解析概論/第2章/凸函数

[編集] 20．凸函数

高階導函数は逐次の導函数として定義されたから，原函数 $f(x)$ との関係が間接である．ただ第二階の導函数 $f''(x)$ は，直接に $f(x)$ に関連する或る簡明な性質を有する．

或る区間において函数 $y=f(x)$ が有界であるとして，例のとおり $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$ などと略記する．今 $y=f(x)$ のグラフの上で，任意の二点 $A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$ の間において，グラフが弦 $AB$ の下側にあるとき， $f(x)$ を（下に向かって）凸函数という．下側とは $y$ 軸の負の向きを下方とみなしていう．

反対の場合には，上に向かって凸という．ただし，ことわりなしに単に凸というときには，下に向かって凸を意味することと約束する．

上記凸函数の定義は解析的に（式で）いえば，次の通りである：

(1)

$x_1<x<x_2$ 　なるとき　 $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x & x_2 \\ y_1 & y & y_2 \end{vmatrix}\geqq 0.$

グラフの上の点を一般に $P=(x,y)$ とすれば，凸函数の場合，三角形 $APB$ の周上で $APB$ が正の向きであるから，面積（ $\geqq 0$ ）の $2$ 倍が (1) の行列式（符号をも入れて）で与えられるのである．幾何学的の意味を離れていえば，(1) を凸函数の定義とみればよい．

(1) から簡単な計算によって，同じく $x_1<x<x_2$ なる条件の下において

(1′)

$\frac{y-y_1}{x-x_1}\leqq\frac{y_2-y}{x_2-x}$

を得る．または $x-x_1>0,x_2-x>0$ を考慮して中間分数を挿入すれば

(1′′)

$\frac{y-y_1}{x-x_1}\leqq\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\leqq\frac{y_2-y}{x_2-x}$

すなわち符号をも考慮していえば， $AP$ の勾配が $PB$ の勾配よりも小で（大でない）， $AB$ の勾配はその中間にあるのである．

故に区間 $[x_1,x]$ の外では，グラフは弦 $AP$ の上側にある^{[* 1]}．

定理 25．

$f''(x)$ が存在する場合には，

(1º)

区間内で常に $f''(x)\geqq 0$ ならば， $f(x)$ は凸函数である．

(2º)

$f(x)$ が凸函数ならば，区間内で常に $f''(x)\geqq 0$ である．

［証］

(1º)

(1′) の左辺は $f'(\xi_1)$ に等しい．ただし， $x_1<\xi_1<x$ ．また右辺は $f'(\xi_2)$ に等しい．ただし $x<\xi_2<x_2$ ．すなわち $\xi_1<\xi_2$ ．さて $f''(x)\geqq 0$ ならば， $f'(x)$ は単調増大（不減少）であるから， $f'(\xi_1)\leqq f'(\xi_2)$ ．故に (1′) が成り立つ．すなわち $f(x)$ は凸函数である．

(2º)