解析概論/第1章/数の連続性

2．数の連続性

実数に関して前節で述べたことは，誰もが承認することを仮定したのであったが，数の連続性は解析学の基礎であるからそれを説明しなければならない．

すべての数を $A,B$ の二組に分けて，$A$ に属する各数を $B$ に属する各数よりも小ならしめることができたとするとき，このような組分け $(A,B)$ を Dedekind の切断といい，$A$ を下組，$B$ を上組という．

切断 $(A,B)$ において，どんな数も，もれなく，下組か上組のいずれか一方，しかも一方のみに属するという規約は厳重である．

今一つの数 $s$ を取って，$s$ よりも小なる数をすべて下組に入れ，$s$ よりも大なる数をすべて上組に入れるとする．切断を完成させるためには，$s$ 自身も下組または上組に入らなければならないが，もしも $s$ を下組に入れるならば，$s$ は下組の最大数で，そのとき上組に最小数はない．またもし$s$ を上組に入れるならば， $s$ は上組の最小数で，そのとき下組に最大数はない．このように任意の数 $s$ を境界とする切断ができるが，重要なのはその逆である．すなわち次の定理が成り立つ．

定理 1．

実数の切断は，下組と上組を境界として，一つの数を確定する［Dedekindの定理］．

すなわち切断 $(A,B)$ が与えられたとき，一つの数 $s$ が存在して，$s$ は $A$ の最大数または $B$ の最小数であり，初めの場合には $B$ に最小数はなく，後の場合には $A$ に最大数がないのである．前のように，初めに $s$ を取って，それを境界として切断 $(A,B)$ を作るのではなく，反対に切断 $(A,B)$ があるとき，それによって $s$ が決定されるのである．

これが実数の連続性である．今我々はこの定理は承認されたものとして，それを基礎として，理論を組立てることにする．

大小の順序のあるところには切断ができるが，理論上切断の三つの型が可能である．すなわち

(1º)

下組に最大数があり，同時に上組に最小数がある．約言すれば，下組と上組の間に飛び（leap）がある．

(2º)

下組に最大数がなく，かつ上組に最小数がない．すなわち下組と上組の間に途切れ（gap）がある．

(3º)

下組または上組に端（最大または最小）があって，他の一方には端がない．すなわち下組と上組は連続している．

Dedekind の定理は実数の切断は (3º) の型に限ることをいうのである．

整数の範囲内では，切断は (1º) の型に限る．有理数の範囲内では，二つの有理数の中間に必ず他の有理数がある（有理数の稠密性）から，(1º) の型の切断は不可能であるが，一方 (2º) の型の切断が可能である．例えば $b>\sqrt{2}$ なる有理数 $b$ を上組 $B$ とし，その他の有理数 $a$ を下組 $A$ とすれば， $s=\sqrt{2}$ なる有理数 $s$ はないから，$(A,B)$ は有理数の切断であるが，それは (2º) の型である．このように有理数だけなら，一つの有理数にも触れないで，それを $A,B$ の二組に切り離してしまうことができる．このような状態を Dedekind は切断（Schnitt）なる語で示唆したのであろう．

しかし無理数をも入れてしまえば，このような切り離しはできない．実数の範囲内では，切断の切れ目（下組と上組との境界）に必らず実数がある．それが実数の連続性である．

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