解析概論/第2章/微分の順序

23．微分の順序

$f(x,y)$ をまず $x$ に関して微分して，導函数 $f_x(x,y)$ を得，次に $f_x$ を $y$ に関して微分して第二階の導函数の一つである $f_{xy}$ を得る．故に $f_{xy}$ と $f_{yx}$ とは観念上別々の物である．然るに或る条件の下において，$f_{xy}$ と $f_{yx}$ とが同一の函数になる．今そのうちで最も手近かなものを取るならば：

定理 27．

或る領域において $f_{xy},f_{yx}$ が連続ならばその領域で $f_{xy}=f_{yx}$．

［証］

領域内の任意の一点 $(a,b)$ の近傍を考察する．簡単のために

(1)

$\Delta=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)$

と置く．すなわち図の記号を用いて

$\Delta=f(P_3)-f(P_1)-f(P_2)+f(P).$

また

(2)

$\varphi(x)=f(x,b+k)-f(x,b)$

と置く．然らば $\varphi(a)=f(P_2)-f(P),\varphi(a+h)=f(P_3)-f(P_1),$

(3)

$\Delta=\varphi(a+h)-\varphi(a).$

仮定によって $(a,b)$ の近傍で $f_x$ が存在するから，(2) から

(4)

$\varphi'(x)=f_x(x,b+k)-f_x(x,b).$

そこで $x=a$ と $x=a+h$ との間の区間に関して，平均値の定理を $\varphi(x)$ 似適用すれば，

$\varphi(a+h)-\varphi(a)=h\varphi'(a+\theta h).\quad(0<\theta<1)$

(3)，(4) によって詳しく書けば

(5)

$\Delta=h\{f_x(a+\theta h,b+k)-f_x(a+\theta h,b)\}.$

さて仮定によって，$(a,b)$ の近傍で $f_{xy}$ が存在するから，(5) の右辺に $y=b$ と $y=b+k$ との間の区間に関して，平均値の定理を適用すれば

$\Delta=hkf_{xy}(a+\theta h,b+\theta'k).\quad(0<\theta'<1)$

仮定によって $f_{xy}$ は点 $(a,b)$ において連続である．故に

(6)

$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\Delta}{hk}=f_{xy}(a,b).$

$x,h$ と $y,k$ とを交換して考察しても同様に

(7)

$\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\Delta}{hk}=f_{yx}(a,b)$

を得る．(6)，(7) を比較すれば，点 $(a,b)$ において，すなわち領域内の各点において，

$f_{xy}=f_{yx}.$

［注意］ 

上記の証明を再考してみよう．(6) を得るまでには，定理の仮定の一部分，すなわち領域において $f_x,f_{xy}$ が存在することと，$f_{xy}$ が点 $(a,b)$ において連続であることだけを用いた．今その上に，領域内で $f_y$ が存在することを仮定するならば，(1) から

$\frac{\Delta}{hk}=\frac{1}{h}\left\{ \frac{f(a+h,b+k)-f(a+h,b)}{k}-\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k} \right\},$

従って $k\to 0$ のとき

$\frac{\Delta}{hk}\to\frac{1}{h}\{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)\}.$

然るに (6) によって，$k\to 0,h\to 0$ のとき，$\tfrac{\Delta}{hk}$ は一定の極限値 $f_{xy}(a,b)$ に収束する．故に $h\to 0$ のとき

$\lim\frac{1}{h}\{f_y(a+h,b)-f_y(a,b)\}=f_{xy}(a,b).$

左辺の極限値は定義によって $f_{yx}(a,b)$ であるから，

$f_{yx}(a,b)=f_{xy}(a,b).$

よって定理 27 の仮定を緩和して，次のようにいうことができる．

或る領域において，$f_x,f_y,f_xy$ が存在して，領域内の一点において $f_{xy}$ が連続ならば，その点において $f_{yx}$ も存在し，かつ $f_{xy}=f_{yx}$（Schwarz の定理）．もちろん $x$ と $y$ とを交換してもよい．

故に $f_x,f_y$ が存在する場合，例えば $f_{xy}$ を求めたときに，それが連続ならば，$f_{yx}$ を求めるには及ばない．

定理 27 でも，またはそれを精密にした Schwarz の定理でも，定理の仮定は $f_{xy}=f{yx}$ が成り立つための十分なる条件であるにすぎない．十分なる条件ならば，次のようにもいわれる．

或る領域において $f_x,f_y$ が（存在して，それらが）領域内の一点において微分可能ならば，その点において $f_{xy}=f_{yx}$（Young の定理）．

この場合にも上記証明中の (5) までは通用する．(5) において $h=k$ として $f_x$ の微分可能性の仮定を用いて（§22）

$\begin{alignat}{2} &f_x(a+\theta h,b+h)=f_x(a,b)+\theta hf_{xx}(a,b)+hf_{xy}(a,b)&&+oh,\\ &f_x(a+\theta h,b)=f_x(a,b)+\theta hf_{xx}(a,b) &&+oh. \end{alignat}$

これを (5) に代入して，$\Delta=h^2f_{xy}(a,b)+oh^2$，故に

$\lim_{h\to 0}\frac{\Delta}{h^2}=f_{xy}(a,b).$

仮定が $x,y$ に関して対称的であるから，$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)$ を得る．

Young の定理では $f_x,f_y$ の微分可能性，従って $f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$ の存在を仮定する．しかしそれらの連続性を仮定しない．Schwarz の定理では $f_x,f_y,f_{xy}$ の存在の上に $f_{xy}$ の連続性を仮定するが，$f_{yx}$（および $f_{xx},f_{yy}$）に関しては存在すらも仮定しない．場合に応じて便宜兼用すべきである．応用上は一般的に定理 27 で用が足りるであろう．

もちろん無条件で $f_{xy}=f_{yx}$ とはいわれない．それを認識することは重要だから，今その一例を挙げておく．

$\begin{cases} f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0)\\ f(0,0)=0 \end{cases}$

とする． $(x,y)\ne(0,0)$ として計算すれば

$f_x(x,y)=\frac{3x^2y-y^3}{x^2+y^2}-\frac{2x^2y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}.$

$x,y$ を交換して符号を変えれば $f_y$ を得る．また

$f_{xy}(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{8x^2y^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^3}.$

$(x,y)\ne(0,0)$ ならば，これは連続だから，$f_{yx}$ に等しい．さて，$\textstyle f_{xy}(0,y)=-1,(y\ne 0),\lim_{y\to 0}f_{xy}(0,y)=-1$．然るに $f_x(0,y)=-y,y\ne 0$ で，$f_x(0,0)=0$ だから $f_x(0,y)$ は $y=0$ で連続．故に $f_{xy}(0,0)=-1$（定理 23）．同様に $f_{yx}(x,0)=1$ から $f_{yx}(0,0)=1$．

第三階以上でも，導函数が連続ならば，それに達した微分の順序を変更してもよい．例えば $f_{xxy}=(f_x)_{xy}=(f_x)_{yx}=f_{xyx}$ のように相接する二つの添字を交換してもよいから，それを繰返えして

$f_{xyz}=f_{xzy}=f_{zxy}=f_{zyx}=f_{yzx}=f_{yxz},$

$f_{xxyy}=f_{xyxy}=f_{xyyx}=f_{yxxy}=f_{yxyx}=f_{yyxx},$　等々．

よって二つの変数の場合には第二階の導函数は

$f_{x^2}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\quad f_{y^2}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$

の三つで，第 $n$ 階のは

$f_{x^ry^s}=\frac{\partial^nf}{\partial x^r\partial y^s}\qquad (r+s=n,\, s=0,1,2,\ldots,n)$

の $n+1$ 個である．三次元以上もこれに準ずる．

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