解析概論/第2章/逆函数の微分法

[編集] 16．逆函数の微分法

区間 $a\leqq x\leqq b$ において連続なる函数 $y=f(x)$ が与えられているとする．この区間における $y$ の最小および最大の値を $p, q$ とすれば（定理 13）， $y$ は区間 $p\leqq y\leqq q$ における任意の値を取る（定理 12）．しかし $y=f(x)$ が単調（狭義）である場合においてのみ， $y$ の一つの値に対応する $x$ の値が一意に確定する．

もしも $f(x)$ が単調でないとするならば， $x_1< x_2< x_3$ に対応して $y_1< y_2< y_3$ または $y_1> y_2> y_3$ にならないことがある．もしも例えば $y_1< y_2, y_2> y_3$ ならば， $y_2>\eta>\mathop{\mathrm{Max}}(y_1, y_3)$ なる $\eta$ に対応して，区間 $(x_1, x_2)$ および $(x_2, x_3)$ において $\eta=f(x)$ なる $x$ の値が少くとも一つずつある．

単調の場合には，区間 $p\leqq x\leqq q$ における $y$ の各〻の値に $y=f(x)$ なるような $x$ の一つの値が対応するから， $x$ は $y$ の函数である．よって $x=\varphi(y)$ として， $\varphi$ を $f$ の逆函数という．そうすれば， $f$ は $\varphi$ の逆函数で， $f$ と $\varphi$ とは互に逆なる函数である．

定理 18．

或る区間において $x$ の函数 $y$ が連続で単調ならば， $y$ の変動区間において $x$ が $y$ の逆函数として確定される．逆函数も連続でかつ単調である．もしも $y$ が $x$ の函数として微分可能ならば， $x$ も $y$ の函数として微分可能で，

$\frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dy} = 1.$

$接線がx軸となす角\theta, y軸となく角\varphi, 然るに dy/dx=\tan\theta, dx/dy=\tan\varphi.$

$\scriptstyle\frac{dy}{dx}=\tan\theta, \frac{dx}{dy}=\tan\varphi$

［証］

逆函数が確定することはすでに述べた．そこで $y=f(x),x=\varphi(y)$ と書いて， $x=\xi$ に $y=\eta$ が対応するとする． $\varphi(y)$ が単調であることは明白であろう．よって今 $\{y_n\}$ を $\eta$ に収束する任意の単調数列とすれば，それに対応する $\{x_n\}$ も単調でかつ有界だから，或る極限値 $\lambda$ に収束する．然らば， $f(x)$ の連続性から， $f(\lambda)=\xi$ ．故に $\lambda=\varphi(\eta)=\xi$ ．すなわち $y_n\to \eta$ のとき $x_n\to \xi$ ，すなわち $\varphi(y_n)\to\varphi(\eta)$ ．故に逆函数 $\varphi(y)$ は連続である．

さて

$\frac{\Delta x}{\Delta y}=1\bigg/\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

故に $\Delta y\to 0$ ，従って $\Delta x\to 0$ のとき $\lim\tfrac{\Delta x}{\Delta y}=1/\lim\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ ，すなわち $\tfrac{dx}{dy}=1/\tfrac{dy}{dx}$ ，ただし $\tfrac{dy}{dx}=0$ になるところは除くべきである．そのところでは $\tfrac{\Delta x}{\Delta y}\to\pm\infty$ ．それを $\tfrac{dx}{dy}=\pm\infty$ と書くのは格別である．

逆三角函数を逆函数の例に取ってみよう．

(1º)

$\arcsin x.$ $y = \sin x$ は区間 $-\tfrac\pi2\leqq x\leqq\tfrac\pi2$ または一般に

$(2n-1)\frac\pi2\leqq x\leqq (2n+1)\frac\pi2,\quad(n=0,\pm1,\pm2,\ldots)$

において単調で，区間 $-1\leqq y\leqq 1$ に属する値を取る．故に函数 $y=\sin x$ の逆函数，すなわち $x=\mathrm{arc\,sin}\,x$ が区間 $-1\leqq y\leqq 1$ において可能であるが，そのためには $x$ を上記の区間の中の一つに限定しなければならない．

$x$ に関して一つの区間を指定するとき，それを逆函数 $\mathrm{arc\,sin}\,x$ の一つの枝という．これら $\mathrm{arc\,sin}$ の無数の枝の中で $[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]$ に対応するものを，引用の便宜上主値といい，それを特記するために，大文字を用いて $\mathrm{Arc\,sin}\,x$ と書くことにする．

$x, y$ は変数の記号に過ぎないから，逆函数においても独立変数を $x$ ，従属変数を $y$ と書くことにすれば

$y=\mathrm{Arc\,sin}\,x.\qquad(-1\leqq x\leqq 1)$

それは

$x=\sin y,\qquad\left(-\frac\pi2\leqq y\leqq \frac\pi2\right)$

を意味する．


$\scriptstyle y=\sin x$	$\scriptstyle y=\mathrm{Arc\,sin}\,x$

さて $y = \sin x$ から

$\frac{d\sin x}{dx}=\cos x,\quad \frac{d\,\mathrm{arc\,sin}\,x}{dx}=\frac{1}{\cos x}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.$

主値に関しては $-\tfrac\pi2\leqq x\leqq\tfrac\pi2$ だから $\cos x\geqq 0$ 故に $\pm$ は ${}+{}$ である．すなわち変数 $x,y$ を取り換えて書けば

$D\,\mathrm{Arc\,sin}\,x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

(2º)

$\arctan x.$ $y = \tan x$ は区間 $-\tfrac\pi2< x<\frac\pi2$ において $-\infty$ から $+\infty$ まで単調に増大する．よって $\tan$ の逆函数 $\mathrm{arc\,tan}$ の主値が次のように定義される．すなわち独立変数を $x$ と書いて，区間 $-\infty< x<\infty$ において

$y=\mathrm{Arc\,tan}\,x,\qquad -\frac\pi2<y<\frac\pi2.$

例えば

$\begin{align} &\mathrm{Arc\,tan}\,0=0,\quad \mathrm{Arc\,tan}(\pm1)=\pm\frac\pi4,\\ &\mathrm{Arc\,\tan}(\pm\infty) =\lim_{x\to\pm\infty}\mathrm{Arc\,tan}\,x=\pm\frac\pi2. \end{align}$

$y = \tan x$
$\scriptstyle y=\tan x$	$\scriptstyle y=\mathrm{Arc\,tan}\,x$

また $y=\tan x,\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{1}{\cos^2 x}=1+y^2$ から，記号を変えて

$D\,\mathrm{Arc\,tan}\,x=\frac{1}{1+x^2}.$

［注意］

上記と同様に $\mathrm{arc\,cos},\,\mathop{\mathrm{arc\,cot}}$ 等に関しても主値を定義することは，もちろん，できるが，そのような規約に頼らないで，全てを $\mathop{\mathrm{Arc\,sin}}$ または $\mathop{\mathrm{Arc\,tan}}$ から導く方が紛れがなくて安全であろう． $y = \mathrm{arc\,sin}\,x$ または $y = \mathrm{arc\,tan}\,x$ において $y$ の値を区間 $[-\tfrac{\pi}{2}, +\tfrac{\pi}{2}]$ に限定して，それを主値と呼ぶことは便宜上の規約で，実質上の必要によるのではないから，もしもその規約に拘泥すれば，往々不自然なる結果を招くことがある．

［例 1］

$y = \mathrm{arc\,sin}\sqrt{1 - x^{2}}$ は $\sqrt{1-x^2}=\sin y$ を意味する．従って $x^2=\cos^2 y,x=\pm\cos y$ ．故に $x$ と $y$ との関係は次の図の曲線で示される．もしも $\mathrm{arc\,sin}$ を主値とすればグラフは $ABC$ で，点 $B(0,\tfrac\pi2)$ が角立つ．しかし $y$ を主値と限らないならば，グラフは $A'BC$ または $ABC'$ のように滑らかな曲線（ $\mathrm{arc\,cos}\,x$ または $\mathrm{arc\,cos}(-x)$ の枝）である．

ファイル:解析概論第2章逆函数の微分法 fig8.png

$y$ を主値として微分すれば（§17 の最後参照）

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{1}{|x|}\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\mp\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (x\gtrless 0)$