解析概論/第1章/数の概念

1．数の概念

数の概念および四則算法は既知と仮定する．初めのうちは実数のみを取扱うから一々ことわらない．次の用語は周知である．

自然数

$1, 2, 3$ 等．物の順位または物の集合の個数を示すために用いられる．

整数

$0, \pm1, \pm2$ 等．自然数は正の整数である．

有理数

$0$ および $\pm\frac{a}{b}$，ただし $a,b$ は自然数．$b=1$ なるとき，それは整数である．

無理数

有理数以外の実数．例えば

$\begin{align} \sqrt{2} &= 1.4142135\ldots,\\ e &= 2.718281828\ldots,\\ \pi &= 3.1415926535\ldots, \end{align}$

（ただし，それらが有理数でないことは証明を要する．）

十進法

実数を十進法で表すことも周知である．有理数を十進法で表わせば，数字は有限か，または無限ならば循環小数になる．ただし，有限位数の十進数を循環小数の形に表わすこともできる．例えば $0.6=0.5999...$．無理数を十進数で表わすならば，無限の位数を要し，数字は決して循環しない．

我々が十進法によって数を表わすに至ったのは，手指の数にその原因があるのであろうが，理論上は1以外の任意の自然数を基本として，十進法と同様の方法によって，数を表わすことができる．

特に二進法では，数字は $0$ と $1$ とだけで足りる．有理数を二進法で表わせば，分母が $2$ の巾になるもののほかは，循環二進数になる．

［例］

$\begin{align} \frac{5}{8} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} = (0.101).\\[10pt] \frac{5}{8} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \cdots = (0.100111\ldots).\\[10pt] \frac{2}{3} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^5} + \cdots = (0.101010\ldots). \end{align}$

数の幾何学的表現

解析学では便宜上自由に幾何学の術語を流用する．例えば座標法によって実数を直線上の点で表現する．その方法は周知である．直線 $XX'$ の上で，$0$ を表わす点 $O$ は座標の原点で，また $1$ が半直線 $OX$ 上の点 $E$ で表わされるとすれば，$OE$ は長さの単位である．一般に $x$ を表す点 $P$ は，$x$ が正あるいは負なるに従って，半直線 $OX$ あるいは $OX'$ の上にあって，$OP$ の長さがすなわち $x$ の絶対値である．それを $|x|$ と書く．このようにして実数 $x,x'$ が点 $P,P'$ で表わされるならば，$|x-x'|$ は $PP'$ の長さである． 絶対値に関する次の関係は，しばしば引用される．

$|x| + |x'| \geqq |x+x'| \geqq |x| - |x'|.$

これも周知である．

二つの実数 $x,y$ を一組として，それを $(x,y)$ と書くならば，個々の組 $(x,y)$ と平面上の個々の点 $P$ との間に，座標法によって一対一の対応が成立する．このとき $(x,y)$ を点 $P$ と略称する．通常は直交座標を用いる．

同じように，三つの実数の組 $(x,y,z)$ は空間の一点によって表わされる．

なお一般に，$n$ 個の実数の一組 $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ を $n$ 次元空間の一点といい，それを一つの文字 $P$ で表わす．

今 $P=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),P'=(x_{1}',x_{2}',\ldots,x_{n}')$ なるとき

$\sqrt{(x_{1}-x_{1}')^2 + (x_{2}-x_{2}')^2 + \cdots + (x_{n}-x_{n}')^2}$

なる数を $P,P'$ の距離と略称して，それを $PP'$ と書く．然らば‘三角関係’ $PP' + P'P'' \geqq PP''$ が成り立つ．もしも $P$ を固定すれば

$PP'^2=(x_{1} - x_{1}')^2 + (x_{2} - x_{2}')^2 + \cdots + (x_{n} - x_{n}')^2 < \delta$

なる点 $P'$ は，$P$ を中心とする半径 $\delta$ なる ‘$n$ 次元の球’の内部にあるという．もしまた

$|x_{1} - x_{1}'| < \delta,\quad |x_{2} - x_{2}'| < \delta,\quad \ldots ,\quad |x_{n} - x_{n}'| < \delta,$

いい換えれば

$\mathrm{Max}( |x_{1} - x_{1}'|, \ldots, |x_{n} - x_{n}'|) < \delta$

ならば，$P'$ は $P$ を中心として稜が座標軸に並行で，その長さが $2\delta$ なる‘$n$ 次元の立方体’の内部にあるという．

我々は言語の短縮を欲するために，上記のような幾何学的の表現法を用いるのであるから，文字に拘泥して，$n$ 次元空間に関して奇怪な空想をほしいままにする必要はない．しかし，このような表現法が印象を鮮明にすることの効果は，容易に承認されるであろう．

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