解析概論/第2章/微分 導函数

13．微分　導函数

或る区間において，変数 $x$ の函数 $y=f(x)$ が与えられているとする．独立変数の二つの値 $x$，$x_1$ に対応する函数の値を $y$，$y_1$ として，

$x_1-x=\Delta x, \; y_1-y=\Delta y$

と略記する．然らば

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1-y}{x_1-x}$

は $x$ と $x_1$ との間の区間における函数 $y$ の平均の変動率である． 今 $x$ を固定して，$|\Delta x|$ を限りなく小さくするとき

$\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

なる極限値が存在するならば，それは函数 $y=f(x)$ の点 $x$ における変動率ともいうべきものであろう．この極限値を記号

$\frac{dy}{dx}$

で表わす． $\Delta x$，$\Delta y$ などは伝統的の記号であるが，もしも $\Delta x$ の代りに $h$ と書けば

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

上記の極限値が存在するとき，函数 $y=f(x)$ は点 $x$ において微分可能であるという．

もしも或る区間の各点 $x$ において $y=f(x)$ が微分可能ならば， $f(x)$ はその区間において微分可能であるという．その場合，極限値 $\tfrac{dy}{dx}$ は $x$ の函数である．その函数を $f(x)$ の導函数といい，それを記号 $f'(x)$ で表わす．すなわち上記条件の下において

$\frac{dy}{dx}=f'(x).$

記号 $\tfrac{dy}{dx}$ は Leibniz からの伝統である．$f'(x)$ は Lagrange の用例である．$f(x)$ を $y$ で表わす場合には，$f(x)$ を $y'$ または $\dot y$ で表わす．$\dot y$ は Newton の用例である．Cauchy は $D_x y$ または $D_x f(x)$ なる記号を用いた．独立変数を特記するに及ばないときには，添字を略して $D$ と書く．

$\frac{dy}{dx}=f'(x)=y'=\dot y=D_x y=Dy.$

これらの記号は一長一短である．現今は拘泥しないで，場合に応じて便宜流用する.

導函数（derived function，略して derivative）とは‘微分法によって $f(x)$ から導き出される函数’ということの略称である．導函数 $f'(x)$ は区間に関する称呼であるが，一点 $x$ における $\tfrac{dy}{dx}$ すなわち $\textstyle \lim\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ は Newton のいわゆる‘流動率’（fluxion）である．ドイツ系統では，Leibniz の伝統に従って，この極限値 $\tfrac{dy}{dx}$ を微分商（Differentialquotient）といっているが，英米系統では，それを改称して微分係数（differential coefficient）という.フランス系では，微分商も導函数も共に dériveé という.

函数 $y=f(x)$ のグラフにおいては，$\Delta y/\Delta x$ は 点 $(x,y)$ と点 $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ とを結ぶ弦の勾配で，$\tfrac{dy}{dx}$ は点 $(x,y)$ における接線の勾配である．

$\Delta x$，$\Delta y$ はグラフの上での点の座標の変動であるが，もしもグラフの代りに接線を取って，接線上における点 $(X,Y)$ の座標の変動を $dx$，$dy$ で表わして，$dx=X-x$（それは$\Delta x$と同一），また，$dy=Y-y$（それは$\Delta y$とは違う)とするならば

(1)

$dy=f'(x) dx$

は点 $(x,y)$ における接線の方程式にほかならない．そのように $dx$，$dy$ を単独に定義すれば，(1) の意味は明確である．しかし我々は点 $(x,y)$ の近傍においてのみ (1) を用いるつもりであるから， $dx$ を変数 $x$ の微分（differential），$dy$ をそれに対応する函数 $y$ の微分という.

上文で接線というような耳慣れた言葉を用いて，$\tfrac{dy}{dx}$ は接線の勾配などといったけれども，実際は，それは接線を定義したのにすぎない.すなわち $\tfrac{dy}{dx}$ が存在するときに，点 $(x,y)$において $\tfrac{dy}{dx}$ を勾配とする直線を $y=f(x)$ の接線というのである．よって今一度 $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$ から出直してみよう．

$\lim\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$ が存在するならば，$\tfrac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\varepsilon$，すなわち $\Delta x \ne 0$ のとき

(2)

$\Delta y=f'(x) \Delta x +\varepsilon \Delta x$

と置くとき，$\varepsilon$ は $x$ と $\Delta x$ に関係するが，$x$ を固定すれば，$\Delta x \to 0$ のとき $\varepsilon \to 0$． 今逆に $\Delta x \ne 0$ のとき

(3)

$\Delta y=A\cdot\Delta x +\varepsilon\cdot\Delta x$

で，$A$ は $x$ のみに関係して，$\Delta x$ には関係しない係数，また $\varepsilon$ は $x$ にも $\Delta x$ にも関係するが，$\Delta x \to 0$ のとき $\varepsilon\to 0$ と仮定してみよう．もしも (3) が成り立つならば，$\Delta x\to 0$ のとき $\tfrac{\Delta y}{\Delta x} = A + \varepsilon\to A$，すなわち $A=\lim \tfrac{\Delta y}{\Delta x}$，従って点 $x$ において $f'(x)$ が存在して，$A=f'(x)$．故に (3) が成立するのは，$f'(x)$ が存在するときに限り，その場合 (3) は (2) と同じものである．よって $f'(x)$ が存在するという仮定の下において (2) を考察する． さて (2) の右辺の第一項 $f'(x)\Delta x$ は $\Delta x$ に関して一次式である（我々は今 $x$ の値を固定している，従って変数は $\Delta x$ である）が，第二項では $\Delta x\to 0$ のとき $\Delta x$ の係数 $\varepsilon$ が限りなく小さくなるのだから，その $\varepsilon$ と $\Delta x$ との積なる $\varepsilon\cdot\Delta x$ は $\Delta x$ よりも高度に徴小になる．すなわち $\Delta x\to 0$ に際して，(2) の右辺の第一項なる $f'(x) \cdot \Delta x$ が $\Delta y$ の主要部である.そこで $\Delta y$ の主要部なる $f'(x)\cdot\Delta x$ を $x$ における函数 $y=f(x)$ の微分と名づけて，それを $dy$ で表わすことにする．すなわちこの定義によれば

(4)

$dy=f'(x)\Delta x.$

今同様の意味において，$x$ それ自身を $x$ の函数とみれば $x'=1$ だから

$dx=\Delta x.$

故に上記定義の下において，$\Delta x$ は $x$ の函数なる $x$ の微分である．これを (4) に代入すれば，

(5)

$dy=f'(x) dx.$

これを

(6)

$\frac{dy}{dx}=f'(x)$

と書くならば，記号 $\tfrac{dy}{dx}$ において $dx$ および $dy$ が各〻独立の意味を有するから，$\tfrac{dy}{dx}$ は商としての意味を有する．すなわち‘微分商’というものである．

このように，現代的の精密論法によって，Leibniz の漠然たる‘微分商’が合理化される．また (5) によれば，$f'(x)$ は微分 $dy$ における $dx$ の係数であるから，それを‘徴分係数’というのも，もっともではある．

$x$ が独立変数であるときには，上記の $dx=\Delta x$ ということは，あまりに細工が過ぎるようであるが，後に至って独立変数を変換するときに $\Delta x$ の代りに $dx$ と書くことの意味が了解されるであろう．

［注意］ 

上記 (2) によって，$\varepsilon$ は $x$ と $\Delta x$ との函数 $\varepsilon=\varepsilon (x,\Delta x)$ として，条件 $\Delta x\ne 0$ のもとで定義されたが，$\Delta x\to 0$ のとき $\varepsilon\to 0$ なのだから，$\varepsilon$ の定義を $\Delta x=0$ まで延長して，$\Delta x=0$ のとき $\varepsilon=\varepsilon (x,0)=0$ とすれば，$x$ を固定したとき $\Delta x$ の函数として，$\varepsilon$ は $\Delta x=0$ において連続となる．(3) においても，$\Delta x=0$ のとき $\varepsilon=0$ という仮定を追加して，$\varepsilon$ が $\Delta x=0$ で連続性を保つようにするのが自然である．後に至って，(2) あるいは (3) の式を，$\Delta x=0$ のときも含めて考察する必要を生ずるが，そのとき，$\Delta x=0$ に対する $\varepsilon$ の値は，上記のように定義されるものとする．

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