解析概論/第2章/練習問題(2)

[編集] 練習問題（2）

(1)

$[a,\infty)$ において $f(x)$ が微分可能で $\textstyle\lim_{x\to\infty}f(x)=f(a)$ ならば， $\xi>a,f'(\xi)=0$ なる $\xi$ がある．（Rolle の定理の拡張）

(2)

$\textstyle a>0,\frac{d^n}{dx^n}\frac{1}{(1+x^2)^a}=\frac{P_n(x)}{(1+x^2)^{a+n}}$ とすれば， $P_n(x)$ は $n$ 次の多項式で，それは $n$ 個の相異なる実根を有し，それらの根は $P_{n-1}(x)$ の根によって隔離される．

［解］

問題 (1) の応用．

(3)

[1º]

$\textstyle \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}=(-1)^n H_n(x)e^{-x^2}$ とすれば $H_n$ は $n$ 次の多項式である［Hermite の多項式］． $H_n(x)$ の根に関しても，前の問題と同様の関係がある．

[2º]

$\textstyle e^x\frac{d^n}{dx^n}x^n e^{-x}=L_n(x)$ ［Laguerre の多項式］に関しても同様．

(4)

$(a,b)$ において $f(x,y)$ において $f(x)$ は第 $n$ 階まで微分可能で $x\to a+0$ のとき $f(x)\to l,f'(x)\to l_1,\ldots,f^{(n)}(x)\to l_n$ とする．もしも $f(a)=l$ とするならば，右への微分商の意味で $f'(a)=l_1,\ldots,f^{(n)}(a)=l_n$ ．

［解］

定理 23 の応用．

(5)

ある領域において $f_x,f_y$ は連続で，点 $(a,b)$ を除いては $f_{xy}$ は連続とする（すなわち点 $(a,b)$ では不連続かもしれないのである）．然らば

$\begin{align} f_{xy}(a,b)=\lim_{y\to b}f_{xy}(a,y)=\lim_{y\to b}f_{yx}(a,y),\\ f_{yx}(a,b)=\lim_{x\to a}f_{xy}(x,b)=\lim_{x\to a}f_{yx}(x,b), \end{align}$

ただし，右辺の $\lim$ が存在すると仮定するときに，左辺の $\lim$ が存在して，等式が成り立つのである．

［解］

同上（58 頁，［注意］）

(6)

$f(x,y)=x^2\,\mathrm{Arc\,}\tan\frac{y}{x}-y^2\,\mathrm{Arc\,}\tan\frac{x}{y}$

の $x=y=0$ における第二階の偏微分商を求めよ．（もちろん $x=0$ または $y=0$ のとき $f(x,y)$ の値は $\textstyle\lim_{x\to 0}$ または $\textstyle\lim_{y\to 0}$ で補充されたものとするのである．）

［解］

前の問題の応用．特に $f_{xy}(0,0)=-1,f_{yx}(0,0)=1$ ．

(7)

合成函数の微分． $F(u)$ において $u=\varphi(x)$ とすれば

$\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dx^n}F(u) =\sum_{k=1}^\infty\sum_i\frac{1}{i_1!i_2!\cdots i_n!}F^{(k)}(u) \left(\frac{\varphi'}{1!}\right)^{i_1} \left(\frac{\varphi''}{2!}\right)^{i_2}\cdots \left(\frac{\varphi^{(n)}}{n!}\right)^{i_n}.$

内の和は $i_1\geqq 0,i_2\geqq 0,\ldots,i_n\geqq 0,i_1+i_2+\cdots+i_n=k,i_1+2i_2+\cdots+ni_n=n$ なる整数 $i$ のすべての組合わせの上にわたる．ただし $0!=1$ とする．（Fáa di Bruno）

［解］

$F(u)$ を Taylor の公式で展開して， $u-u_0=\varphi(x)-\varphi(x_0)$ に $\varphi$ の Taylor 展開を代入して後 $(x-x_0)^n$ の項を集める．

(8)

$[a,b]$ において $f''(x)>0,f(a)>0,f(b)<0$ ならば

$a_1=a-\frac{f(a)}{f'(a)},\quad a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_2)},\ldots$

とするとき， $a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots$ は $[a,b]$ における $f(x)=0$ のただ一つの根に収束する（Newton の近似法）．

$f(a)<0,f(b)>0$ 　ならば　 $b_1=b-\frac{f(b)}{f'(b)},\ldots$

を取る． $f''(x)<0$ ならば $-f(x)$ を $f(x)$ に代用する．

［解］

$f'(x)$ が単調に増大することから，根がただ一つあることがわかる．その根を $\xi$ とする． $a_i$ が単調に増大して，しかも $\xi$ よりも小であることは $f(x)$ が凸函数であることからわかる．今かりに $\lim a_n=\lambda$ とすれば， $f'(a_1)<f'(a_2)<\cdots<f'(\lambda)<0$ だから，

$a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f'(a_n)}$ 　から　 $\lambda=\lambda-\frac{f(\lambda)}{f'(\lambda)},$ 　すなわち　 $f(\lambda)=0.$

従って $\lambda=\xi$ である．

［注意］

Taylor の公式， $\textstyle 0=f(\xi)=f(a_n)+f'(a_n)(\xi-a_n)+\frac{f''(\mu)}2(\xi-a_n)^2$ から $f'(a_n)$ で割って $\textstyle \xi-a_{n+1}=\frac{f''(\mu)}{2|f'(a_n)|}(\xi-a_n)^2 < \frac{f''(\mu)}{2|f'(a_n)|}(b-a_n)^2$ ．これから $\xi$ の近似値として， $a_{n+1}$ の誤差の程度がわかる（ $a_n<\mu<\xi$ ）．

［例］

一例として $\cos x=x$ の解を求めてみるとよい．ここでは

$f(x)=x-\cos x,\quad f'(x)=1-\sin x,\quad f''(x)=\cos x.$

解はただ一つで，それは区間 $[0,\pi/2]$ にあるが， $f(0)<0,f(\pi/2)>0$ だから $b,b_1,\ldots$ を用いる．さて $\cos$ の真数表を繰ってみれば，求める角は $42^\circ20'$ と $42^\circ21'$ との間にあることがわかる．よってラジアンに直して

$\begin{align} & a= 0.7388561, & &b=0.7391469,\\ &\cos a= 0.7392394, & &\cos b=0.7390435,\\ & f(a)=-0.0003833, & & f(b)=0.0001034, \end{align}$