解析概論/第1章/数の集合・上限・下限

[編集] 3．数の集合・上限・下限

或る一定の条件に適合する数の全部を集合という．その条件に適する個々の数はこの集合に属し，またその条件に適しない個々の数はこの集合に属しない．どんな数も，前者か後者か，いずれか一つでなければならない．

［例 1］

すべての有理数の集合．条件は有理数なることである．

［例 2］

$a$ , $b$ は定数で， $a<b$ とするとき $a\leqq x\leqq b$ なるすべての $x$ の集合．この集合を閉区間 $[a,b]$ という．

［例 3］

$a$ , $b$ は例2と同様として， $a<x<b$ なるすべての $x$ の集合．この集合を開区間 $(a,b)$ という．

［例 4］

$x^2<2$ なる有理数 $x$ の集合．（もちろん，このような $x$ の全部の集合の意味である．）

［例 5］

$x^2>2$ なる正の有理数 $x$ の集合．

［例 6］

$f(x)$ は与えられた函数（例えば多項式），また $a$ , $b$ は与えられた数であるとき $a<f(x)<b$ なる $x$ の集合．

集合 $S$ に属する数がすべて一つの数 $M$ よりも大［あるいは小］でないときには， $S$ は上方［あるいは下方］に有界であるといい， $M$ をその一つの上界［あるいは下界］という．上方にも下方にも有界ならば，単に有界という．

集合 $S$ に関して，上界または下界は確定でない．すなわち一つの上界よりも大なる数はやはり上界であり，また一つの下界よりも小なる数は下界である．故に集合の限界としては，なるべく小なる上界，および，なるべく大なる下界に興味がある．集合 $S$ に最大数があるならば，それは，もちろん上界の中で最小なるものであり，また $S$ に最小数があれば，それは下界の中で最大なるものである．さて次に証明するように， $S$ が有界ならば，最大または最小の数がないときにも，最小の上界および最大の下界が存在する．それらを $S$ の上限または下限という．故に上限，下限は必らずしも $S$ に属する数ではない．すなわち， $S$ に最大数がないときには，上限は $S$ に属しない．下限も同様である．

再言すれば，集合 $S$ の上限 $a$ とは次の条件 1, 2 に適合する数である．

(1º)

$S$ に属するすべての数 $x$ に関して $x\leq a$ ．

(2º)

$a'<a$ とすれば， $a'<x$ なる或る数 $x$ が $S$ に属する．

上記 (1º) は $a$ が $S$ の上界であること，(2º) は $a$ よりも小なる上界のないことを意味する．故に上限すなわち最小上界である．

下限に関しては不等号の向きを反対にすればよい．

例 1 の集合は上下共に有界でない．

例 2，3 の集合は有界で， $a$ が下限， $b$ が上限である．例2では，上限も下限も集合に属するが，例3では，上限も下限も集合に属しない．

例 4 の集合は有界であるが，最大数も最小数もなく， $\sqrt{2}$ 　が上限， $-\sqrt{2}$ が下限である．

例 5 の集合は上方に有界でないが，下方には有界で， $\sqrt{2}$ が下限である．

以上，上限下限の意味を述べたが，次にその存在の証明をする．

定理 2．

数の集合 $S$ が上方［または下方］に有界ならば $S$ の上限［または下限］が存在する［Weierstrass の定理］．

［証］

まずは $S$ は下方に有界であると仮定して，下限の存在を証明しよう．

$S$ の一つの下界を $a$ とすれば， $a$ よりも小なる数はやはり $S$ の下界である．よって $S$ の下界でありうる数の全部を $A$ 組とし，その他の数の全部を $B$ 組とすれば，一つの切断が生ずる．実際， $B$ 組に属する数は $S$ の下界でありえない数だから，それは，どんな下界よりも大でなければならない．従って $A$ 組に属する数よりも大である．