解析概論/第1章/連続的変数に関する極限

9．連続的変数に関する極限

点 $P$ の函数 $f(P)$ が或る区域内において定義されているとする．そのとき $P$ がこの区域内において変動して，限りなく一つの定点 $A$ に近づくとき，それに伴って $f(P)$ が限りなく一定の値 $\alpha$ に近づくならば，$\alpha$ を $A$ における $f(P)$ の極限という．記号では

$P\to A$　のとき　$f(P)\to\alpha.$

または二次元を例に取って $P=(x,y),A=(a,b)$ とすれば，

$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=\alpha.$

詳しくいえば，$\varepsilon>0$ を任意に取るとき，それに対応して $\delta>0$ を定めて

$|x-a|<\delta,|y-b|<\delta,P\ne A$　なるとき　$|f(x,y)-\alpha|<\varepsilon$

ならしめることをうるのである．

このような極限に関しても，定理 5 と同様なる定理が成り立つこと明白である．すなわち

$P\to A$　のとき　$f(P)\to\alpha,g(P)\to\beta$　ならば，

$f(P)\pm g(P)\to\alpha\pm\beta,\quad f(P)g(P)\to\alpha\beta,\quad \frac{f(P)}{g(P)}\to\frac{\alpha}{\beta}$　（ただし $\beta\ne0$）．

極限値としての $+\infty,-\infty$ の意味も，数列の場合と同様である．

次の二つの例は基本的だから，周知であろうけれども，一応述べて置く．

［例 1］

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.$

$e$ は $n$ が自然数なるとき $\lim(1+\tfrac{1}{n})^n$ として定義されたのであったが（§4，［例 5］），連続的変数 $x$ に関しても標記の等式が成り立つのである．

それを証明するために $n\leqq x<n+1$（$n$ は自然数）とすれば，

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n <\left(1+\frac{1}{x}\right)^x <\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1},$

すなわち

$\cfrac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}} <\left(1+\frac{1}{x}\right)^x <\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right).$

$n\to\infty$ のとき，第一辺と第三辺とは極限値 $e$ に収束する（定理 5）．故に任意の $\varepsilon>0$ に対して一つの正数 $N$ を取って，$n\geqq N$ なるとき

$e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n,\quad \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}<e+\varepsilon$

ならしめうる．然らば $x\geqq N$ なるとき

$e-\varepsilon<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e+\varepsilon,$

すなわち

$\left|\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-e\right|<\varepsilon.$

故に

$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.$

［例 2］

$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1.$

半径 $1$ なる円において弧 $2x$ を張る弦が $2\sin x$ であるから，これは弧，従って弦が限りなく小さくなるとき，弦と弧との比の極限が $1$ に等しいというのである．これは弧長の定義（後述，§40）からの当然の帰結であるが，通常次のように説明する．

まず $x>0$ として証明をすれば十分である．さて $0<x<\tfrac{\pi}2$ なるときは

$0<\sin x<x<\tan x.$

弧 $\mathrm{AB}$ の長さは，弧に内接する折線の長さの上限として定義されるから，それは弦 $\mathrm{AB}$ よりも大で，折線 $\mathrm{ACB}$ よりも小である．

従って

(1)

$1>\frac{\sin x}{x}>\cos x.$

さて $0<\sin x<x$ から，$\textstyle\lim_{x\to 0}\sin x=0$．故に $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いて $\textstyle\lim_{x\to 0}\cos x=1$．故に (1) から標記の関係を得る．

（証終）

連続的変数に関しても，Cauchy の収束条件は適用される．それを説明するために，まず次の考察をする．

今 $\textstyle\lim_{P\to A}f(P)=l$ とするならば，$A$ に収束する任意の点列 $\{P_n\},P_n\ne A$，に関して $\textstyle\lim_{n\to\infty}f(P_n)=l$ なることは明白である．さて逆に $A$ に収束するすべての点列 $\{P_n\},P_n\ne A$，に関して $f(P_n)$ が収束すると仮定する．然らば $\textstyle\lim_{n\to\infty}f(P_n)$ は点列 $\{P_n\}$ の選択に無関係な一定の値を有するであろう．なぜなら，もしも

$P_n\to A$　のとき　$f(P_n)\to l,$

$P'_n\to A$　のとき　$f(P'_n)\to l'$

とすれば，$\{P_n\}$ と $\{P'_n\}$ とを合併して作られる点列（例えば $P_1,P'_1,P_2,P'_2,\ldots$）を $\{P''_n\}$ と書けば，$\{P''_n\}$ も $A$ に収束するから，仮定によって $f(P''_n)$ も収束する．その極限を $l''$ とする．然らば $\{f(P_n)\}$ も $\{f(P'_n)\}$ も $\{f(P''_n)\}$ の部分数列であるから，$l=l'',l'=l''$（定理 3）．従って $l=l'$，すなわち極限値 $l$ は一定である．

さてこの $l$ に関して，$P$ が任意に $A$ に近づくとき，

(2)

$\lim_{P\to A}f(P)=l$

であることを証明することができる．それを間接法でするために，(2) を否定してみよう．(2) を否定することは何を意味するか．それは或る $\varepsilon>0$ が存在して任意の $\delta>0$ に対して

$AP<\delta,P\ne A$　でかつ　$|f(P)-l|\geqq\varepsilon$

なる点 $P$ が存在することである．然らば $\tfrac{1}n\,(n=1,2,\ldots)$ に対応して

(3)

$AP_n<\frac{1}n,\quad P_n\ne A,\quad |f(P_n)-l|\geqq \varepsilon$

なる $P_n$ が存在するはずである．さて (3) によれば点列 $\{P_n\}$ は $A$ に収束するが，$f(P_n)$ は $l$ に収束しない．これは不合理である．故に (2) が成り立つ．

（証終）

さて Cauchy の収束条件は次のように述べられる．

$\textstyle\lim_{P\to A}f(P)$ が存在するために必要かつ十分なる条件は $\varepsilon$ に $\delta$ が対応して

$0<PA<\delta,\ 0<P'A<\delta$　なるとき　$|f(P)-f(P')|<\varepsilon$

なることである．

実際，この条件の下において，$\{P_n\},P_n\ne A$，を $A$ に収束する任意の点列とすれば，$f(P_n)$ は収束する（定理 8）．故に (2) によって $\textstyle\lim_{P\to A}f(P)$ は存在する．条件が必要なることは明白であろう．

［附記］ 

連続的変数に関する上極限，下極限

点 $P$ が限りなく定点 $A$ に近づくとき，$f(P)$ の上極限，下極限が，数列の場合と同様に定義される．今 $AP<t,P\ne A$ なる点 $P$ に対応する $f(P)$ の値の全体を $f$ の値域と名づける．$t$ が小さくなれば，値域は減縮するから，値域の上限 $l(t)$ は単調に減少（不増大）し，下限 $m(t)$ は単調に増大（不減少）する．$t\to 0$ のときそれらの極限 $\lambda,\mu$ が，それぞれ上極限，下極限である．記号で書けば

$\begin{align} &\lambda=\varlimsup_{P\to A}f(P)=\lim_{t\to 0}(\sup_{0<AP<t}f(P)),\\ &\mu=\varliminf_{P\to A}f(P)=\lim_{t\to 0}(\inf_{0<AP<t}f(P)). \end{align}$

故に $A$ に収束する任意の点列 $\{P_n\},P_n\ne A$，から生ずる数列 $f(P_n)$ の上極限の上限，下極限の下限がそれぞれ $\lambda,\mu$ に等しい．$\textstyle\varlimsup_{P\to A}f(P)$ は $P$ が限りなく $A$ に近づくとき，$f(P)$ がついには上越しえない最小限界で，$\textstyle\varliminf_{P\to A}f(P)$ は $f(P)$ がついには下越しえない最大限界である．

上限，下限として $\pm\infty$ をも許すならば，$\varlimsup,\varliminf$ は常に確定する．

$\varlimsup f(P),\varliminf f(P)$ が一致すれば，その共通の値はすなわち $\lim f(P)$ である．

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