解析概論/第1章/練習問題(1)

練習問題（1）

(1)

$a_1>b_1>0;\; a_n=\tfrac12(a_{n-1}+b_{n-1}),b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}$ とすれば，数列 $a_n,b_n$ は同一の極限値に収束する．この極限値を $a_1,b_1$ の算術幾何平均という（Gauss）．

(2)

$a>0,b>0;\; a_1=\tfrac12(a+b),b_1=\sqrt{a_1b}$，一般に $a_n=\tfrac12(a_{n-1}+b_{n-1}),b_n=\sqrt{a_{n}b_{n-1}}$ とすれば，$l=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n$ が存在する．

[1º]

$|a|<b$ のとき，$a=b\cos x,\,-\pi<x<\pi$，と置けば，$l=b\tfrac{\sin x}x.$

[2º]

$a>b>0$ のとき，$a=b\cosh x$ と置けば，$l=b\tfrac{\sinh x}x$．ただし $\cosh x=\tfrac{e^x+e^{-x}}2,\,\sinh x=\tfrac{e^x-e^{-x}}2$（§54 参照）．

［注意］ 

[1º] において，直径 $1$ なる円に内接，外接する辺数 $n$ の正多角形の周の長さを $p(n),P(n)$ と書いて，$a=1/P(k),b=1/p(k)$ とすれば，$a_n=1/P(2^nk),b_n=1/p(2^nk)$ で，極限 $l=1/\pi$．故に $k=4$ または $k=6$ として，$\pi$ の近似値が求められる．これは円周率 $\pi$ の素朴なる計算法の整理である．ただし収束は，はなはだ緩慢である．

(3)

有界なる数列 $a_n,b_n$ に関して

$\begin{align} \varlimsup(a_n+b_n) &\leqq \varlimsup a_n +\varlimsup b_n,\\ \varliminf(a_n+b_n) &\geqq \varliminf a_n +\varliminf b_n, \end{align}$

ここで $\geqq$ または $\leqq$ は $=$ で置き換えられない．例： $a_n=(-1)^n,b_n=(-1)^{n+1}.$

和の代りに差，積，商を取ればどうか．

(4)

$x$ が無理数ならば，$f(x)=0$，$x=\tfrac{p}{q}$ が有理数（$\tfrac{p}{q}$ は既約分数で，$q>0$）ならば，$f(x)=\tfrac{1}q$ とする．このようにして区域 $x>0$ において定義される函数 $f(x)$ の連続性はどうであるか

［解］

$x$ が有理数ならば，$x$ において不連続．$x$ が無理数ならば，$x$ において連続

問題を少しく変更して，$x$ が小数 $n$ 桁までの十進数（すなわち $x=\tfrac{p}{10^n}$ で $p$ は $10$ で割れない整数）なるとき，$f(x)=\tfrac{1}{10^n}$ で，その他の $x$ に対しては $f(x)=0$ とするならば，結果は同様である．

(5)

$f(x),g(x)$ は $[a,b]$ において連続とする．もしも $[a,b]$ 内に稠密に分布されている点 $x$ において（例えば $x$ が有理数なるとき）$f(x)$ と $g(x)$ が相等しい値を取るならば，$[a,b]$ のすべての点 $x$ において $f(x)=g(x)$．

二次元以上でも同様である．

(6)

$f(x)$ は或る区間 $[a,b]$ の有理数 $x$ に関してのみ定義されていて，かつ連続の条件を満足するとする．すなわち $\varepsilon\text{-}\delta$ 式でいえば $|x-x'|<\delta$ なるとき，$|f(x)-f(x')|<\varepsilon$．そのとき，$f(x)$ の定義を拡張して区間 $[a,b]$ において連続なる函数が得られるであろうか？ （例： 25 頁に述べた $a^x$ の拡張．）

［解］

必要かつ十分なる条件は，上記の連続条件が一様性を有すること（$\varepsilon$ のみに関係して $x,x'$ に関係しない $\delta$ が存在すること）である．25 頁で，$a^x$ に関しては単調性を用いたが，今度は Cauchy の判定法を用いる．

有理数というのは一例で，区間内において稠密なる点集合でもよい．また二次元以上でも同様である．

(7)

$f(x)$ は $(a,\infty)$ で連続で $\lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x))=l$ ならば $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=l$．（Cauchy）

［解］

$f(x)$ に $f(x)-lx$ を代用すれば $l=0$ なる場合に帰して，幾分か簡単になる．一例として $f(x)=\log x$ が挙げられる．

(8)

$f(x)$ は区域 $K$ における連続函数で，$x$ が区域 $K$ に属するとき，$f(x)$ は区域 $G$ に属するとする．また，$g(y)$ は区域 $G$ における連続函数とする．然らば，$g(f(x))$ は区域 $K$ における連続函数である．

要約すれば，連続函数の連続函数は連続函数である．二次元以上でも同様である．

(9)

$a>0$ のとき $(a^x)^y=a^{xy}$ はすべての実数値 $x,y$ に関して成り立つ．ただし，$x,y$ が有理数なるとき，それは既知とする．

［解］

$f(x,y)=x^y$ が $x>0,y>0$ において，$x,y$ の連続函数であることを用いて，25 頁と同様に証明される（上記問題 (8) 参照）．$f(x,y)$ の連続性は，$xy$ 平面上の有界なる区域で，$f(x,y)$ が有理数 $x,y$ に関して，一様に連続の条件（問題 (6)）を満たすことから得られる．（この解法は，問題 (6) の適用の一例を示す．）

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