解析概論/第1章/収束の条件Cauchyの判定法

6．収束の条件　Cauchy の判定法

定理 8．

数列 $\{a_n\}$ が収束するために必要かつ十分なる条件は，任意の $\varepsilon>0$ に対応して番号 $n_0$ が定められて，

$p>n_0,\quad q>n_0$　なるとき　$|a_p-a_q|<\varepsilon$

なることである．

［証］

条件が必要なることは明白であろう： 今 $a_n\to\lambda$ とすれば，収束の意味によって，

$p>n,\ q>n,\ |a_p-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2},\ |a_q-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}$

なる $n$ が定められる．従って $|a_p-a_q|<\varepsilon$． 定理の核心は条件が十分なることである．まずこの条件から数列 $\{a_n\}$ が有界であることがでてくる．実際，上記条件に従って，一つの $\varepsilon$ に $n_0$ が対応するとすれば， $p>n_0$ なるとき

$|a_{n_0+1}-a_p|<\varepsilon,$

$a_{n_0+1}-\varepsilon<a_p<a_{n_0+1}+\varepsilon$

だから， $n_0$ より大きい番号に関しては $\{a_n\}$ は有界である． $n_0$ は確定だから，有限個の数 $a_1,a_2,\ldots,a_{n_0}$ をつけ加えても，$\{a_n\}$ は有界である． よって今任意の $n$ に関して，$a_n,a_{n+1},\ldots$ の上限および下限をそれぞれ $l_n,m_n$ として，$I_n=[m_n,l_n]$ と置けば，

(1)

$m_1\leqq m_2 \leqq \cdots \leqq m_n \leqq \cdots\cdots \leqq l_n \leqq \cdots \leqq l_2 \leqq l_1,$

$I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_n\supset\cdots.$

さて仮定によって， $\varepsilon>0$ に $n_0$ が対応して， $p>n_0,q>n_0$ なるとき

$a_p-a_q<\varepsilon.$

よって， $n>n_0$ とすれば，上限の意味により，任意の $q\geqq n$ に対して $l_n-a_q\leqq\varepsilon$ ．従って，下限の意味により

$l_n-m_n\leqq\varepsilon$

であるから，区間縮小法によって，

$l_n\to\lambda,m_n\to\lambda$

なる $\lambda$ が存在する．然らば

$a_n\to\lambda$

でなければならない．実際， $a_n$ は区間 $[m_n,l_n]$ に属するから，十分大なる $n$ に関して，

$|a_n-\lambda|\leqq l_n-m_n\leqq\varepsilon.$

（証終）

［附記］ 

上極限・下極限

上記証明において，(1) は数列 $\{a_n\}$ の有界性だけから導かれたのであった．(1) において，単調数列 $\{l_n\},\{m_n\}$ は収束する．その極限を $\lambda,\mu$ とするとき， $\lambda$ を有界数列 $\{a_n\}$ の上極限（limes superior）といい，それを記号 $\textstyle\limsup_{n \to \infty}a_n$ あるいは見やすく $\textstyle\varlimsup_{n \to \infty}a_n$ で表わす．同様に $\mu$ を $\{a_n\}$ の下極限（limes inferior）といい， $\textstyle\liminf_{n \to \infty}a_n$ または $\textstyle\varliminf_{n \to \infty}a_n$ と書く．このように有界数列 $\{a_n\}$ は常に上極限 $\lambda$ と下極限 $\mu$ とを有して， $\mu \leqq\lambda$ であるが，それらが一致するときに限って，数列は収束して

$\lim_{n \to \infty}a_n =\lambda=\mu.$

(I)

上極限 $\lambda$ は次の性質を有する．

(1º)

$\lambda$ よりも大なる $\lambda+\varepsilon$ を取れば，十分大なる $n$ に関して常に $a_n<\lambda+\varepsilon$ ．

(2º)

$\lambda$ よりも小なる $\lambda-\varepsilon$ を取れば

$\lambda-\varepsilon<a_n$

なる $n$ が無数にある．

実際， $\lambda$ の定義によって，$n$ が十分大きいとき $l_n<\lambda+\varepsilon$ だから， $a_n\leqq l_n<\lambda+\varepsilon$ ．それが (1º) である．また $a_p,a_{p+1},\ldots$ の上限としての $l_p$ の意味によって，任意の $p$ に関して $\lambda-\varepsilon\leqq l_p-\varepsilon<a_n,n\geqq p$ ，なる $a_n$ がある． $p$ は任意だから，このような $a_n$ が無数にある（$n$ の異る $a_n$ は区別していう）．それが (2º) である．

上記 (1º)，(2º) を換言すれば：

(II)

どんなに $\lambda$ に近いところにも無数の $a_n$ がくる．しかし $\lambda$ よりも大なる $\lambda'$ を取れば，このようなことはない．

あるいは：

(III)

$\{a_n\}$ の部分数列で $\lambda$ に収束するものはあるが， $\lambda$ よりも大なる $\lambda'$ に収束するものはない． $\lambda$ を $\{a_n\}$ の上極限というのは，それを示唆するのである．

下極限 $\mu$ に関しては上記 (I)，(II)，(III) において大小の関係を逆にすればよい．

有界でない数列 $\{a_n\}$ に関しても上極限，下極限を定義することが，応用上便利である．それをなるべく簡明に述べるために，(III) において収束数列の極限として $+\infty,-\infty$ を許容することにする．よって

　

$\{a_n\}$ が上方に有界でないならば $\varlimsup a_n=+\infty$，

　

$\{a_n\}$ が下方に有界でないならば $\varliminf a_n=-\infty$，

　

$\{a_n\}$ が上方に有界で下方に有界でないときには， $l_n\to\lambda$ または $l_n\to-\infty$ に従って $\varlimsup a_n=\lambda$ または $\varlimsup a_n=-\infty$ ． $\{a_n\}$ が下方に有界で，上方に有界でないときの $\varliminf a_n$ も同様である．

$\pm\infty$ をも入れていえば，任意の数列 $\{a_n\}$ に関して $\varlimsup a_n,\varliminf a_n$ は常に存在するが，それらが一致するときに限って，その共通の値として $\lim a_n$ が存在する．

［例 1］

$a_n=\tfrac{(-1)^n n+1}{n},\varlimsup a_n=1,\varliminf a_n=-1.$

［例 2］

$a_{2n}=1+\tfrac{(-1)^n}{n},a_{2n-1}=\tfrac{(-1)^n}{n}$ ．すなわち数列は $-1,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},\ldots$ で，$\varlimsup a_n=1,\varliminf a_n = 0$．ここでは，数列中に $1$ よりも大きい項も，$0$ よりも小さい項も無数にある．

［例 3］

$a_n=(-1)^n n.\varlimsup a_n=+\infty,\varliminf a_n=-\infty.$

［例 4］

$a_n=\cos\,n\alpha$ （ただし $\pi/\alpha$ は無理数）．$\varlimsup a_n=+1.\varliminf a_n=-1.$

（証明はむつかしいが， $\alpha/\pi$ が無理数ならば，単位円周上の定点 $A$ を起点として同じ向きに長さが $n\alpha$ なる弧 $AP_n$ を取れば，点 $P_n$ は円周上に稠密に分布される）．

点列

一次元における数列と同じように，二次元でも，順位を示す各自然数 $n$ に対応して点 $P_n=(x_n,y_n)$ が定められるとき，点列 $\{P_n\}$ が生ずる．

点列 $\{P_n\}$ の極限とは，次の条件に適する定点 $A=(a,b)$ をいう： すなわち，どれほど小なる正数 $\varepsilon$ を取っても，それに対応して番号 $n_0$ を十分大きく取れば，

$n>n_0$ なるとき $AP_n<\varepsilon$

なることをいうのである．そのとき点列 $\{P_n\}$ は $A$ に収束するという．

距離 $AP_n$ とは $\sqrt{(a-x_n)^2+(b-y_n)^2}$ をいう（§1．参照）．それが $\varepsilon$ よりも小ならば，もちろん $|a-x_n|<\varepsilon,|b-y_n|<\varepsilon$ であるが，逆にこれから $AP_n<2\varepsilon$ を得る．故に $P_n\to A$ は

$\lim_{n\to\infty}x_n=a,\ \lim_{n\to\infty}y_n=b$

にほかならない．

三次元以上でも同様である．点列の収束に関しては，Cauchy の判定法を次のように述べることができる．

点列 $\{P_n\}$ が収束するために必要かつ十分なる条件は，正なる $\varepsilon$ を任意に取るとき，それに対応して自然数 $n_0$ が定められて，$n_0$ よりも大なる任意の $m,n$ に関して $P_mP_n<\varepsilon$ なることである．

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