解析概論/第1章/集積点

7．集積点

数の場合と同様に，二次元以上でも，或る一定の条件に適合する点の全部を一つの点集合という．集合に属するすべての点 $P = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ の各座標 $x_{k}$ が有界なるとき，点集合を有界という．そのとき，集合の点はすべて一定の有限範囲内にある．例えば一次元ならば一定の区間内，二次元ならば一定の正方形内または一定の円内にある，等々．

一つの集合 $S$ に関して或る点 $A$ が集積点であるとは，点 $A$ にどれほど近いところにも $S$ に属する点が無数にあることをさしていう．ただし $A$ が集合 $S$ に属するというのではない．

［例 1］

$x, y$ を任意の有理数として，点 $(x, y)$ の集合を $S$ とすれば，すべての点 $(a, b)$ は集積点である． なぜならば，$a$ または $b$ が有理数であっても，無理数であっても，任意の $\epsilon > 0$ に対して $|x-a| < \varepsilon, |y-b| < \varepsilon$ なる有理数 $x, y$ が無数にあるから．

［例 2］

$m, n$ を任意の自然数として，点 $(\tfrac{1}{m}, \tfrac{1}{n})$ の集合を $S$ とすれば，$(\tfrac{1}{m}, 0), (0, \tfrac{1}{n}), (0, 0)$ が集積点である．一般に，集積点の集積点は，やっぱり集積点である．

［注意］ 

数列 $\{a_{n}\}$ に含まれる数 $a_{n}$ の集合を $S$ とする．数列 $\{a_{n}\}$ の中に，同じ数 $a$ が無数に繰り返して出て来る場合には，$a$ は $S$ の集積点であるとは限らない．これに反し，$\{a_{n}\}$ に同じ数が無数に含まれることがなければ，$\{a_{n}\}$ が $a$ に収束することは，$S$ が有界で $a$ が $S$ の唯一の集積点であることと同等である．またその場合， $\varlimsup a_n, \varliminf a_n$ は，それぞれ $S$ の最大，最小の集積点にほかならない．

定理 9．

有界なる無数の点の集合に関して，集積点が必らず存在する［Weierstrass の定理］．

［証］

定理は各次元に通用するけれども，簡明のために二次元として証明をする．この集合 $S$ は有界だから，その点はすべて辺が軸に平行なる一つの正方形 $Q$ に含まれると考えてよい．正方形 $Q$ に $S$ の無数の点が含まれるから，今$Q$を四つの正方形に等分するならば，それらのうち少くとも一つは $S$ の無数の点を含む（内部または周上に，以下同様）．その一つを $Q_{1}$ とする．そのような正方形が二個以上あるとき，明確を欲するならば，象限順で最初のものを取ることにすればよい．さて $Q_{1}$ が $S$ に属する点を無数に含むから，$Q_{1}$ を四つの正方形に等分すれば，それらのうち少くとも一つ $Q_{2}$ は，必らず $S$ の点を無数に含まなければならない．このようにして行けば，$Q, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, \ldots$ なる正方形の一列が生じて，$n \to \infty$ のとき，$Q_{n}$ の辺は限りなく小さくなる．

今一般に $Q_{n}$ の四つの頂点の中で左下のもの（各座標が最小なるもの）を $(a_{n}, b_{n})$ とするならば，

$\begin{align} Q \supset Q_{1} \supset Q_{2} \supset \ldots \supset Q_{n} \supset \ldots \end{align}$

から，

$a \leqq a_{1} \leqq a_{2} \leqq \ldots \leqq a_{n} \leqq \ldots,$

$b \leqq b_{1} \leqq b_{2} \leqq \ldots \leqq b_{n} \leqq \ldots.$

これら二つの数列は明らかに有界だから，

$\lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha,\quad \lim_{n \to \infty}b_{n} = \beta.$　（定理 6）

然らば点 $P=(\alpha,\beta)$ は集積点である．

なぜならば，今 $(\alpha, \beta)$ を中心とするどれほど小さな円を取ってみても，十分大なる或る番号以上は，$Q_{n}$ がすべてその円に含まれる．然るに $Q_{n}$ は $S$ の点を無数に含むのだから，どれほど $(\alpha, \beta)$ に近いところにも，$S$ の点が無数に存在する．

上記の例 2 では，$Q$ は原点を一つの頂点とし，両軸上に長さ $1$ の辺を置く正方形としてよい．然らば $Q_{n}$ は $x$ 軸または $y$ 軸に接するものに限る．

$A$ が集合 $S$ の集積点ならば，$S$ から $A$ に収束する点列 $\{P_{n}\},(P_{n} \neq A)$ を取り出すことができる．実際，$P$ を $A$ とは異なる $S$ の任意の点として，$A$ から $AP$ の $\tfrac{1}{2}$ 以内の距離にある $S$ の点を $P_{1}(\neq A)$ とする．$A$ は集積点だから，そのような点は必らず存在する．同様に $AP_{2} < \tfrac{1}{2}AP_{1}, AP_{3} < \tfrac{1}{2}AP_{2}, \ldots$ なる点 $P_{2}, P_{3},\ldots$ を取れば，$AP_{n} < \tfrac{1}{2^n}AP$ だから，点列 $\{P_{n}\},(P_{n} \neq A),$ は $A$ に収束する．

［注意 1］ 

上方に有界なる数の集合 $S$ の上限 $a$ が $S$ に属しないならば，上限の意味から，$a$ は $S$ の集積点である．故に上記によって，$S$ から $a$ に収束する数列 $\{a_{n}\}$ を取り出すことができる．$a$ が $S$ に属するときは，$a_{n} = a$ とすれば，数列 $\{a_{n}\}$ は $a$ に収束する．いずれにしても，$S$ の上限に収束する数列を $S$ から取り出すことができる．下限についても同様である．

［注意 2］ 

点列 $\{P_{n}\}$ が有界ならば，$\{P_{n}\}$ の部分点列 $\{P_{m}\}$（番号 $m$ は自然数の一部分）を適当に取り出して，点列 ${P_{m}}$ が収束するようにすることができる．実際，$S$ を点 $P_{n}$ の集合とすれば，$S$ が無数の点の集合のときには，定理 9によって $S$ の集積点が存在するから，$S$ の一つの集積点に収束する $\{P_{n}\}$ の部分点列 $\{P_{m}\}$ を上記と同様の方法で取り出せばよい．また，もし $S$ が有限個の点の集合ならば，点列 $\{P_{n}\}$ の中に，同じ点 $P$ が無数に出てくるから，$P_{m} = P$ なる部分点列 $\{P_{m}\}$ を取り出せばよい．

$S$ に関する集積点は必らずしも $S$ に属する点ではないが，もしも，すべての集積点が $S$ に属するならば，$S$ を閉集合という．

例えば閉区間 $[a, b]$，または二次元では，周をも入れた円または正方形などは閉集合を成す．

$S$ が閉集合でないときに，$S$ に集積点をつけ加えて集合 $[S]$ を作れば，それは閉集合である： $S$ の集積点の集積点は，やはり $S$ の集積点であるからである．

この注意によって，区間縮小法を次のように拡張することができる．

定理 10．

有界なる閉集合の列 $S_1,S_2,\ldots$ において

(1º)

$S_1\supset S_2\supset\cdots\supset S_n\supset\cdots,$

(2º)

$n$ が限りなく増大するとき，$S_n$ の径が限りなく小さくなる

ならば，これらの集合 $S_n$ に共通する点がただ一つ存在する．

有界なる点集合の径とは，その集合に属する二点間の距離の上限をいう．故に，$S_n$ の径が限りなく小さくなるとは，$S_n$ が限りなく小さくなる円に含まれるというのと同じことである．

［証］

$S_1,S_2,\ldots$ から任意にそれぞれ点 $P_1,P_2,\ldots$ を取り出したとする．然らば (1º) によって $P_n,P_{n+1},\ldots$ は $S_n$ に属するから，(2º) によって点列 $\{P_n\}$ は Cauchy の収束条件を満たす．よって $\{P_n\}$ の極限を $A$ とする．或る番号から先の $P_m$ がことごとく同じ点であるときには，$P_m=A$ で $A$ は $S_n$ に属する．その他の場合には，$A$ は閉集合 $S_n$ の点 $P_n,P_{n+1},\ldots$ の集積点だから，$A$ は，やはり，$S_n$ に属する．$n$ は任意だから，$A$ はすべての集合 $S_1,S_2,\ldots$ に共通である．さて，これらの集合に共通なる点がただ一つに限ることは，仮定 (2º) によって明らかである．

（証終）

定理 9，10 に関連して，次の重要な定理を述べておく．

定理 11．

無数の円の一組が，全体として，有界なる閉集合 $F$ を覆うならば，$F$ はすでに，それらの円の中の有限個だけで覆われる［Heine-Borel の被覆定理］．

ここで $F$ を覆うというのは，$F$ に属する各点が，これらの円のどれかの内部にあることをいう．

［証］

かりに定理は真でないとする．然らば，$F$ を含む一つの正方形 $Q$ を取って，それを四つの小正方形に等分するとき，それらの小正方形（辺をも入れていう）のうちの少くとも一つに属する $F$ の部分集合に関して，定理は真でない．（さもなければ，$F$ において定理が真！）この部分閉集合を $F_1$，それを含む小正方形を $Q_1$ とする．同様の操作を繰り返して，閉集合の無限列 $F\supset F_1\supset F_2\cdots$ を得るが，それらは，それを含む小正方形と共に限りなく小さくなるから，$F$ に属する一点 $P_0$ を共有する（定理 10）．$P_0$ が $F$ に属するから，$P_0$ は与えられた円の中の或る一つの内部に含まれる．故に十分大きい $n$ に対して $F_n$ は，それを包む小正方形 $Q_n$ と共に全くこの円内に入る．これは $F_n$ に関する約束（$F_n$ において定理が真でないこと）に矛盾する．故に定理を承認せざるをえない．

（証終）

この証明において $F$ が閉集合であるという仮定が重大である．さもなければ，$P_0$ が $F$ に属することがでてこない．また $F$ の各点が円の内部に含まれることが肝要である．$P_0$ が円の周上にあるのでは，$n$ をどれほど大きくしても，$Q_n$ 従って $F_n$ が全くは円内に入らないかも知れないから，証明が拘束力を失うであろう．

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