解析概論/第2章/Taylorの公式

[編集] 25．Taylor の公式

定理 28．

或る区間において， $f(x)$ は第 $n$ 階まで微分可能とする．然らばその区間において， $a$ は定点， $x$ は任意の点とするとき

(1)

$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!} + (x-a)^2\frac{f''(a)}{2!} + \cdots + (x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} + (x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.$

ただし

$\xi = a+\theta(x-a),\quad 0<\theta<1$

すなわち $\xi$ は $a$ と $x$ との中間の或る値である．

これを Taylor の公式という．

上記公式の右辺で，最後の項だけは，他の項と違って， $a$ の代わりに $a$ と $x$ の中間値 $\xi$ に対する導函数 $f^{(n)}$ の値が書いてある．この最後の項を剰余項という．それを $R_n$ と書けば

(2)

$R_n = (x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.$

問題の核心はこれの証明である．

［証］

今

(3)

$F(x) = f(x) -\left\{ f(a) + (x-a)\frac{f'(a)}{1!} + \cdots + (x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\}$

と置く． $F(x)$ がすなわち $R_n$ である．さて仮定によって， $F(x)$ は第 $n$ 階まで微分可能であるが，計算してわかるように

(4)

$\begin{align} F(a)=F'(a)=&\cdots=F^{(n-1)}(a)=0 \\ F^{(n)}(x)&=f^{(n)}(x). \end{align}$

さて定理 21を $F(x)$ と $G(x)=(x-a)^n$ とに応用する．然らば $F(a)=0$ , $G(a)=0$ だから

$\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)} = \frac{F(x)}{(x-a)^n} = \frac{F'(x_1)}{n(x_1-a)^{n-1}},$

$x_1$ は $a$ と $x$ との中間値である．同様に， $F'(a)=0, G'(a)=0$ から

$\frac{F'(x_1)}{n(x_1-a)^{n-1}} = \frac{F''(x_2)}{n(n-1)(x_2-a)^{n-2}},$

$x_2$ は $a$ と $x_1$ の，従って $a$ と $x$ との中間値である．これは右辺に $F^{(n)}$ がでてくるところまで続けられるから，結局 (4) によって

$\frac{F(x)}{(x-a)^n} = \frac{F^{(n)}(\xi)}{n!} = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!},$

を得る．ここで $\xi$ は $a$ と $x$ との中間値である．すなわち

(5)

$F(x)=(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$

左辺の $F(x)$ を (3) によって詳しく書けば (1) を得る．

（証終）

Taylor の公式 (1) で， $n=1$ とすれば

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(\xi).$

これは平均値の定理である．すなわち，定理 28 は平均値の定理の拡張である．

上記証明において $f^{(n)}(x)$ は (5) でのみ用いたから， $f^{(n)}(x)$ は $a$ を一端とする開区間で存在するとしても十分である．

もしも反対に，第 $n$ 階に関しては $x=a$ においてのみ $f^{(n)}(a)$ の存在を仮定するならば，それからさかのぼって $a$ の近傍で $n-1$ 階までの導函数は存在することになるが，その場合，次の定理が成り立つ．

定理 29．

$x=a$ を含む或る区間において $f(x)$ が第 $n-1$ 階まで微分可能で，点 $x=a$ において $f^{(n)}(a)$ が存在するならば

(6)

$f(x) = f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!} + (x-a)^2\frac{f''(a)}{2!} + \cdots + (x-a)^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!} + o(x-a)^n.$

［証］

$F(x)$ は (3) の通りとすれば，平均値の定理によって，前のように

$\frac{F(x)}{(x-a)^n} = \frac{F^{(n-1)}(\xi)}{n!(\xi-a)},\ \ a \lessgtr \xi \lessgtr x,$

までは得られる．今度は $F^{(n)}(a)=f^{(n)}(a)$ が存在するのだが，前の通り $F^{(n-1)}(a)=0$ だから， $x \to a$ 従って $\xi\to a$ のとき

$\lim_{x \to a}\frac{F^{(n-1)}(\xi)}{\xi-a} = \lim_{\xi \to a}\frac{F^{(n-1)}(\xi)-F^{(n-1)}(a)}{\xi-a} = F^{(n)}(a) = f^{(n)}(a).$

すなわち

$\lim_{x \to a}\frac{F(x)}{(x-a)^n} =\frac{f^{(n)}(a)}{n!},$

すなわち

$F(x)=(x-a)^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+o(x-a)^n,$

それが証明すべき事であった．

定理 28 においては， $f^{(n)}(x)$ が区間内で存在することを仮定したが，もしもその上に $f^{(n)}(x)$ が $x=a$ において連続であることを仮定するならば， $R_n$ が (2) のように書かれるから，定理 29 が得られる．しかし $f^{(n)}(a)$ の存在だけを仮定して，定理 29 は既に成り立つのである．

定理 29 で $n=1$ とすれば

$f(x) = f(a)+(x-a)f'(a)+o(x-a).$

$f'(a)$ が存在すれば，これは成り立つ（ $f'(a)$ の定義！）．定理 29 はそれの拡張である．しかし高階導函数は導函数の導函数として間接に定義された． $f'(a)$ の例に倣って

$f(x) = f(a)+A_1(x-a)+A_2\frac{(x-a)^2}{2}+\cdots+A_n\frac{(x-a)^n}{n!}+o(x-a)^n$

における係数 $A_i$ として逐次の $f^{(i)}(a)$ が定義されたのではない．一般函数の場合，そうは行きかねる．そこに導函数の複雑性がある．定理 28 または定理 29 を区間 $a \leqq x < b$ に適用する場合には $f^{(i)}(a)$ は右への微分商の意味で存在すればよい．区間 $b <x \leqq a$ の場合には左への微分商でよい．そのつもりで証明を読み返えしてみればわかるであろう．

［附記］

定差

$y=f(x)$ において， $x$ に一定の増加 $\Delta x$ (ただし $\Delta x \gtrless 0$ ) を与えるとき，それに対応する $y$ の増加

$\Delta y = \Delta f(x) = f(x+\Delta x)-f(x)$

を $y$ の定差（difference）または差分という． $\Delta y$ を $x$ の函数とみて，増加 $\Delta x$ に対するそれの定差を $y$ の第二階の定差といい，それを $\Delta^2 y$ と書く．すなわち

$\begin{align} \Delta^2 y &= \Delta f( x + \Delta x ) - \Delta f( x ) \\ &= \{f(x+2\Delta x)-f(x+\Delta x)\}-\{f(x+\Delta x)-f(x)\} \\ &= f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x). \end{align}$

同様にして，第 $n$ 階の定差は

(7)

$\begin{align} \Delta^n y &= \Delta^{n-1}f(x+\Delta x)-\Delta^{n-1}f(x) \\ &= f(x+n\Delta x)-\binom{n}{1}f(x+(n-1)\Delta x) + \binom{n}{2}f(x+(n-2)\Delta x)+\cdots+(-1)^nf(x). \end{align}$

例えば， $g(x)=ax^n+\cdots$ を $n$ 次の多項式として， $\Delta x=h$ と書けば

$\Delta g(x) = nahx^{n-1} + \cdots,\ \ \Delta^2g(x) = n(n-1)ah^2x^{n-2} + \cdots,$

(8)

$\Delta^n g(x) = n!ah^n.\ \ \Delta^{n+1}g(x)=0.$

さて定理 29 の仮定の下において，十分小なる $\Delta x$ に関して

$f(x+k\Delta x) = \sum^n_{\nu=0}(k\Delta x)^\nu\frac{f^{(\nu)}(x)}{\nu!}+o(\Delta x)^n.$

これを (7) へ持ち込めば

(9)

$\begin{align} \Delta^n y &= \sum^n_{k,\nu=0}(-1)^{n-k}\binom{n}{k} k^\nu\Delta x^\nu\frac{f^{(\nu)}(x)}{\nu!} +o(\Delta x)^n \\ &= \sum^n_{\nu=0}\Delta x^\nu\frac{f^{(\nu)}(x)}{\nu!} \left(\sum^n_{k=0}(-1)^{n-k}\binom nk k^\nu\right) +o(\Delta x)^n. \end{align}$

さて

$\sum^n_{k=0}(-1)^k\binom nk k^\nu = \begin{cases} 0,\ \ (\nu=0,1,\cdots,n-1)\\ (-1)^n n!\ \ (\nu=n) \end{cases}$

これは $y=x^n$ とすれば，(9) から得られる．そのとき (8) によって $\Delta^n y = n!\Delta x^n$ であるから．

故に

$\Delta^n y = (\Delta x)^nf^{(n)}o(\Delta x)^n,$

従って

$\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta^n y}{\Delta x^n} = f^{(n)}(x).$

これは $\textstyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \to f'(x)$ の拡張であるが，ここでも定理 29 と同様に $f^{(n)}(x)$ の存在を仮定して証明したのだから， $\textstyle \frac{\Delta^n y}{\Delta x^n}$ が存在するとき，それが $f^{(n)}(x)$ であるというのではない．換言すれば $f^{(n)}(x)$ が高階の定差によって直接に定義されたのではない．

二次元以上における Taylor の公式

Taylor の公式は二次元以上にも拡張される．今二次元としていう．或る領域において $f(x,y)$ が $n$ 回まで微分可能であるとき $A=(x,y)$ を領域内の一点とし，また $|h|$ , $|k|$ を十分小さく取って，点 $B=(x+h,y+k)$ もまた線分 $AB$ も全く領域内にあらしめるならば

$F(t) = f(x+ht, y+kt)$

は区間 $0 \leqq t \leqq 1$ （線分 $AB$ 上）における $t$ の函数で，その区間において定理 28 の仮定が成り立つ，すなわち

$F'(t) = \left( h\frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x+ht, y+kt), \cdots ,$

$F^{(n)}(t) = \left( h\frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(x+ht, y+kt).$

故に

$F(t) = F(0) + tF'(0) + \cdots + \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}F^{(n-1)}(0) + \frac{t^n}{n!}F^{(n)}(\theta t), \ \ 0<\theta<1.$

そこで $t=1$ とすれば

$\begin{align} f(x+h,y+k) = & f(x,y) + df(x,y) + \frac{1}{2} d^2f(x,y) + \cdots \\ & +\frac{1}{(n-1)!}d^{n-1}f(x,y) +\frac{1}{n!} d^n f(x+\theta h, y+\theta k). \end{align}$

略記法 $d^\nu f$ は §24 の通りである．すなわち

$\begin{align} df(x,y) &= hf_x(x,y) + kf_y(x,y) \\ d^2(x,y) &= h^2 f_{xx}(x,y) + 2hkf_{xy}(x,y) + k^2f_{yy}(x,y), \cdots . \end{align}$

ただし最後の項（剰余項）においては，変数 $x$ ， $y$ のところへ $x+\theta h$ ， $y+\theta k$ を入れるのである．特に $n=1$ とすれば

$f(x+h,y+k) - f(x,y) = h f_x(x+\theta h, y+\theta k) + k f_y(x+\theta h, y+\theta k)$

$(x+\theta h, y+\theta k)$ は線分 $AB$ 上の或る点である．これが二次元における平均値の定理である．もしも定理 29 のように，第 $n$ 階の微分に関しては点 $A=(x,y)$ においてのみ，その可能性を仮定するならば

$f(x+h,y+k) = f(x,y) + df(x,y) + \frac{d^2f(x,y)}{2!} + \cdots + \frac{d^n(x,y)}{n!} + o\rho^n,$

$\rho = \sqrt{h^2+k^2}.$

これを証明するには

$F(t) = f \left(x+\frac{h}{\rho}t, y+\frac{k}{\rho}t\right)$

と置いて

$F(t) = F(0) + tF'(0) + \cdots + \frac{t^n F^{(n)}(0)}{n!} + ot^n$

において $t=\rho$ とすればよい．ここで $ot^n/t^n$ は線分 $AB$ の方向に無関係に（一様に） $0$ に収束する．それは定理 29 の証明を参照して容易に証明される．

Taylor 級数

定理 28 において， $f(x)$ の各階の微分が可能で，区間内のすべての $x$ に関して

$\lim_{n \to \infty}R_n = 0,$

すなわち

$f(x) = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{\nu=0}(x-a)^\nu\frac{f^{(\nu)}(a)}{\nu!}$

であるとき，右辺を無限級数の形に書けば，区間内で

(10)

$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!} + (x-a)^2\frac{f''(a)}{2!} + \cdots + (x-a)^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!} + \cdots .$

これを $f(x)$ の Taylor 級数という．特に $a=0$ であるときは Maclaurin の級数という．

Taylor 級数は解析学において最も重要である．実用上の函数は Taylor 級数に展開されるが，その展開を定理 28 のみによって直接の計算で求める事は技術上得策でない．それは後に譲って（第 5 章），ここでは最も簡単な一，二の例を挙げておく．

［例 1］

$f(x)$ が $n$ 次の多項式ならば $f^{(n+1)}(x)=0$ だから，(10) は有限級数である．それは $f(x)$ を $(x-a)$ の多項式で表すものにほかならない．

［例 2］

$f(x)=e^x$ この場合にはすべての $n$ に関して $f^{(n)}(x)=e^x$ ．故に $a=0$ とすれば $f^{(n)}(0)=1$ で

$R_n = \frac{x^n}{n!}e^{\theta x},\ \ 0<\theta<1.$

故に

$|R_n| < \frac{|x|^n}{n!}e^{|x|}.$

$x$ を固定すれば $\textstyle \lim\frac{|x|^n}{n!}=0$ （［例 3］）．故に $-\infty < x < \infty$ において

$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots .$

特に $x=1$ のとき，剰余項を入れて書けば

(11)

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{1}{n!} + R_{n+1},$

$R_{n+1} = \frac{e^\theta}{(n+1)!} < \frac{3}{(n+1)!}.$

$\begin{align} 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}&=2.5\\[5pt] \frac{1}{3!}&=0.1666666\\[3pt]\frac{1}{4!}&=0.0416666\\[3pt] \frac{1}{5!}&=0.0083333\\[3pt]\frac{1}{6!}&=0.0013888\\[3pt] \frac{1}{7!}&=0.0001984\\[3pt]\frac{1}{8!}&=0.0000248\\[3pt] \frac{1}{9!}&=0.0000027\\[3pt]\frac{1}{10!}&=0.0000002\\[3pt]\hline e &\fallingdotseq 2.7182814 \end{align}$

$e$ の計算

$e$ は $\textstyle\lim(1+\frac 1n)^n$ として定義されたけれども，この数列は収束緩慢だから計算に適しない．今 (11) を用いて $\textstyle\frac1{n!}$ を小数第七位まで計算して行けば， $n=10$ までは右のようになる．それらを加えて $e$ の近似値を得るが， $n \geqq 3$ なる 8 項において各 $\textstyle \frac1{10^7}$ 未満の誤差があり，また剰余項

$R_{11} < \frac{3}{11!} = \frac{1}{10!}\frac{3}{11} < \frac{1}{10^7}$