解析概論/第2章/指数函数および対数函数

17．指数函数および対数函数

底 $a >1$ とすれば，指数函数 $y = a^x$ は区間 $-\infty< x< +\infty$ において連続かつ単調増大で，$0< y< \infty$．ゆえに逆函数 $\log_{a}x$ は区間 $0< x< \infty$ において連続で，単調に $-\infty$ から $+\infty$ まで増大する．

$a^x$ の微分法は周知であるが，これは基本的だから一応説明しておこう．

$a^x$ が微分可能ならば，

$\frac{d(a^x)}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} = a^x\lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h}$

だから，問題は

$\lim_{h\to 0} \frac{a^h - 1}{h},$

すなわち $x = 0$ における $D x^a$ を求めることに帰する．

まず $h >0$ とする．然らば $a^h >1$．故に $a^h=1+\frac{1}{t}$ と置けば，$t >0$．指数函数の連続性（§10）によって $h\to 0$ のとき，$a^h \to 1$，従って $t\to\infty$．

さて $h =\log_{a}(1+\tfrac{1}{t})$ だから

$\frac{a^h - 1}{h} =\frac{\frac{1}{t}}{\log_{a}(1 + \frac{1}{t})} =\frac{1}{\log_{a}(1 + \frac{1}{t})^{t}}.$

$h\to 0$ のとき $t\to\infty$，従って $(1 + \tfrac{1}{t})^{t} \to e$，（§9）．$\log_{a}x$ は連続函数だから，$h \to 0$ のとき $\log_{a}(1 + \tfrac{1}{t})^{t} \to \log_{a}e$．故に

$\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}=\frac{1}{\log_{a}e}=\log_{e}a.$

以上 $h >0$ とした．$h< 0$ ならば，$h$ の代わりに $-h$ と書けば，

$\frac{a^{-h}-1}{-h}=\frac{a^h-1}{h}\cdot\frac{1}{a^h}.\quad(h >0)$

$h\to 0$ のとき，$a^h\to 1$ だから，

$\frac{a^{-h}-1}{-h}\to\log_{e}a.$

故に

(1)

$\frac{d(a^x)}{dx} = a^x\log_{e}a.$

$0 < a < 1$ のときには $a^{x}$ は単調減少であるが，同様にして (1) を得る．特に $a = e$ とすれば，$\log_{e}e = 1$ だから，

(2)

$\frac{d(e^x)}{dx} = e^{x}.$

逆函数に移れば（定理 18）

$\begin{align} \frac{d \log_{a}x}{dx} &= \frac{1}{x \log_{e}a}, & &(a > 0, x > 0)\\ \frac{d \log_{e}x}{dx} &= \frac{1}{x}. & &(x > 0) \end{align}$	(3)
	(4)

(1) と (2) と，または (3) と (4) とを比較すれば，対数の底として $e$ を採用することの便利なる所以が了解される．解析学では，$\log$ は $e$ を底とするものと了解する．$e$ を底とする対数を自然対数（natural logarithm）といい，それを特記するために，$\mathop{\mathrm{log\,nat}}$ または略して $\ln$ などの記号を用いるが，通常は単に $\log$ と書く．すなわち，

$\log x = \log_{e}x = \mathop{\mathrm{log\,nat\,}} x = \ln x.$

要約すれば

$\begin{align} & D e^{x} = e^{x}. && D a^{x} = a^{x} \log a, \quad (a > 0).\\ & D \log x = \frac{1}{x}. \quad (x > 0) && D \log_{a}x = \frac{1}{x \log a}, \quad (a > 0,~x > 0). \end{align}$

［注意］ 

$\log x$ は $x >0$ に対してのみ定義されているから，上記のように $x >0$ のとき $D \log x = \frac{1}{x}$．然るに $x < 0$ に対しては，$D\log(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$ であるから，$x$ が負の場合も込めて，$D\log x = \frac{1}{x}~(x \neq 0)$．

対数微分法

　$u,v,w$ 等は微分可能な $x$ の函数とする．然らば，$u,v,w$ が $0$ でない点 $x$ において，$\log |uvw|$ も微分可能で（上記［注意］参照）

$D\log|uvw|=D(\log|u|+\log|v|+\log|w|=\frac{u'}u+\frac{v'}v+\frac{w'}w.$

然るにまた

$D\log|uvw|=\frac{(uvw)'}{uvw}.$

故に

$\frac{(uvw)'}{uvw}=\frac{u'}u+\frac{v'}v+\frac{w'}w. \quad (u\neq 0, v\neq 0, w\neq 0).$

同様に

$\left(\frac{u}v\right)' \bigg/\frac{u}v=\frac{u'}u-\frac{v'}v.$

これらはもちろん定理 15 からも導かれる．また

$\log a^{x} = x \log a \quad (a > 0)$

から

$\frac{D a^{x}}{a^{x}}{x^{a}} = \frac{a}{x}$

故に

$D x^{a} = a x^{a - 1}.$

このように (1) が対数微分法によって簡明に導かれる．

巾函数 $x^a~(x > 0).$

任意の指数 $a$ に関して

$\log x^{a} = a \log x,$

従って

$\frac{D x^{a}}{x^{a}} = \frac{a}{x},$

$D x^{a} = a x^{a - 1}.$

これが一般の巾函数の微分法の公式である．