f^+(x)=\mathrm{Max}(f(x),0)\geqq 0,\quad f^-(x)=-\mathrm{Min}(f(x),0)\geqq 0$

とすればよい．そのとき

$F(x)=\int_a^x f^+(x)\,dx-\int_a^x f^-(x)\,dx$

で，右辺の二つの積分は単調増加で有界であるから，$f(x)$ は有界変動である．

もしも $f(x)$ が $[a,b]$ において微分可能で，かつ $f'(x)$ が連続ならば（それを標語的に連続的微分可能というが，むしろ滑らか（glatt）というのが印象的であろう），$\textstyle f(x)=\int_a^xf'(x)\,dx+f(a)$ だから，$f(x)$ は有界変動である．

［注意］ 

これまで種々の属性によって函数を限定したが，それらの属性に精粗の段階がある．もっとも粗雑な属性は有界性で，有界なる函数の一部分のみが積分可能であり，積分可能なる函数の中には，連続函数があり，また有界変動の函数がある．連続でかつ有界変動なる函数は，かなり簡単らしいが，それでも必ずしも微分可能でない．微分可能でも，導函数は必ずしも連続でない．連続的微分可能，すなわちいわゆる滑らかな函数でも，第二階以上の微分可能性は保証されていない．各階の微分が可能でも，Taylor 級数には展開されないこともある．Taylor 級数に展開されるのは，解析函数で，それこそは相当簡単，従って応用上手頃なものであるが，不幸にして，それは複素数の世界において発生したものである（第 5 章）．

［附記］ 

Stieltjes 積分は有界変動の函数 $\varphi(x)$ を用いて作られる一種の積分である．まず $\varphi(x)$ を単調増大とし，被微分函数 $f(x)$ は $[a,b]$ において有界とする．§30 のように，区間$[a,b]$ を小区間 $\omega_i=[x_{i-1},x_i]$ に分割して，$\omega_i$ における $f(x)$ の上限 $M_i$，下限 $m_i$ をもって，和

$S_\Delta=\sum_{i=1}^n M_i\,\delta_i\varphi,\quad s_\Delta=\sum_{i=1}^n m_i\,\delta_i\varphi$

を作る．ただし，ここでは $\delta_i\varphi=\varphi(x_i)-\varphi(x_{i-1})$ である．さて $\delta=\mathrm{Max}(x_i-x_{i-1})$ を限りなく小さくするとき，小区間 $\omega_i$ から任意の値 $\xi_i$ を取って作られる和

$\mathit\Sigma_\Delta=\sum f(\xi_i)\,\delta_i\varphi$

が一定の極限値に収束するならば，その極限値を

$\int_a^b f(x)\,d\varphi(x)$

と書く．これがいわゆる Stieltjes 積分である．

今 $S_\Delta$ の下限を $S$，$s_\Delta$ の上限を $s$ とするならば，この場合 Darboux の定理（§30）は任意の有界なる$f(x)$ に関して必ずしも成り立たない（同所 (8) の不等式が成り立たないから）．しかし，もしも $f(x)$ が連続ならば，Stieltjes 積分は可能である．実際，

(5)

$s_\Delta\leqq s\leqq S\leqq S_\Delta,\quad s_\Delta\leqq\mathit\Sigma_\Delta\leqq S_\Delta$

であるが，$f(x)$ の一様連続性（定理 14）によって，任意の $\epsilon>0$ に対して十分小さく $\delta$ を取れば $M_i-m_i<\varepsilon$，従って $\textstyle S_\Delta-s_\Delta < \varepsilon\sum\delta_i\varphi = \varepsilon(\varphi(b)-\varphi(a))$．故に (5) の第一式から $S=s$ ．また，(5) の第二式から $|S-\mathit\Sigma_\Delta|\leqq\varepsilon(\varphi(b)-\varphi(a))$．故に $\delta\to0$ のとき $\mathit\Sigma_\Delta\to S$．

一般の有界変動の函数 $\varphi(x)$ に関しては，それを二つの有界なる単調（増大）函数の差として，$\varphi(x)=\varphi_1(x)-\varphi_2(x)$ と置けば

$\int_a^bf(x)\,d\varphi(x)=\int_a^bf(x)\,d\varphi_1(x)-\int_a^bf(x)\,d\varphi_2(x)$

を得る．

---

40. 曲線の長さ

次に述べることは各次元に通用するけれども，簡明のために平面曲線について説明する．媒介変数 $t$ は区間 $a\leqq t\leqq b$ において変動するとして，曲線

(1)

$x=\varphi(t),\quad t=\psi(t)$

を考察する．もちろん $\varphi(t),\psi(t)$ は $[a,b]$ において連続とする．$t$ の或る値に対応する曲線上の点 $(x,y)=(\varphi(t),\psi(t))$ を点 $t$ と略称する． さて区間 $[a,b]$ の分割

($\Delta$)

$a=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=b$

に対応して，曲線 (1) が $n$ 個の弧 $(t_{i-1}\,t_i)$ に分たれる．それらの分点を順次に弦 $(t_{i-1}\,t_i)$ で結んで，内接折線 $(at_1t_2\cdots b)$ の長さを $L_\Delta$ とする．すなわち

$L_\Delta=\sum_{i=1}^n\sqrt{(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2}$

と置く．もしもすべての分割 $\Delta$ に関して $L_\Delta$ が有界ならば，その上限を $s$ として，それを曲線 (1) の弧 $(ab)$ の長さの定義としようというのが我々の目標である．

ファイル:図

$L_\Delta$ を次のように略記する．

$L_\Delta=\sum_\Delta\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2)}.$

然らば

$\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}\geqq|\Delta\varphi|,\quad \sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}\geqq|\Delta\psi|$

$\sqrt{(\Delta\varphi)^2+(\Delta\psi)^2}\geqq|\Delta\varphi|+|\Delta\psi|,$

だから

$L_\Delta\geqq\sum|\Delta\varphi|,\quad L_\Delta\geqq\sum|\Delta\psi|,\quad L_\Delta\leqq\sum|\Delta\varphi|+\sum|\Delta\psi|.$

故に $L_\Delta$ が有界なるがためには， $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ とが $[a,b]$ において有界変動なることが必要かつ十分なる条件である（§39）． さて $L_\Delta$ が有界ならば，その上限なる $s$ は

(2)

$s=\lim_{\delta\to0}L_\Delta$

として求められる．$\delta$ は分割 $\Delta$ における細区間 $[t_{i-1},t_i]$ の最大幅，すなわち $\delta=\mathrm{Max}(t_i-t_{i-1})$ である．

これは積分に関する Darboux の定理と同様である．93 頁に述べた Darboux の定理の証明と対照してみれば，まず分割 $\Delta$ において細区間 $[t_{i-1},t_i]$ の内へ一つの分点 $t'$ を挿入すれば，弦 $(t_{i-1}t_i)$ が弦 $(t_{i-1}t')+$ 弦 $(t't_i)$ で置き換えられるから $L_\Delta$ は増大するが，$\varphi,\psi$ の連続性によって，その増分は $\delta$ を十分小さく取るとき任意の $\varepsilon'$ よりも小さくされる．よって94頁と同じ意味に，分割 $D,\Delta,\Delta'$ を取れば

$s-L_D<\varepsilon,\quad L_\Delta\leqq L_{\Delta'},\quad L_D\leqq L_{\Delta'},$

$L_{\Delta'}-L_\Delta<p\varepsilon'.$

$s-L_\Delta<(s-L_D)+(L_{\Delta'}-L_\Delta)<\varepsilon+p\varepsilon'.$

$p$ は分割 $D$ における分点の数だから，定数である．故に $p\varepsilon'<\varepsilon$ とされて $L_\Delta\to s$．

さて $a\leqq t\leqq t'\leqq b$ とすれば区間 $[t,t']$ に対応して上記のような極限値 $s$ が確定する．それを曲線 (1) の弧 $(tt')$ の長さとする．然らば $t<t'<t''$ なるとき，弧長の加法性：

(3)

弧 $(tt')+{}$ 弧 $(t't'')={}$ 弧 $(tt'')$

は (2) によって明白であろう．もしも $a$ を起点として，弧 $(at)$ の長さを $s(t)$ で表すならば，弧 $(tt')=s(t')-s(t)$ である．またもし曲線上の弧に向きを付けて

弧 $(t't)=-{}$ 弧 $(tt')$

とするならば，(3) は $t,t',t''$ の大小にかかわらず，常に成り立つ．

［注意］ 

上記のように，弧の長さが内接折線の長さの極限として定義されたから，弧長は曲線の表現法または座標軸の取りようには無関係なる確定の値である．十八世紀式に，弧長を天賦（a priori）と考えるならば別格だが，さもなければ，この論点は重要である．

これまでは，$\varphi(t)$ と $\psi(t)$ との連続性と有界変動性とを仮定したが，それだけでは曲線の範囲があまりに広汎で，興味が乏しいから，これから後は $\varphi(t)$ と $\psi(t)$ とが微分可能で，かつ $\varphi'(t),\psi'(t)$ が連続で，それらは同時に $0$ にならない，$\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2\ne0$，と仮定する，すなわち滑らかな曲線を考察する．然らば弧 $ab$ の長さは

(4)

$s=\int_a^b\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.$

今その証明をする．証明というのは，$\varphi'(t),\psi'(t)$ の連続性の仮定の下において，(2) すなわち

$s=\lim_{\delta\to 0}\sum_{i=1}^n$ 弦 $(t_{i-1}\,t_i)$

から (4) を導くことである．さて

弦 $\begin{align}(t_{i-1}\,t_i) &= \sqrt{(\varphi(t_i)-\varphi(t_{i-1}))^2+(\psi(t_i)-\psi(t_{i-1}))^2} \\ &=(t_i-t_{i-1})\sqrt{\varphi'(\tau_1)^2+\psi'(\tau_2)^2}. \end{align}$

これは微分法の平均値定理による； $\tau_1,\tau_2$ はともに $t_{i-1}$ と $t_i$ との中間値である．従って $|t_i-\tau_1|<\delta, |t_i-\tau_2|<\delta$．今

(5)

$\sqrt{\varphi'(\tau_1)^2+\psi'(\tau_2)^2} =\sqrt{\varphi'(t_i)^2+\psi'(t_i)^2}+\varepsilon_i$

と置けば

$s=\lim_{\delta\to 0}\left( \sum(t_i-t_{i-1})\sqrt{\varphi'(t_i)^2+\psi'(t_i)^2} +\sum\varepsilon_i(t_i-t_{i-1}) \right).$

はじめの $\textstyle\sum$ の $\lim$ は上掲 (4) の定積分であるから，問題は

(6)

$\lim_{\delta\to 0}\sum\varepsilon_i(t_i-t_{i-1})=0$

を確かめることに帰する．$\varphi'(t),\psi'(t)$ は仮定によって連続だから，$\delta\to0$ のとき $\varepsilon_i\to0$ だけれども，それだけでは (6) を確認するには十分でない．さて (5) から

$|\varepsilon_i| \leqq|\varphi'(t_i)-\varphi'(\tau_1)|+|(\psi'(t_i)-\psi'(\tau_2)|$

連続の一様性によって，任意に $\varepsilon$ を与えるとき，上記の $\delta$ を十分小さく取って

$|\varphi'(t_i)-\varphi'(\tau_1)|<\varepsilon, \quad |\psi'(t_i)-\psi'(\tau_2)|<\varepsilon$

ならしめることができる．然らばすべての $i$ に関して (6) において $|\varepsilon_i|<2\varepsilon$，従って

$\left|\sum\varepsilon_i(t_i-t_{i-1})\right|<2\varepsilon(b-a).$

$\varepsilon$ は任意に取れるから，(6) が成り立って，(4) の証明が終わる． $\varphi'(t),\psi'(t)$ が連続なる区域内では，(4) における積分の限界は任意であるから，今 $t_0$ を固定して弧 $(t_0t)$ の長さを $s=s(t)$ と書けば

(7)

$s(t)=\int_{t_0}^t\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\,dt.$

さて (7) から

(8)

$\frac{ds}{dt}=\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} =\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$

を得るが，媒介変数に関係なく，微分記号を用いて

$ds^2=dx^2+dy^2$

(7) によって，$s$ は $t$ に関して連続かつ単調増加（狭義）である．（ここで仮定 $\varphi'(t)^2+\psi(t)^2\ne0$ を用いた．）従って $s$ と $t$ との間に１対１対応が成り立つから，$s$ を曲線の媒介変数とすることができる（定理 15参照）．その場合には

(9)

$\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2=1$

また曲線が $y=f(x)$ の形で表されるときには，$x$ が $t$ の役目をするから，

$\begin{align} ds&= \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx, \\ s &= \int_{x_0}^x\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx. \end{align}$

また曲線が極座標で $r=f(\theta)$ の形に表されるときには $\theta$ を媒介変数として

$x=r\,\cos\theta=f(\theta)\,\cos\theta, \quad y=r\,\sin\theta=f(\theta)\,\sin\theta.$

故に

$ds^2=dx^2+dy^2 =(dr\cos\theta-r\sin\theta\,d\theta)^2+(dr\sin\theta+r\cos\theta\,d\theta)^2.$

簡略して

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2,$

すなわち

$ds=\sqrt{f(\theta)^2+f'(\theta)^2}\,d\theta.$

［注意］ 

滑らかな曲線において，弧とそれに対応する弦との比が，極限において $1$ に等しいことは (9) にとって明白である： すなわち

弦

弧

${}=\frac{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\Delta s} =\sqrt{ \left(\frac{\Delta x}{\Delta s}\right)^2 +\left(\frac{\Delta y}{\Delta s}\right)^2 }\to\sqrt{\left(\frac{dx}{ds}\right)^2+\left(\frac{dy}{ds}\right)^2} = 1.$

［例 1］

二次曲線の弧長は円と放物線とのほかは楕円積分に帰する．

(i)

放物線 $y^2=4lx$ において，頂点 $(0,0)$ から任意の点 $(x,y)$ までの弧長を $s$ とすれば， $y=\sqrt{4lx},\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{l}{x}}$ から

$s= \int_0^x\sqrt{1+y'^2}\,dx=\int_0^x\sqrt{\frac{x+l}{x}}\,dx =l\int_0^z\sqrt{\frac{z+1}{z}}\,dz\qquad \left(z=\frac{x}{l}\right)$

$=l\{\sqrt{z(z+1)}-\log(\sqrt{z+1}-\sqrt{z})\}$　（§37，III）

$=\sqrt{x(x+l)}-l\log\left(\sqrt{\frac{x+l}{l}}-\sqrt{\frac{x}{l}}\right).$

(ii)

楕円 $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1, a\geqq b$，の弧長 $s$ は，点 $(0,b)$ を起点にすれば：

$x=a\sin\theta,\quad y=b\cos\theta;$

$dx=a\cos\theta\,d\theta,\quad dy=-b\sin\theta\,d\theta$

から

$s=\int_0^\theta\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}\,d\theta =a\int_0^\theta\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}\,d\theta =\int_0^x\sqrt{\frac{a^2-k^2x^2}{a^2-x^2}}\,dx.$

ただし，$k=\sqrt{\tfrac{a^2-b^2}{a^2}}$ は離心率である．

(iii)

双曲線 $\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1$ の弧長も $x=a\sec\theta,y=b\tan\theta$ と置いて，同様の計算で，楕円積分に帰する．

［例 2］

レムニスケート（lemniscate）．平面上いくつかの定点からの距離の積が一定なる点の軌跡を，広義においてレムニスケートという．特に定点が二つで，その間の距離 $FF'=2a$，一定の積が $a^2$ なるときが通常のレムニスケート［Bernoulli のレムニスケート］である．その方程式は極座標で

$r=a\sqrt{2\cos2\theta}.$

$FP^2\cdot F'P^2=(r^2+a^2-2ar\cos\theta)(r^2+a^2+2ar\cos\theta)=a^4$

から，簡約して上記の方程式を得る．よって

$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2 =\left(\frac{-\sqrt{2}a\,\sin2\theta\,d\theta}{\sqrt{\cos2\theta}}\right)^2 +2a^2\cos2\theta\,d\theta^2 =\frac{2a^2\,d\theta^2}{\cos2\theta}.$

故に $A$ から測った弧 $AP$ の長さは

(10)

$s=\sqrt{2}a\int_0^\theta\frac{d\theta}\sqrt{\cos2\theta} =\sqrt{2}a\int_0^\theta\frac{d\theta}\sqrt{1-2\sin^2\theta}. \quad \left(0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{4}\right)$

または $x=\tan\theta$ とすれば

$s=\sqrt{2}a\int_0^x\sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}}\frac{dx}{1+x^2} =\sqrt{2}a\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}.$

(10) において $\theta$ の変動範囲は $0\leqq\theta\leqq\tfrac{\pi}{4}$ であるが，今

$\varphi=\mathrm{Arc}\,\sin(\sqrt{2}\sin\theta)$

とすれば，$0\leqq\varphi\leqq\frac{\pi}{2}$ で，

$d\varphi=\frac{\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{1-2\sin^2\theta}},$

$\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\varphi, \quad \cos\theta=\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\varphi},$

故に

$s=a\int_0^\varphi\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\varphi}} \quad\left(0\leqq\varphi\leqq\frac{\pi}{2}\right)$

この場合にも $s$ は楕円積分である．

---

41. 線積分

平面上の或る区域において $P(x,y)$ が連続で，またその区域内において滑らかな曲線

$C\colon\qquad x=x(t),\quad y=y(t)\qquad (a\leqq t\leqq b)$

が与えられているとき

$\int_C P(x,y)\,dx=\int_a^b P(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}\,dt$

を曲線 $C$ の上の線積分という．

$\int_CQ(x,y)\,dy=\int_a^bQ(x,y)\frac{dy}{dt}\,dt$

も同様である． 曲線 $C$ を細分して，これらを

$\lim\sum P(x_i,y_i)(x_{i+1}-x_i),\quad\lim\sum Q(x_i,y_i)(y_{i+1}-y_i)$

として，直接に定義することもできる．故に線積分は媒介変数 $t$ の選択に関係しない一定の値を有する．

$C$が滑らかでないならば，これらの $\lim$ は，有界変動の函数 $x(t),y(t)$ による Stieltjes 積分である．

ファイル:図

［例 1］

次の図に示す曲線 $AB$ に関する線積分

(1)

$S=\int_{AB}f(x,y)\,dx$

は次の意味を有する．

弧 $AA_1,A_1A_2, A_2B$ をそれぞれ $y=\varphi_1(x),y=\varphi_2(x),y=\varphi_3(x)$ とすれば，

$\begin{align} S&=\int_{AA_1}+\int_{A_1A_2}+\int_{A_2B} \\ &=\int_a^{a_1}f(x,\varphi_1(x))\,dx +\int_{a_1}^{a_2}f(x,\varphi_2(x))\,dx +\int_{a_2}^bf(x,\varphi_3(x))\,dx. \end{align}$

右辺の三つの積分は，$x$ を積分変数とする通常の意味の積分であるが，その和を (1) のように略記するのである．

ファイル:図

［例 2］

$C$ を図のような閉曲線 $AMBNA$ とし，$f(x,y)$ を特に $y$ として $C$ に関して正の向き（$xy$ を常例のように右系とすれば，内部を左手に見る向き）に取った線積分 $\textstyle\int_C y\,dx$ を考察しよう．

今弧 $AMB$ においては $y=\varphi_1(x)$，また弧 $ANB$ においては $y=\varphi_2(x)$ とすれば

$\begin{align}\int_Cy\,dx &=\int_a^b\varphi_1(x)\,dx+\int_b^a\varphi_2(x)\,dx \\ &=\int_a^b\varphi_1(x)\,dx-\int_a^b\varphi_2(x)\,dx \\ &=-\int_a^b[\varphi_2(x)-\varphi_1(x)]\,dx. \end{align}$

すなわち $C$ 内の面積を $S$ とすれば，$\textstyle S=-\int_Cy\,dx$．もしも $x$ と $y$ とを交換すれば，$y-x$ は左系になるから $\textstyle S=\int_Cx\,dy$ になる．よって

(2)

$S=\int_Cx\,dy=-\int_Cy\,dx=\frac{1}{2}\int_Cx\,dy-y\,dx.$

$C$ 上の隣接した点を $P=(x,y),P'=(x+\Delta x,y+\Delta y)$ とすれば，微小三角形 $OPP'$ の面積は符号を計算に入れて

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x & x+\Delta x \\ y & y+\Delta y \\ \end{vmatrix} =\frac{1}{2}(x\,\Delta y-y\,\Delta x)$

だから，(2) の幾何学上の意味は明白である．

［Amsler の面積計］

定長 $l$ なる線分 $AA'$ の両端 $A,A'$ がそれぞれ閉曲線 $C,C'$ の上を動くとする．その運動の過程において，$A=(x,y), A'=(x',y')$．また $A'A$と $x$ 軸との間の角を $\theta$ とすれば，

$x=x'+l\,\cos\theta,\quad y=y'+l\,\sin\theta.$

よって

$dx=dx'-l\,\sin\theta\,d\theta,\quad dy=dy'+l\,\cos\theta\,d\theta,$

$x\,dy-y\,dx=x'\,dy'-y'\,dx' +l(x'\cos\theta+y'\sin\theta)\,d\theta +l(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx') +l^2\,d\theta.$

今 $C,C'$ の面積をそれぞれ $S,S'$ とすれば，(2)によって

$2S=\int_C(x\,dy-y\,dx),\qquad 2S'=\int_{C'}(x'\,dy'-y'\,dx')$

だから

$2S=2S'+l\int_{C'}(x'\,\cos\theta+y'\,\sin\theta)\,d\theta +l\int_{C'}(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx')+l^2\int_{C'}d\theta.$

さて

$\begin{align} \int\cos\theta\,dy'&=y'\,\cos\theta+\int y'\,\sin\theta\,d\theta, \\ -\int\sin\theta\,dx'&=-x'\sin\theta+\int x'\cos\theta\,d\theta. \end{align}$

一周の後 $y'\,\cos\theta,x'\,\sin\theta$ はもとの値に帰るから

$\int_{C'}(x'\,\cos\theta+y'\,\sin\theta)\,d\theta =\int_{C'}(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx').$

また $n$ を或る整数として

$\int_{C'}\,d\theta=2n\pi.$

故に

$S-S'=l\int_{C'}(\cos\theta\,dy'-\sin\theta\,dx')+n\pi l^2.$

さて $C'$ の弧長を $s'$，接線と $x$ 軸との間の角を $\varphi$ とすれば

$dx'=ds'\cos\varphi,\quad dy'=ds'\sin\varphi.$

故に $\varphi-\theta=\psi$ と置けば

(3)

$S-S'=l\int_{C'}\sin\psi\,ds'+n\pi l^2.$

Amsler の面積計（planimeter）はこの公式を応用したものである．面積計の主要部は $A'$ の関節において自由に屈折する二つの杆 $OA',A'A$ と杆 $A'A$ を軸として回転する小車輪 $K$ である．今閉曲線 $C$ が紙上に画かれているとき，$C$ の外部に $O$ を固定して，$O$ から $C$ 上の点への距離が，$OA'+A'A$ よりも小さいようにして置けば，$A$ が $C$ に上を一周するとき，$A'$ は一つの円周上を動くけれども，それを一周しない．故にこの場合(3)において $S'=0,n=0$ で

(4)

$S=l\int_{C'}\sin\psi\,ds'.$

さて杆 $A'A$ が微小なる変位をして，$A_1'A_1$ の位置にきたとすれば，

$\sin\psi\,ds'=dp$

は $A_1'$ から $A'A$ への垂線の長さである．

この変位を次のように三つの変位に分解することができる．すなわち (1º) $A'A$ がそれに垂直に $dp$ だけ平行移動をして $B'B$ にくる．(2º) $B'B$ がその直線上を $A_1'A^*$ まで進む．(3º) $A_1'A^*$ が $A_1'A_1$ まで $d\theta$ だけの回転をする．さて (1º) は車輪 $K$ の回転の角度に比例する．(2º) では車輪は回転しない．(3º) では車輪は $A'K\cdot d\theta$ だけ回転するが，$\textstyle\int d\theta=0$ だから，結局 $\textstyle\int\sin\psi ds'=\int dp$ は車輪の回転の純量に比例する．実際は車輪に $ldp$ を示すように，目盛りがつけてあるから，面積 $S$ がすぐに読めるのである．

練習問題（3）

(1)

次の不定積分は‘できる’（§37）．ただし $a,b,c$ 等は定数，$P,Q$ は多項式，$R$ は有理式である．

[1º]

$\int P(x)e^{\alpha x}\cos bx\,dx,\quad \int P(x)e^{\alpha x}\sin bx\,dx.$

[2º]

$\int P(\cos a_1x,\ldots,\cos a_px,\sin b_1x,\ldots,\sin b_qx)\,dx.$

[3º]

$\int e^{cx}Q(x)P(\cos a_1x,\ldots,\cos a_px,\sin b_1x,\ldots,\sin b_qx)\,dx.$

[4º]

$\int R'(x)\log x\,dx,\quad \int R'(x)\mathrm{arc\,tan\,}x\,dx, \quad \int R'(x)\mathrm{arc\,sin}\,x\,dx.$

［解］

[2º] では $\cos a_1x,\sin b_1x$ 等の積を和に直して簡約する．

(2)

$\int\cos^nx\,dx=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{0\leqq k<\frac{n}2} \binom{n}k\frac{\sin(n-2k)x}{n-2k}+\frac{1}{2^n}\binom{n}{n/2}x.$

ただし $n$ は自然数であるが，最後の項は $n$ が偶数のときにだけ出る．

［解］

$\cos^nx=(\tfrac{e^{xi}+e^{-xi}}2)^n$ を用いれば容易にできる．$\textstyle\int\sin^nx\,dx$ も同様．

(3)

$\alpha\ne 0$ とすれば

$\begin{align} &\int\sin^{\alpha-1}x\cos(\alpha+1)x\,dx=\frac1\alpha\sin^\alpha x\cos\alpha x,\\ &\int\sin^{\alpha-1}x\sin(\alpha+1)x\,dx=\frac1\alpha\sin^\alpha x\sin\alpha x,\\ &\int\cos^{\alpha-1}x\cos(\alpha+1)x\,dx=\frac1\alpha\cos^\alpha x\sin\alpha x,\\ &\int\cos^{\alpha-1}x\sin(\alpha+1)x\,dx=-\frac1\alpha\cos^\alpha x\cos\alpha x. \end{align}$

(4)

$\begin{align} F(\cos x,\sin x)=f(\cos x)+g(\cos x)\sin x,\\ f(\cos x)=\varphi(\cos^2x)+\psi(\cos^2x)\cos x. \end{align}$

右辺の第二項の積分は，それぞれ変換 $t=\cos x,t=\sin x$ によって有理化される．$\varphi(\cos^2x)$ の積分は変換 $t=\tan x$ で有理化される．すなわち $\tan\tfrac{x}2$ を用いなくてすむ．ただし $F,f,g,\varphi,\psi$ は有理式である．

(5)

二項微分の積分（§37）

$I_{p,q}=\int t^p(at+b)^q\,dt$

に関して，次の簡約公式が成り立つ．

$\begin{align} &(p+q+1)I_{p,q}=qbI_{p,q-1}+t^{p+1}(at+b)^q.\\ &a(p+q+1)I_{p,q}=-pbI_{p-1,q}+t^p(at+b)^{q+1}. \end{align}$

これを用いて，$p$ または $q$ を区間 $[0,1]$ または $[-1,0]$ に導くことができよう．

［解］

$t^p(at+b)^q=at^{p+1}(at+b)^{q-1}+bt^p(at+b)^{q-1}$

と部分積分とを用いて，初めの公式を得る．次のはそれの変形．

(6)

[1º]

$\int_0^\pi\frac{\sin x\,dx}\sqrt{1-2a\cos x+a^2}=\begin{cases} 2, & |a|\leqq 1,\\ 2/|a|, & |a|\geqq 1. \end{cases}$

[2º]

$\int_0^1\frac{x\log x\,dx}{(1+x)^4}=-\frac16\left(\log 2-\frac14\right).$

［解］

不定積分ができるが，限界を入れるときに注意を要する．

(7)

[1º]

$\int_a^b\frac{dx}\sqrt{(x-a)(b-x)}=\pi.\quad(a<b).$

[2º]

$\int_{-1}^1\frac{dx}{(a-x)\sqrt{1-x^2}}=\pm\frac\pi\sqrt{a^2-1}.$　（$|a|>1$．$\pm$ は $a$ の符号）．

[3º]

$\int_0^\frac\pi2\left(\frac\pi2-x\right)\tan x\,dx=\frac\pi2\log 2.$

[4º]

$\int_0^1\frac{\log x}{x^\alpha}=\frac{-1}{(1-\alpha)^2},\quad(0<\alpha<1)$

［解］

これらの広義積分は収束する．[1º] は $x$ の一次変換によって，積分区域を $[-1,1]$ にするがよい．[2º] は変換 $x=\cos\theta$ による．[3º] は §34，［例 3］に帰する．[4º] は部分積分で（不定積分が）できる．

(8)

$\textstyle \int_0^\infty\frac{\sin x\,dx}{x^\nu}\ (0<\nu<1)$ は収束する．$1<\nu<2$ なるときは絶対収束で，$0<\nu\leqq 1$ なるときは絶対収束でない．

(9)

$\textstyle \int_0^\infty \frac{x\,dx}{1+x^6\sin^2x}$ は収束する．

［注意］ 

これは被積分函数が有界でなくても，無限区間の積分が収束する例である．

$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} < (n+1)\pi\int_0^\pi\frac{dx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} < \frac{1}{n^2}.$

(10)

$\textstyle J=\int_0^1\frac{x^n\,dx}\sqrt{1-x^4}\ (n=0,1,2,\ldots)$ と置けば，$(n-1)J_n=(n03)J_{n-4}$．
これから Wallis の公式（§35，［例 5］）のように，$J_0,J_1,J_2$ を表わす無限積を導くことができる．（$J_3=\tfrac12$ を用いる．）

(11)

$f(x),g(x)$ が $[a,b]$ で積分可能ならば

$\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2\leqq \int_a^b f(x)^2\,dx\,\int_a^b g(x)^2\,dx.$　（Schwarz の不等式）

ただし，$f(x),g(x)$ が連続ならば，等号は $f(x),g(x)$ の比が定数であるときに限って成り立つ．（$u\ne 0$ または $v\ne 0$ で，$[a,b]$ において常に $uf(x)+vg(x)=0$ になるような定数 $u,,v$ が存在するときのほかは成り立たない．）

［解］

$\int_a^b(uf(x)+vg(x))^2\,dx=Au^2+2Buv+Cv^2\geqq 0$

から $B^2\leqq AC$ を得る．等号に関しては §31，(4º) 参照．

(12)

$f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)$ を $[a,b]$ で積分可能として

$a_{pq}=\int_a^b f_p(x)f_q(x)\,dx$

と書けば，Gram の行列式

$\begin{vmatrix} a_{11},&a_{12},&\cdots,&a_{1n}\\ a_{21},&a_{22},&\cdots,&a_{2n}\\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\ a_{n1},&a_{n2},&\cdots,&a_{nn} \end{vmatrix}\geqq 0$

ただし，等号は $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)$ が $[a,b]$ において連続ならば，それらが一次独立でない（常に $c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots+c_nf_n(x)=0,\ (c_1,c_2,\ldots,c_n)\ne(0,0,\ldots,0)$，なる定数が存在する）ときに限って成り立つ．

［解］

$\textstyle \int_a^b(u_1f_1(x)+\cdots+u_nf_n(x))^2\,dx\geqq 0$ を用いる．

(13)

Hermite の多項式（練習問題（2）(3)）

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\,\frac{d^n e^{-x^2}}{dx^n}$

に関して次の関係（直交条件）が成り立つ．

$\int_{-\infty}^\infty H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx=\begin{cases} 0, & (m\ne n)\\ 2^n\,n!\sqrt\pi & (m=n) \end{cases}$

［解］

(14)

Laguerre の多項式（同上）に関して

$\int_0^\infty L_m(x)L_n(x)e^{-x}\,dx= \begin{cases} 0, & (m\ne n)\\ (n!)^2. & (m=n) \end{cases}$

(15)

§8，例 7の函数を $f(x)$ とすれば，

$\int_0^1f(x)\,dx=\frac{1}{18}.$

［解］

区間 $[0,1]$ を $2^n$ 等分すれば，$s_\Delta=\tfrac12\times0.11\ldots1$，（$n$ 桁）．