解析概論/第2章/合成函数の微分

[編集] 15．合成函数の微分

$y=f(x)$ は区間 $x_0\leqq x\leqq x_1$ における $x$ の函数，また $\varphi(t)$ は区間 $t_0\leqq t\leqq t_1$ における $t$ の函数とする．もしも $\varphi(t)$ が $x_0$ と $x_1$ との間の値のみを取るならば， $y=f(x)$ において $x$ に $\varphi(t)$ を代入するとき， $y$ は区間 $[t_0,t_1]$ における $t$ の函数である．今

$y=f(\varphi(t))=F(t)$

と置く．もしも $f(x)$ も $\varphi(t)$ も連続ならば， $t\to t_0$ のとき $\varphi(t)\to\varphi(t_0)$ ．従って $f(\varphi(t))\to f(\varphi(t_0))$ ，すなわち $F(t)\to F(t_0)$ ．故に $y$ は $t$ に関して連続である．

定理 17．

もしも $f(x)$ も $\varphi(t)$ も微分可能ならば， $F(t)=f(\varphi(t))$ も微分可能で，

$F'(t)=f'(x)\cdot \varphi'(t),$

すなわち

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.$

これが函数の函数（合成函数）の微分法である．

［証］

$t$ の変動 $\Delta t$ に対応する $x$ の変動を $\Delta x$ ，それに対応する $y$ の変動を $\Delta y$ とすれば，

(1)

$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}.$

$\Delta t\to 0$ のとき

$\frac{\Delta x}{\Delta t}\to\frac{dx}{dt}.$

またそのとき $\Delta x\to 0$ ，従って

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\to\frac{dy}{dx}.$

故に

$\frac{\Delta y}{\Delta t}\to\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.$

すなわち

$F'(t)=f'(x)\cdot\varphi'(t).$

上記の大ざっぱな証明法が，我々に反省の機会を与える．

$x$ が独立変数ならば， $\Delta x$ は任意でかつ $\Delta x\ne 0$ であるが，上記の場合のように， $x$ が $t$ の函数であるときは， $\Delta t$ の値によっては $\Delta x=0$ でありうる．そのような場合には，(1) のように書くことは不合理である．このような粗雑な証明を補修するよりも，むしろ初めから仕直すのが早い．すなわち次のようにするのである．独立変数 $t$ の変動 $\Delta t$ に対応する $x$ および $y$ の変動を $\Delta x,\Delta y$ と書くことは上記の通りとして

$\Delta y=f'(x)\Delta x+\varepsilon\Delta x,\quad \Delta x=\varphi'(x)\Delta t+\varepsilon'\Delta t.$

と置けば， $\Delta t\to 0$ のとき， $\varepsilon'\to 0$ ，またそのとき $\Delta x\to 0$ ．ただしこの場合， $\Delta t\ne 0$ でも $\Delta x=0$ でありうるが，37 頁［注意］のように， $\Delta x=0$ のとき $\varepsilon=0$ と定義するのだから， $\Delta t\to 0$ のとき $\varepsilon\to 0$ ．よって

$\begin{align} \Delta y &= (f'(x)+\varepsilon)(\varphi'(t)+\varepsilon')\Delta t\\ &= f'(x)\varphi'(t)\Delta t+[ \varepsilon\varphi'(t)+\varepsilon'f'(x)+\varepsilon\varepsilon' ]\Delta t \end{align}$

において，右辺の第二の括弧 $[\quad]$ の中を $\varepsilon''$ と書けば，

$\Delta y=f'(x)\varphi'(t)\Delta t+\varepsilon''\Delta t,\quad \varepsilon''= \varepsilon\varphi'(t)+\varepsilon'f'(x)+\varepsilon\varepsilon'$

で， $\Delta t\to 0$ のとき $\varepsilon''\to 0$ ，故に

$dy=f'(x)\varphi'(t)dt.$

すなわち結果においては

$dy=f'(x)dx$

へ機械的に $dx=\varphi'(t)dt$ を持ち込むのと同様である．これが微分記号の便利なところである（37 頁参照）．同様に， $y$ は $x$ の函数， $x$ は $t$ の函数，また $t$ は $u$ の函数で，それらが微分可能ならば

$\frac{dy}{du}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\frac{dt}{du}$ 　等．

［附記］

微小数または無限小（infinitesimal）

独立変数の或る一定の変動に伴って $0$ に収束する変数を微小数または無限小という．例えば：

$x\to 0$	のとき	$\sin x,$
$x\to 1-0$	のとき	$\sqrt{1-x^2},$
$x\to +\infty$	のとき	$e^{-x},$
$x\to a,y\to b$	のとき	$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2},$

等々はいわゆる微小数である．

$\alpha$ も $\beta$ も微小数で，しかも $\tfrac{\beta}{\alpha}\to 0$ ならば， $\beta$ を $\alpha$ よりも高位の微小数 という．すなわち $\beta=\varepsilon\alpha$ と置けば， $\varepsilon\to 0$ である． $\alpha$ を標準にすれば， $\alpha$ よりも高度の微小数を一般的に記号 $o\alpha$ で表わす．この記号は， $\varepsilon\alpha$ において， $\varepsilon$ に関して精確なる値を知る必要がなくて，ただ $\varepsilon\to 0$ なることのみが用いられる場合に便利である．今その用例の二，三を示そう．

［例 1］

$\beta=o\alpha,\gamma=o\alpha$ ならば $\beta+\gamma=o\alpha$ あるいは $o\alpha+o\alpha=o\alpha$ ．ここで三箇所の $o\alpha$ は相等しいのではなく， $\alpha$ よりも高度の微小数を無差別に同じ記号 $o\alpha$ で表わして， $\tfrac{\beta}{\alpha}\to 0,\tfrac{\gamma}{\alpha}\to 0$ なるときは $\tfrac{\beta+\gamma}{\alpha}\to 0$ であることを簡明に略記するのである．

［例 2］

$u$ が有界ならば $uo\alpha=o\alpha,o(u\alpha+o\alpha)=o\alpha$ ．なぜなら： $u\varepsilon\alpha$ において $\varepsilon\to 0$ ならば， $u\varepsilon\to 0$ ；また $\varepsilon(u\alpha+\varepsilon'\alpha)=(\varepsilon u+\varepsilon\varepsilon')\alpha$ において $\varepsilon\to 0,\varepsilon'\to 0$ ならば， $\varepsilon u+\varepsilon\varepsilon'\to 0$ だから．

［例 3］

前頁に掲げた計算において

$\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x),$

$\Delta x=\varphi'(t)\Delta t+o(\Delta t),$

故に

［例 2］

$o(\Delta x)=o(\Delta t)$

従って

$\Delta y=f'(x)\varphi'(t)\Delta t+f'(x)o(\Delta t)+o(\Delta t)$

［例 2，例 1］

$=f'(x)\varphi'(t)\Delta t+o(\Delta t).$

独立変数の或る変動に伴って $\alpha,\beta$ が無限小になり，しかも $\omega=\beta/\alpha$ が有界ならば， $\alpha$ を標準として $\beta=O\alpha$ と書く． $\omega\to 0$ のときには $\beta=o\alpha$ だから， $o\alpha$ はもちろん $O\alpha$ であるが，逆は真でない．

特に $\omega\to a,a\ne 0$ ならば $\beta=O\alpha,\alpha=O\beta$ ．このとき $\alpha,\beta$ を同位の微小数という． $\beta$ が $\alpha^n$ と同位の微小数なるとき $\beta$ を $\alpha$ に関して $n$ 位の微小数という．

［注意］

記号 $o\alpha,O\alpha$ において， $\alpha$ が微小数なることは必要でない．例えば $x\to\infty$ のとき $\log x=o(\sqrt[n]{x})$ ，これは $\tfrac{\log x}{\sqrt[n]{x}}\to 0$ を示すのである．また $\varepsilon$ が微小数ならば $\varepsilon=o(1)$ ．

要するに $o\alpha$ においては記号 $o$ を $\varepsilon,\varepsilon'$ 等の因子で置き換えて，それを $\varepsilon\alpha,\varepsilon'\alpha$ などと書くとき， $\varepsilon\to 0$ また $\varepsilon'\to 0$ ならばよろしい．また $O\alpha$ においては $O$ を $\omega$ で置き換えるとき， $\omega$ が有界ならばよろしい．もちろんすべて独立変数の或る一定の変動に関していうのである．