解析概論/第1章/連続函数の性質

11．連続函数の性質

定理 12．

［中間値の定理］． 或る区間において連続なる函数 $f(x)$ が，この区間に属する点 $a,b$ において相異なる値 $f(a)=\alpha,f(b)=\beta$ を有するとき，$\alpha,\beta$ の中間にある任意の値を $\mu$ とすれば，$f(x)$ は $a,b$ の中間の或る点 $c$ において，この $\mu$ なる値を取る．すなわち

$a<c<b,\quad f(c)=\mu$

なる $c$ が存在する．

［証］

$\alpha<\mu<\beta$ として証明する．$F(x)=f(x)-\mu$ と置けば，$F(a)=\alpha-\mu<0,F(b)=\beta-\mu>0$．$F(x)$ は $[a,b]$ において連続で，$F(a)<0$ だから，$a$ の或る近傍では $F(x)<0$．故に $[a,\xi]$ において常に $F(x)<0$ なる $\xi$ が存在する．しかし $F(b)>0$ だから $\xi<b$．故にこのような $\xi$ に上限がある．それを $c$ とすれば，$F(c)=0$ でなければならない．もしも，かりに $F(c)<0$ とすれば，上記の区間 $[a,\xi]$ は $c$ を超えて延長されるであろう．それは $c$ の意味に反する．またもし $F(c)>0$ とすれば，十分小なる $\varepsilon$ に関して $f(c-\varepsilon)>0$ で $[a,\xi]$ の右端は $c-\varepsilon$ を超えない．それも $c$ の意味に反する．故に $F(c)=0$，すなわち $f(c)=\mu$．さて $a<c\leqq b$ であったが，$f(b)=\beta\ne\mu$ だから $c<b$ でなければならない．

（証終）

区域 上の二点 を結ぶ連続曲線 とその上の動点

定理 12 は二次元以上にも通用する．或る区域 $K$ において $f(P)$ が連続で，$K$ に属する点 $A,B$ において $f(A)=\alpha,f(B)=\beta$ とする．今 $K$ 内において $A,B$ を一つの連続曲線 $C$（例えば折線 $AB$）で連結して，$P$ はこの線上を動くとする．この線上任意の一点を起点として $P$ までの長さを $s$ とすれば，$C$ 上において $f(P)$ は変数 $s$ の連続函数である．それを $\varphi(s)$ とする．今点 $A,B$ に対応する $s$ の値を $a,b$ とすれば $\varphi(a)=\alpha,\varphi(b)=\beta$ で，$a<c<b$ なる $c$ において $\varphi(c)=\mu$．すなわち $s=c$ に対応する曲線 $C$ 上の一点 $P$ において $f(P)=\mu$．もちろん $\mu$ は $\alpha,\beta$ の中間の値である．

次に述べる定理は各次元に関して成立するけれども，たいていは一次元または二次元に関して説明する．変数の区域は閉じたものとする．すなわち境界をも入れていう．一次元ならば閉区間である．

定理 13．

有界なる閉区域 $K$ において連続なる函数 $f(P)$ は有界で，かつその区域において最大および最小の値に到達する．

［注意］ 

閉区域とせねばならない一例は $-\tfrac{\pi}{2}<x<+\tfrac{\pi}{2}$ における $\tan x$．

［証］

まず上界を論ずる．かりに $f(P)$ が上界を有しないとする．然らば $f(P_0)>0$ なる点 $P_0$ がある．同様に $f(P_1)>2f(P_0)$ なる点 $P_1$，$f(P_2)>2f(P_1)$ なる点 $P_2$，等々がある．$P_1,P_2,\ldots$ は，無数の相異なる点で，$K$ は有界なる閉区域だから，$K$ において集積点を有する（定理 9）．その一つを $A$ とする．さて $P_1,P_2,P_3,\ldots$ の部分列で，$A$ に収束するものを取って，それを $P_{\alpha_1},P_{\alpha_2}, \ldots,P_{\alpha_n},\ldots$ とする（15 頁参照）．然らば $\lim_{n\to\infty}f(P_n)=f(A)$．然るに $f(P_{\alpha_n})>2^{\alpha_n}f(P_0)$ で，$\alpha_n$ は限りなく大きくなるのだから，これは不合理である．故に $f(P)$ は上界を有する．下界も同様．

よって $K$ における $f(P)$ の値の上限，下限を $M,m$ とする．定理の後の部分は $K$ において $f(P)=M,f(Q)=m$ なる点 $P,Q$ が存在することである．

もしも $K$ において $f(P)\ne M$ とするならば，$F(P)=\tfrac{1}{M-f(P)}$ は $K$ において連続である．然るに $M-f(P)$ はどのようにも小さくなるから，$F(P)$ は有界でない．それは不合理である．故に $K$ において，$f(P_0)=M$ なる点 $P_0$ がある．$f(P)$ は $M$ よりも大きくはならないから，$M=f(P_0)$ が最大値である．最小値も同様．

定理 12，13 を総括していえば，閉区域における連続函数の値域は閉区間 $[m,M]$ である．

定理 14．

［連続の一様性］． 有界なる閉区域 $K$ において，$f(P)$ は連続とする．正なる $\varepsilon$ が任意に与えられたとき，それに対応して正なる $\delta$ があって，区域 $K$ の任意の点 $P,Q$ に関して

(1)

$PQ<\delta$　なるとき　$|f(P)-f(Q)|<\varepsilon$

になる．

［注意］ 

まず定理の意味を説明する．$K$ に属する一点 $P$ を固定すれば，$f(P)$ は $P$ において連続だから

(2)

$PQ<\delta_P$　なるとき　$|f(P)-f(Q)|<\varepsilon$

なる $\delta$ があるが，$P$ が変動すれば，$\delta$ も変わるであろうから，それを明示するために，$\delta$ の代りに $\delta_P$ と記したのである．然るに定理は $P$ の位置にかかわらず，一定の $\delta$ をもって (1) が成り立つというのである．故にそれを連続の一様性という．

区域 $K$ における $f(P)$ の連続性として，(1) が成り立つことを要望するのは，自然であるが，一点 $P$ における $f(P)$ の連続性を (2) のようにいい表わすのは技巧的である．然るに我々は各点 $P$ における‘原子的’の連続性をもって，区域 $K$ における連続性を定義した．このような暫定的の定義によって，はたして上記の要望が満たされるであろうか．そこに問題があるのだが，少なくとも有界なる閉区域に関しては，我々は然りと答えうるのである．

［証］

$K$ に属する点 $P$ を中心として半径 $r$ の円を画いて，その周上および内部の点の集合を $C(P,r)$ と名づける．円 $C(P,r)$ は区域 $K$ の外に跨る場合もあろう．よって，$C(P,r)$ の点の中で，$K$ にも属する点の集合を $C_r'$ とする．$C_r'$ は有界なる閉集合だから（16 頁脚註），定理 13 によって，$C_r'$ における函数 $f$ の最大値と最小値が存在する．その差を，その円 $C(P,r)$ に関する $f$ の振動量といい，それを $v(P,r)$ と書く．然らば $P$ を固定すれば，$r$ が増大するに従って，$v$ も増大（不減少）する．いま，閉集合 $K$ に関する $f$ の振動量を $V$ とする．もしも，$0\leqq V<\varepsilon$ ならば定理は明白である．よって，$0<\varepsilon\leqq V$ のときに証明をする．そのとき $v(P,r)<\varepsilon$ なる $r$ に上限がある．それを $\rho$ とする．$\rho$ は $P$ の函数だからそれを $\rho(P)$ と書けば，$\rho(P)>0$ である．実際，$f$ は $P$ において連続だから，十分小なる $r_0>0$ をとれば，$C_{r_0}'$ に属する任意の二点 $A,B$ に関し

$|f(A)-f(P)|<\frac\varepsilon2,\ |f(B)-f(P)|\frac\varepsilon2.$

従って，

$|f(A)-f(B)|\leqq|f(A)-f(P)|+|f(B)-f(P)|<\varepsilon.$

故に，$v(P,r_0)<\varepsilon$．それは，$\rho(P)\geqq r_0$ を意味する．すなわち，$\rho(P)>0$．

ファイル:図

さて $\rho(P)$ は連続函数であることを示そう．今円 $C(P,\rho)$ の内部に $K$ に属する点 $Q$ を取って，$Q$ を通る直径 $AB$ を引く．$Q$ を中心とし $QA$ よりも小なる半径を有する円は $C(P,\rho)$ の内部にあるから，その中における $f$ の振動量は $\varepsilon$ よりも小である．従って $\rho(Q)\geqq QA$．また $Q$ を中心として，$QB$ よりも大なる半径を有する円は $C(P,\rho)$ を内部に含むから，その中における $f$ の振動量は $\varepsilon$ よりも小でない（さもなければ $C(P,\rho)$ が拡大される）．従って $\rho(Q)\leqq QB$．さて $QA=\rho(P)-PQ,QB=\rho(P)+PQ$ だから

$\rho(P)-PQ\leqq\rho(Q)\leqq\rho(P)+PQ,$

従って

$|\rho(P)-\rho(Q)|\leqq PQ,$

すなわち $\rho(P)$ は連続である． 有界なる閉区域 $K$ において連続なる $\rho(P)$ は最小値を有する（定理 13）．それを $\rho_0$ とすれば，$\rho(P)>0$ だから，$\rho_0>0$ で $v(P,\rho_0/2)\leqq v(P,\rho/2)<\varepsilon$．すなわち $PQ<\rho_0$ なるとき $|f(P)-f(Q)|\leqq v(P,\rho_0)\leqq \varepsilon$．

（証終）

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