解析概論/第2章/微分可能性 全微分

22．微分可能性　全微分

函数 $z=f(x,y)$ を一点 $P=(x,y)$ の近傍において考察する．例の通り $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ と置く．さて

(1)

$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\varepsilon\rho,$

ただし，$A,B$ は $\Delta x,\Delta y$ には関係しない係数，すなわち点 $(x,y)$ において一定の値を有するもので，$\rho$ は定点 $(x,y)$ と動転 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ との距離（$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$），また $\varepsilon$ は $\Delta x,\Delta y$ に関係するが，$\rho\to 0$ のとき，$\varepsilon\to 0$ とする．すなわち 41 頁に述べた記号を用いるならば $\varepsilon\rho=o\rho$．そのとき函数 $z$ は点 $(x,y)$ において微分可能であるという． (1) が成り立つならば，$\Delta y=0$ すなわち $\rho=|\Delta x|$ とするとき

$\frac{\Delta z}{\Delta x}=A\pm\varepsilon,$

すなわちそのとき，$\Delta x\to 0$ と共に $\varepsilon\to 0$ だから，$(x,y)$ において $\tfrac{\partial z}{\partial x}$ が存在して，それが $A$ に等しい．同様に $\tfrac{\partial z}{\partial y}$ が存在して，それが $B$ に等しい．かつまた点 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ が一定の方向から点 $(x,y)$ に収束するとき，すなわち $\alpha$ が一定で，$\Delta x=\rho\cos\alpha,\Delta y=\rho\sin\alpha$ とするとき，

$\frac{\Delta z}{\rho}=A\cos\alpha+B\sin\alpha+\varepsilon,$

(2)

$\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z}{\rho}=A\cos\alpha+B\sin\alpha =\frac{\partial z}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial z}{\partial y}\sin\alpha.$

この場合，$\textstyle\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z}{\rho}$ は $\Delta x=\rho\cos\alpha,\Delta y=\rho\sin\alpha$ なる方向への偏微分商というものである．(1) は成り立つときは各方向への偏微分商が存在して，しかもそれが (2) によって与えられる． $z$ が微分可能なるとき，$\Delta z$ の主要部なる $\Delta x,\Delta y$ に関する一次式 $\tfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\tfrac{\partial z}{\partial y}\Delta y$ を $z$ の全微分といい，それを $dz$ で表わす．特に $z=x$，また $z=y$ のとき $dx=\Delta x,dy=\Delta y$（§13，参照）．故に全微分は

(3)

$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$

$z$ が微分可能なるときは $dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$ は $(x,y)$ において曲面 $z=f(x,y)$ に接する平面を表わす．この平面上の流通座標を $X,Y,Z$ とすれば，$dx,dy,dz$ はそれぞれ $X-x,Y-y,Z-z$ に等しく，接平面の方程式は

$Z-z=\frac{\partial z}{\partial x}(X-x)+\frac{\partial z}{\partial y}(Y-y)$

である．これが実は接平面の定義である．ただし我々は応用上点 $(x,y)$ の近傍においてのみ (3) を用いるのである．

$z=f(x,y)$ が或る領域の各点において微分可能であるとき，その領域において微分可能という．その場合 $f(x,y)$ はもちろんその領域において連続である．

定理 26．

或る領域において $\tfrac{\partial z}{\partial x},\tfrac{\partial z}{\partial y}$ が存在してかつ連続ならば，$z$ はその領域において微分可能である．

［証］

$\Delta x,\Delta y$ の代りに $h,k$ と書けば

$\begin{align} \Delta z&=f(x+h,y+k)-f(x,y)\\ &=\{f(x+h,y+k)-f(x,y+k)\}+\{f(x,y+k)-f(x,y)\}. \end{align}$

$x$ に関して平均値の定理を適用すれば

$f(x+h,y+k)-f(x,y+k)=hf_x(x+\theta h,y+k),\quad 0<\theta<1.$

仮定によって $f_x$ は連続だから，

$f_x(x+\theta h,y+k)=f_x(x,y)+\varepsilon$

と置けば $h\to 0,k\to 0$ のとき $\varepsilon\to 0$． 次に $y$ に関する偏微分が可能だから，

$f(x,y+k)-f(x,y)=kf_y(x,y)+\varepsilon'k$

と置けば $k\to 0$ のとき $\varepsilon'\to 0$．故に

$\Delta z=hf_x(x,y)+kf_y(x,y)+h\varepsilon+k\varepsilon'.$

$|h|\leqq\rho,|k|\leqq\rho,\,(\rho=\sqrt{h^2+k^2})$，従って $|h\varepsilon+k\varepsilon'|\leqq(|\varepsilon|+|\varepsilon'|)\rho$ だから

$\Delta z=hf_x(x,y)+kf_y(x,y)+o\rho,$

すなわち $z$ は微分可能である．

［注意］ 

定理 26 の仮定は過大である．上記証明では $f_x$ だけの連続性を用いた．故に領域内で $z_x,z_y$ が存在して，一点 $(x,y)$ において，どちらかが連続ならば，その点において $z$ は微分可能である．

---