解析概論/第1章/数列の極限

[編集] 4．数列の極限

$a_1, a_2, \cdots , a_n, \cdots$ のように，無数の数を一定の順序に並べたものを数列という．その項 $a_n$ は自然数の範囲内において変動する変数 $n$ の‘函数’である．この函数が確定したときは，数列を $\{a_n\}$ と書く．さて $n$ が限りなく増大するとき， $a_n$ が一定の数 $\alpha$ に限りなく近づくならば，数列 $\{a_n\}$ は $\alpha$ に収束（あるいは収斂）するといい，また $\alpha$ を $a_n$

の極限という．記号では

$\lim_{n\to\infty}a_n = \alpha ,$

または見やすく

$n\to\infty$ のとき $a_n\to\alpha$

と書く．詳しくいえば，任意の正数 $\varepsilon$ が与えられたとき，それに対応して一つの番号 $n_0$ が

$n > n_0$ 　なるとき　 $|\alpha - a_n| < \varepsilon$

なるように定められるのである．

数列 $\{a_n\}$ が収束するとき，その極限 $\alpha$ は一意的に確定する．それは定義によって明白であろう．

もしも，どれほど大きい正数 $R$ を取っても，それに対応して

$n > n_0$ なるとき $a_n > R$

なる $n_0$ があるならば，記号 $\infty$ を用いて，標語的に

$\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ または $a_n\to\infty$

と書く．

$\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ または $a_n\to-\infty$

も同様である^{[* 1]}．

上記の定義によれば，収束する数列の若干項を取り去っても，そのあとに無数の項が残留すれば，同一の極限値に収束する．簡単にいえば

定理 3．

収束数列の部分数列は，もとの極限値に収束する．

極限が $\infty$ または $-\infty$ で表わされる場合も同様である．

これとは反対に，収束しない数列の部分数列が収束することは可能である．

例えば $a_n = (-1)^n$ のとき，その部分数列 $a_2, a_4, \cdots$ は1に収束し， $a_1, a_3, \cdots$ は $-1$ に収束する．

数列の各項 $a_n$ が絶対値において一定の数を超えないとき，その数列は有界であるという．有界なる数列は必らずしも収束しない（例 $a_n = (-1)^n$ ）．しかし，収束数列は有界で，その極限値も同じ限界を出ない．すなわち：

定理 4．

$a_n\to\alpha$ ならば， $|a_n| < M$ なる定数 $M$ がある．そうして $|\alpha| \le M$

［証］

一つの正数 $\varepsilon$ を取る．然らば仮定によって

$n > p$ 　なるとき　 $|\alpha - a_n| < \varepsilon$ ，すなわち　 $\alpha - \varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon$

なる自然数 $p$ がある．そこで

$|a_1|, |a_2|, \cdots , |a_p|, |\alpha - \varepsilon|, |\alpha + \varepsilon|$

（証終）

$|a_n| < M$ から $|\alpha| < M$ は得られない．例えば $a_n = 1 - \tfrac{1}{n} < 1, \alpha = 1$ ．

［注意］

$a_n\to\alpha$ のとき，或る数 $M$ があって，すべての $n$ に関して $a_n \le M$ ならば $\alpha \le M$ である．

このことは，ことわりなしに，しばしば用いられるであろう．証明は，定理4の証明後段と同様である．

定理 5．

$\{a_n\}, \{b_n\}$ が収束するとき，

(1º)

$\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n + \lim_{n\to\infty} b_n.$

(2º)

$\lim_{n\to\infty} (a_n-b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n - \lim_{n\to\infty} b_n.$

(3º)

$\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) = (\lim_{n\to\infty} a_n)(\lim_{n\to\infty} b_n).$

(4º)

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \cfrac{\lim_{n\to\infty} a_n}{\lim_{n\to\infty} b_n}.$

ただし，(4º) においては $\textstyle b_n \neq 0, \lim_{n\to\infty} b_n \neq 0$ とする．

［証］

$a_n\to\alpha, b_n\to\beta$ とする．(1º)，(2º) は明白であろう．さて

$\alpha\beta - a_n b_n = (\alpha - a_n)\beta + a_n(\beta - b_n)$

そこで $|\beta| < M, |a_n| < M$ （定理4）とすれば，

$|\alpha\beta - a_n b_n| \le M(|\alpha - a_n| + |\beta - b_n|)$

$n$ を十分大きくすれば，右辺はどれほどでも小さくなる．故に $a_n b_n \to \alpha\beta$ ．すなわち (3º) である． (4º) を証明するには，手数を省くために，まず

(4')

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{\beta}$

を証明するがよい．そうすれば (3º) によって

$\lim_{n\to\infty} a_n\cdot\frac{1}{b_n} = \alpha\cdot\frac{1}{\beta}$

を得る．それが (4º) である．さて

$\frac{1}{\beta} - \frac{1}{b_n} = \frac{b_n - \beta}{\beta b_n}.$

$\left|\frac{1}{\beta} - \frac{1}{b_n}\right| \le \frac{2|b_n - \beta|}{|\beta|^2}.$

$n$ を十分大きくすれば，右辺，従って左辺も，どれほどでも小さくなる．すなわち (4º) が証明されたのである．

定理 3，4，5 では数列が収束することを仮定したのであるが，逆に一つの数列が与えられたときに，それが収束するか，しないかを判定する方法は，後に述べるであろう．ここでは最も基本的なる単調数列だけを片づけて置く．

$a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n<\cdots$

のように，各項がその番号と共に増大する数列 $\{a_n\}$ を単調に増大するという．もしもこの数列が有界ならば，すべての $n$ に関して $a_n<M$ なる定数 $M$ がある．すなわち， $a_n$ の集合は有界である．今，その上限を $\alpha$ とする（定理2）ならば， $\alpha$ は数列 $\{a_n\}$ の極限である．なぜなら，今 $\alpha'<\alpha$ とすれば，上限の定義によって $\alpha'<a_p\leqq\alpha$ なる $a_p$ があるが，数列は単調に増大するのだから， $n>p$ のとき $\alpha'<a_n$ ．しかるに，すべての $n$ に関して $a_n\leqq\alpha$ であるから， $n>p$ なるとき， $\alpha'<a_n\leqq\alpha$ ，従って $|\alpha-a_n|<\alpha-\alpha'$ ． $\alpha'$ は $\alpha$ よりも小なる任意の数であったから $a_n\to\alpha$ ．もちろん $a_n\leqq M$ である．

単調増大の意味を拡張して（不減少）， $a_1\leqq a_2\leqq\cdots\leq a_n\leqq\cdots$ としても，同様である．

そうすれば，或る番号以上 $\leqq$ が全部 $=$ で， $a_p=a_{p+1}=\cdots=a_n=\cdots$ のようになる場合も生ずる．その場合には，これらの相等しい値が極限 $\alpha$ である．そうしても極限の定義の文字には抵触しない．

単調減少に関しても同様である．総括して：

定理 6．

有界なる単調数列は収束する．

単調数列が有界でないならば，増大の場合には $a_n\to +\infty$ ，減少の場合には $a_n\to -\infty$ ．これは明白である．

次に一，二の例を掲げる．

［例 1］

$a>0$ ならば， $\textstyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$ ．

［証］

(1º)

$a>1$ とする．然らば $\sqrt[n]{a}>1$ ．また $\sqrt[n]{a}>\sqrt[n+1]{a}$ ．故に $\{\sqrt[n]{a}\}$ は単調減少で，1が一つの下界である．従ってそれは $\alpha\leqq 1$ なる極限値を有する．今かりに $\alpha >1$ とするならば， $\alpha-1>h>0$ とするとき $\alpha>1+h$ で， $\sqrt[n]{a}>1+h$ ，従って $a>(1+h)^n>nh$ ．右辺は $n$ と共に限りなく増大するから，これは不合理である．故に $\alpha=1$ ．

(2º)

$a<1$ ならば $a'=\tfrac{1}{a}>1$ ，故に $\sqrt[n]{a'}\to 1$ ，従って $\sqrt[n]{a}\to 1$ （定理 5，(4º)）．

(3º)

$a=1$ のときは明白．

［例 2］

$a>1$ , $k>0$ ならば， $n\to\infty$ のとき $\tfrac{a^n}{n^k}\to\infty$ ．

［証］

(1º)

$k=1$ とする． $a=1+h$ と置けば， $h>0$ ．故に

$a^n=(1+h)^n=1+nh+\frac{n(n-1)}{2}h^2+\cdots>\frac{n(n-1)}{2}h^2$ ,

$\frac{a^n}{n}=\frac{(1+h)^n}{n}>(n-1)\frac{h^2}{2}.$

故に， $n\to\infty$ のとき，第三辺は限りなく増大するから， $\tfrac{a^n}{n}\to\infty$ ．

(2º)

$k<1$ とする． $\tfrac{a^n}{n^k}>\tfrac{a^n}{n}\quad(n>1)$ だから明白．

(3º)

$k>1$ とする． $a>1$ だから $a^{1\over{k}}>1$ ．故に1.によって任意に $M>1$ を取るとき，十分大なる $n$ に関して

$\frac{(a^{1\over{k}})^n}{n}>M,$ 　従って　 $\frac{a^n}{n^k}= \left[\frac{(a^\frac{1}{k})^n}{n} \right] ^k> M^k >M.$

故に $\tfrac{a^n}{n^k}\to\infty$ ．

［例 3］

$a>0$ ならば $\textstyle\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0$ ．

［証］

$k>2a$ なる一つの自然数 $k$ を取って $\tfrac{a^k}{k!}=C$ と書く．然らば $n>k$ のとき $\tfrac{a^n}{n!}=C\tfrac{a}{k+1}\tfrac{a}{k+2}\cdots\tfrac{a}{n}<\tfrac{C}{2^{n-k}}=\tfrac{C\cdot 2^k}{2^n}<\tfrac{C\cdot 2^k}{n}$ ．故になお $n>\tfrac{C\cdot 2^k}{\varepsilon}$ とすれば， $\tfrac{a^n}{n!}<\varepsilon$ ．

（証終）

［例 4］

$a_n \to\alpha$ ならば， $\tfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\to\alpha$ ．

［証］

$a_n=\alpha+b_n$ と置けば， $b_n\to 0$ ．そのとき

$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=\alpha+\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}$ ,

故に

$\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}\to 0$

なることを示せばよい． $\varepsilon >0$ とすれば，仮定によって一つの番号 $k$ よりも大きい $n$ に関して $|b_n|<\varepsilon$ ．さて $|b_1|, |b_2|, \cdots, |b_k|$ の最大のものを $A$ とすれば， $n>k$ なるとき

$\left|\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}\right|<\frac{Ak+\varepsilon(n-k)}{n}<\frac{Ak}{n}+\varepsilon$ .

$n$ を十分大きく取って， $\tfrac{Ak}{n}$ を $\varepsilon$ よりも小ならしめれば，

$\left|\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}\right|<2\varepsilon$ .

$\varepsilon$ は任意だから，これは 0 に収束する．

［例 5］

（ $e$ の定義）

$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right) ^n$

とすれば，二項定理によって

$\begin{align} a_n &= 1+\frac{n}{1!}\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\cdots+\frac{1}{n^n}\\ &= 1+1+\frac{1-\frac{1}{n}}{2!}+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)}{3!}+\cdots+\frac{\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)}{n!}. \end{align}$

$n$ の代りに $n+1$ を取れば，右辺において各項が増大して，かつ項数が増すから，数列 $\{a_n\}$ は単調に増大する．しかも上記の等式から見えるように

$\begin{align} a_n &< 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\ &< 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3. \end{align}$