解析概論/第2章/高階微分法

19．高階微分法

$y=f(x)$ の導函数を $f'(x)$ とするとき，$f'(x)$ の導函数を $f(x)$ の第二階の導函数といい，それを $f''(x)$ と書く．第 $n$ 階の導函数 $f^{(n)}(x)$ もこれに準ずる．$f^{(n)}(x)$ を $y^{(n)}$ または $y^{(n)}_x$ あるいは$D_x^{(n)}y$ などとも書く．一点 $x$ における $f''(x)$

の値．すなわち

$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$　を　$\frac{d^2y}{dx^2}$　と書く．

同様に

$\frac{d^ny}{dx^n} = f^{(n)}(x).$

上記の記号において，$dx^2$ は巾 $(dx)^2$ であるが，$d^2y$ は $d(dy)$ の意味で，それを $y$ の第二階の微分という． §13で述べたように，微分記号を用いて

$dy = y'_xdx$

と書くとき，両辺の微分を取れば，$d(dy), d(dx)$ を $d^2y, d^2x$ と略記して

(1)

$d^2y=y''_x(dx)^2+y'_xd^2x.$

これは積の微分法である．さて $x$ が独立変数ならば，$dx=\Delta x$ は $x$ に関係なく自由に取れるのだから，$d^2x=d(\Delta x)=0$

として

$d^2y=y''_xdx^2.$

これは $\textstyle \frac{d^2y}{dx^2}=f''(x)$ を意味する．しかし，もしも $x=\phi(t)$ が $t$ の函数，従って $y=f(x)$ も $t$ の函数であるならば，$d^2x=x_t''dt^2$ で，(1) は

$d^2y=y_x'' x_t'^2 dt^2+y_x' x_t'' dt^2$

になる．それは

$\frac{d^2}{dt^2}f(\phi(t))=f''(\phi(t))\phi'^2+f'(\phi(t))\phi''(t)$

を意味するが，(1) では補助変数 $t$ を表面に出さないで，直接に $x$ と $y$ との間の関係が示されている．そこに微分記号の特色がある． $u,v$ が $x$ の函数なるとき，

$\frac{d^n}{dx^n}(u\pm v)=\frac{d^nu}{dx^n}\pm\frac{d^nv}{dx^n}$

また積 $uv$ に関してはいわゆる Leibniz の法則が成り立つ．すなわち

$\frac{d^n(uv)}{dx^n} = u^{(n)}v+\binom{n}{1}u^{(n-1)}v' + \cdots + \binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)} +\cdots+uv^{(n)},$

$\tbinom{n}{k}$ は二項係数である．これは帰納法によって容易に証明される．右辺の式の組立は $(u+v)^n$ の展開と同型である．

合成函数または逆函数またはすでに商 $u/v$ の高階導函数は簡単な公式であらわされない．