解析概論/第1章/区間縮小法

5．区間縮小法

定理 7．

閉区間 $I_n=[a_n,b_n]\, (n=1,2,\ldots)$ において，(1º) 各区間 $I_n$ がその前の区間 $I_{n-1}$に含まれ，(2º) $n$ が限りなく増すとき，区間 $I_n$ の幅 $b_n-a_n$ が限りなく小さくなるとすれば，これらの各区間に共通なるただ一つの点が存在する．

この定理によって一つの数（各区間に共通なる数）を確定することを，区間縮小法という．

［証］

仮定 (1º) によって

$a_1\leqq a_2\leqq\cdots\leqq a_n\leqq\cdots\cdots\leqq b_n\leqq\cdots\leqq b_2\leqq b_1.$

すなわち数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ は単調でかつ有界である．よって

$\lim a_n=\alpha, \quad \lim b_n=\beta$

が存在する（定理 6）．さて任意の $m, n$ に関して $a_n<b_m$ だから，$n\to\infty$ のとき $\alpha\leqq b_m$，従って $m\to\infty$ のとき $\alpha\leqq\beta$（7 頁［注意］）． さて仮定 (2º) によって，任意の $\varepsilon>0$ に対応して，

$b_n-a_n<\varepsilon$

なる $n$ が存在する．然らば

$a_n\leqq\alpha\leqq\beta\leqq b_n$

から，

$0\leq\beta-\alpha<\varepsilon$.

$\varepsilon$ は任意だから $\alpha=\beta$． 任意の $n$ に関して $a_n\leqq\alpha\leqq b_n$ だから，$\alpha$ は各区間 $I_n$ に属する．$\alpha$ 以外に各区間に共通なる数の存在しないことは仮定 (2º) によって明白である．

（証終）

この定理において，区間 $I_n$ を閉区間として， $I_n$ の両端 $a_n, b_n$ が $I_n$ に属すると仮定した．この仮定は必要である．$\alpha$ は開区間 $(a_n,b_n)$ に属するとは限らないから，$I_n$ が閉区間でなければ，上記証明は拘束力を失うであろう．実際，区間の左端（または右端）がすべて同一の点なる場合には，その点がすなわち $\alpha$ である.

以上において，実数の連続性に関する四つの基本的定理を述べた．すなわち

(I)

Dedekind の定理（定理 1）．

(II)

Weirstrass の定理（上限または下限の存在，定理 2）．

(III)

有界な単調数列の収束（定理 6）．

(IV)

区間縮小法（定理 7）．

我々は (I) を公理のように取扱って，(I) から (II) を導き，次に (II) から (III) を，また (III) から (IV) を導いたが，これらの定理は，実は，同等である．すなわち四つの定理の中の任意の一つを承認すれば，他の定理はそれから導かれる．それを示すためには，(IV) を仮定して (I) を証明すればよい．

今 $(A,B)$ を実数の切断とする．我々の目標は定理 7 を仮定して，下組 $A$ に最大数があるかあるいは上組 $B$ に最小数があるか，いずれか一方，しかもただ一方のみの可能性を証明することである．

$A, B$ から一対の数 $a, b$ を取り出して，区間 $[a,b]$ を $I_0$ と名づける．さて $\tfrac{a+b}{2}$ は $a$ と $b$ との中間にあるが，それは $A$ または $B$ のいずれか一方に属しなければならない．$\tfrac{a+b}{2}$ が $A$ に属するか，または，$B$ に属するかに従って，

$a_1=\frac{a+b}{2}, b_1=b$：　または　$a_1=a, b_1=\frac{a+b}{2}$

と置けば，区間 $I_1=[a_1,b_1]$ の左端は $A$ に属し，右端は $B$ に属する．区間 $I_1$ は区間 $I_0$ の左半または右半で，その幅は $b_1-a_1=\tfrac{1}{2}(b-a)$ である．

同様にして区間 $[a_1,b_1]$ の左半または右半を $I_2=[a_2,b_2]$ とすれば， $a_2$ は $A$ に属し，$b_2$ は $B$ に属して，$b_2-a_2=\tfrac{1}{4}(b-a)$．

このような操作を継続すれば，区間の列

$I_0\supset I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset\cdots$ ，

$I_n=[a_n,b_n],\quad b_n-a_n=\frac{1}{2^n}(b-a)$

を得るが，それは定理 7 の条件に適合するものである．そこで定理 7 に従って，この区間列によって定められる確定の数を $s$ とすれば，$s$ は切断 $(A,B)$ の下組または上組に属しなければならない．

今 $s\in A$ とする．然らば $s<s'$ なる $s'$ を取れば，$b_n\to s$ によって $s<b_n<s'$ なる $b_n$ が存在するから，$s'$ は $B$ に属する．すなわち $s$ は $A$ に属して，$s$ よりも大なる $s'$ はすべて $B$ に属する．換言すれば $s$ は $A$ の最大数である．このとき， $B$ に最小数はない．――もしも，かりに $s'$ を $B$ の最小数とするならば $s<s'$，従って上記のように $b_n<s'$ なる $b_n$ が存在する．しかも $b_n$ は $B$ に属するから，これは不合理である．

もしも $s\in B$ ならば，全く同様にして，$s$ が $B$ の最小数で，$A$ に最大数がないことが示される．

すなわち，定理 7から Dedekind の定理が導かれたのである．

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